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广东省金山中学08-09学年高一上学期期末试题(数学)


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金山中学 2008-2009 年度第一学期期末考试 高一数学 试题卷
命题人:庄淑君

项答案中选出一项, 一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 3 分,共 30 分) 选择题(
1. 若 A( ?2, 3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线, 则 m 的值为(
m

1 2



A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?2

D. 2

2. 已知集合 A= y y = log 2 x, x > 1 , B= ? y y = ( ) , x > 1? ,则 A ∩ B =( )
x

{

}

? ?

1 2

? ?

A.( 0 , 1 )

B. ( 0 ,

1 ) 2

C.(

1 ,1) 2

D.

Φ

3.一个几何体的三视图如图 1 所示,其中正视图与左视图都是边 长为 2 的正三角形,则这个几何体的侧面积为( )

正(主)视

左(侧)视

3 π B. 2π C. 3π D. 4π A. 3 4. 已知 A( 2,1 ),B( ? 1, b ),︱AB︱=5, 则 b =( ) B. 5 C. ? 3 或 5 D. ? 3 或 ? 1 A. ? 3 1 x 5.函数 f ( x ) = e ? 的零点所在的区间是( ) x 1 1 3 3 A. (0, ) B. ( , 1) C. (1, ) D. ( , 2) 2 2 2 2
m

俯视图



6. 如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( ) .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 7.已知 α , β 是平面, m , n 是直线,给出下列命题 ②若 m ? α , n ? α , m ∥ β , n ∥ β ,则 α ∥ β . ③如果 m ? α , n ? α , m 、n 是异面直线,那么 n与α 相交. ④若 α ∩ β = m , n ∥ m ,且 n ? α , n ? β ,则 n ∥ α 且 n ∥ β . 其中正确命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8. 设函数 f ( x ) 定义在实数集上, 它的图像关于直线 x = 1 对称, 且当 x ≥ 1 时,f ( x ) = 3x ? 1 , 则有( ) A. f ( ) < f ( ) < f ( ) ①若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥ β .

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) < f ( ) < f ( ) 3 3 2

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) < f ( ) < f ( ) 2 3 3
B. f ( ) < f ( ) < f ( )

9.已知函数 f ( x ) = log 0.5 x ,若 0 < c < b < a < 1 ,令 M =

f (a) f (b) ,N= , a b

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f (c ) ,则( ) c A. M>N>P B.N>M>P C.P>N>M D. M>P>N 2x x 10. 0 < a < 1 , 设 函数 f ( x ) = log a ( a ? 2a ? 2) , 则使 f ( x ) < 0 的 x 的取值范围是 ( ) P=
A. (?∞,0) B. ( ?∞, log a 3) C. (0,+∞ ) D. (log a 3,+∞ )

二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 填空题(
11. 我国 2000 年底的人口总数为 M, 人口的年平均自然增长率 p,到 2010 年底我国人口总数 是 ;

12.已知点 A (? 5, 4 ) 和 B ( 3 , 2 ), 则过点 C (? 1, 2 ) 且与 AB 的距离相等的直线方程 为 ;

13. f (x ) 为定义在区间 (?2,2) 的奇函数,它在区间 (0,2) 上的图象 奇 为 如右图所示的一条线段,则不等式 f ( x ) ? f ( ? x ) > x 的解集为 ;

14.如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在侧面 BCC1 B1 及边界上运动并保持

AP ⊥ BD1 ,在图中画出点 P 的运动轨迹。
A1

D1 B1 D A B P

C1

三、解答题(共 58 分) 解答题(

C

15.已知 ?ABC 的三个顶点是 A (?1,4) , B(?2,?1) , C(2,3) . (1)求 BC 边的高所在直线方程; (2)求 ?ABC 的面积 S.

16.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = AD = a , AB = 2a , E 为 C1 D1 的 中点. (1)求证: DE ⊥ 平面 BEC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

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17. 甲、乙两地相距 200 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 50 千米/ 小时。 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度

v 千米/小时的平方成正比,比例系数为 0.02 02;固定部分为 50 元/小时.
(1) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 18.如右图,在棱长都等于 1 的三棱锥 A ? BCD 中, F 是 AC 上的一点,过 F 作平行于棱

AB 和棱 CD 的截面,分别交 BC,AD,BD 于 E,G,H
(1) 证明截面 EFGH 是矩形; (2) F 在 AC 的什么位置时,截面面积最大,说 F 明理由. B E C 19.设 a 为实数,函数 f ( x) = x x ? a , (1)当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时,讨论 f (x ) 的奇偶性; (2)当 0 ≤ x ≤ 1 时,求 f (x ) 的最大值. H D A G

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金山中学 2008-2009 年度第一学期期末考试

高一数学
班级 姓名 一.选择题答案栏(30 分) 题号 答案 二、填空题(12 分) 11. 1 2 3 4

答案卷
学号 5 6 评分 7 8 9 10

D1 A1 B1 P D A B

C1

12. 13. 14.

C

三、解答题(58 分) 15. (10 分)

16. (12 分)

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17. (12 分)

姓名 18. (14 分)

学号 A G

F

B E C 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 5

H

D

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19. (10 分)

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高一数学
班级 姓名 二.选择题答案栏(30 分) 题号 答案 1 2 3 4 5

答案
学号 6 7 评分 8 9 10

A

B

B

C

B

D

B

B
D1

C

B

二、填空题(12 分) 11. 12.

