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高三同步讲义9——解三角形(毕鸿春) - 副本


第一讲
一、基础知识回顾 1.正弦定理 分类 定理

正弦定理和余弦定理

内容 a b c = = =2R(R 是△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C ①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C,

变形 公式

②sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, a b c ③sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角

解决的 问题 2.余弦定理 分类 定理

内容 在△ABC 中,有 a2=b2+c2-2bccos_A; b2=a2+c2-2accos_B;c2=a2+b2-2abcos_C b2+c2-a2 a2+c2-b2 cos A= ;cos B= ; 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

变形 公式 解决的 问题 3.三角形中常用的面积公式

1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2 二、课前检测 1.(2012· 广东高考)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2 ) D.75° ) )

2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60°

3.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形有( A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定

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π 4.(2012· 陕西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B= ,c=2 3,则 b=________. 6 5.△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. 三、典型例题精讲 例 1、(2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

变式训练:△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1) 求 ; a (2) 若 c2=b2+ 3a2,求 B.

例 2、在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1) 求 A 的大小; (2) 若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

变式训练:(2012· 安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(4,-1), 7 2A ? n=? n= . ?cos 2 ,cos 2A?,且 m· 2 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.

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例 3、(2012· 新课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1) 求 A; (2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

1 变式训练:(2012· 江西重点中学联考)在△ABC 中, cos 2A=cos2A-cos A. 2 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a=3,sin B=2sin C,求 S△ABC.

π π π +C?-csin? +B?=a. 例 4、(2012 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin? 4 4 ? ? ? ? 4 π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

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1.审条件,挖解题信息 π π 观察 π 等式中既有边又有角, +C?-csin? +B?=a ― ― → A= ,bsin? ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 4 4 应统一 ? ? ? ? 4 条件 π π +C?-sin Csin? +B?=sin A sin Bsin? ?4 ? ?4 ? 2.审结论,明解题方向 观察所求 π 应求角B-C的某一个三角函数值 ― → 求证:B-C= ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 2 结论 sin?B-C?=1或cos?B-C?=0. 3.建联系,找解题突破口 考虑到所求的结论只含有 B, C, 因此应消掉 sin Bsin

?π+C?-sin Csin ?π+B?=sin A 中的角 A ?4 ? ?4 ?
4 ??? ? ? 代入A=

?

π 2 ? ?π ? sin Bsin ? ?4+C?-sin Csin ?4+B?= 2 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → sin?B-C?=1 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 3π π 由0<B,C< ,解得B-C= 4 2
利用两角和与差的三角函数公式 要求角的值,还应确定角的取值范围

1.审条件,挖解题信息 观察 π π 可求B,C的值 5π π ― → a= 2,A= ,B-C= ― ― ― ― ― ― ― → B= ,C= 4 2 8 8 条件 2.审结论,明解题方向 观察所求 应具有两边 ― → 求△ABC的面积 ― ― ― ― ― → 及其夹角 结论 由 a b c 5π π = = ,得b=2sin ,