M (1+p)10
A1

C1 B1 P D C B

x+4y-7=0 ,x=-1
14. A

13. ( ?2,?1) ∪ (0,1) 三、解答题(58 分) 15. (10 分)

解: (1)设 BC 边的高所在直线为 l,由题知 k BC =

3 ? (?1) = 1 ――――2 分 2 ? ( ? 2)
――――3 分

则 kl =

?1 = ?1 , k BC
即x+ y ?3 = 0

又点 A (?1,4) 在直线 l 上 所以直线 l 的方程为 y ? 4 = ?1( x + 1) ――――4 分

(2)BC 所在直线方程为: y + 1 = 1 × ( x + 2) 即 x ? y + 1 = 0 ――5 分 点 A(-1,4)到 BC 的距离 d = 又 BC = 则 S ?ABC =

?1? 4 +1 12 + (?1) 2

=2 2

――――7 分

(?2 ? 2) 2 + (?1 ? 3) 2 = 4 2
1 1 ? BC ? d = × 4 2 × 2 2 = 8 2 2

――――8 分 ――――10 分

16. (12 分) 解: (1)证明:∵ BC ⊥ 侧面 CDD1C1 ,

DE ? 侧面 CDD1C1 ,
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∴ DE ⊥ BC ―――2 分 在 ?CDE 中, CD = 2a, CE = DE = 则有 CD = CE + DE ,
2 2 2

2a ,

∴ ∠DEC = 90° ,即 DE ⊥ EC , 又∵ BC ∩ EC = C ∴ DE ⊥ 平面 BCE . (2)

――――4 分 ―――-6 分

∵ BC ⊥ 侧面 CDD1C1 且 CE ? 侧面 CDD1C1 ,
∴ CE ⊥ BC 则 S ?BCE = ――――8 分

1 1 2 2 ? BC ? CE = × a × 2a = a 2 2 2

――――9 分

又∵ DE ⊥ 平面 BDE DE 就是三棱锥 E-BCD 的高 则 V E ? BCD = V D ? BCE = 17. (12 分) 解: (1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为

-―――10 分

1 1 2 a3 a= ? DE ? S ?BCE = × 2a × ―――12 分 3 3 2 3
200 小时 v

――――1 分

全程运输成本 y(元)与速度 v(千米/时)的函数关系是:

y = (50 + 0.02v 2 ) ?
(2)令 f (v ) =

200 10000 = + 4v , v ∈ (0,50] v v

――――5 分

10000 + 4v , v
――――6 分

设 0 < v1 < v 2 ≤ 50

f (v1 ) ? f (v 2 ) =

v v ? 2500 10000 10000 + 4v1 ? ( + 4v 2 ) = 4(v1 ? v 2 ) 1 2 v1 v2 v1v 2

8分

由 v1 < v 2 得 v1 ?v 2 < 0 ,又 v1 < v 2 ≤ 50 得 v1v 2 < 2500 且 v1v 2 > 0 ∴ f (v1 ) ? f (v 2 ) < 0 则 f (v ) 在 (0,50] 上单调递减 ∴ f (v) min = f (50) 答:为了使全程运输成本最小,汽车应以 50 千米/ 时的速度行驶。―――12 分 18. (14 分) A 解: (1)证:∵AB∥平面 EFGH, F 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 8 B H D G ――――10 分 ――――11 分

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平面 ABC ∩ 平面 EFGH=EF ∴AB∥EF 同理 AB∥GH ∴EF∥GH 同理 EH∥CD∥FG ――4 分 ――5 分 ――2 分

∴四边形 EFGH 是平行四边形 取 CD 中点 S,连接 AS,BS ∵AC=AD,S 是 CD 中点 ∴AS⊥CD 同理 BS⊥CD 又∵AS ∩ BS=S ∴CD⊥平面 ABS ∴CD⊥AB 又∵AB∥EF,FG∥CD ∴EF⊥CD 即 四边形 EFGH 是矩形 (2) 设 FG= x , x ∈ (0,1) 由(1)知

――6 分

――8 分

――9 分 ――10 分

FG AF AB ? EF = = ,又 CD=AB=1 CD AC AB ∴EF= 1 ? x ―-12 分
――――13 分

则 S EFGH = EF ? FG = x(1 ? x)

1 1 = ?( x ? ) 2 + 2 4
∴当 x =

1 时, S EFGH 最大 2 即 F 是 AC 的中点时,截面面积最大

――――14 分

19. (10 分) 解: (1)当时 a = 0 , f ( ? x) = ? x ? x = ? x x = ? f ( x) , 此时 f ( x ) 为奇函数。 ――――1 分

当 a ≠ 0 时, f ( a ) = 0 , f ( ? a ) = ? a ? a ? a = ?2a a ≠ 0 , 由 f ( ? a ) ≠ f (a ) 且 f ( ? a ) ≠ ? f ( a ) , 此时 f ( x ) 既不是奇函数又不是偶函数 ――――3 分

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(2) 当 a ≤ 0 时, ∵ 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) = x ( x ? a ) 为增函数, ∴ x = 1 时, f ( x) max = f (1) = 1 ? a . ―――4 分 当 a > 0 时, ∵0 ≤ x ≤ 1, ∴ f ( x ) = x ( x ? a ) = x ? ax ,其图象如图所示:
2

①当

a ≥ 1 ,即 a ≥ 2 时, f ( x) max = f (1) = a ? 1 . 2

――――5 分

②当

a 1+ 2 a a2 <1≤ a ,即 2( 2 ? 1) ≤ a < 2 时, f ( x) max = f ( ) = ―― 7 分 2 2 2 4
1+ 2 a < 1 ,即 0 < a < 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max = f (1) = 1 ? a 2
――9 分

③当

综上:当 a < 2( 2 ? 1) 时, f ( x ) max = 1 ? a ; 当 2( 2 ? 1) ≤ a < 2 时, f ( x ) max 当 a ≥ 2 时, f ( x ) max = a ? 1 ;

a2 = ; 4
――――10 分

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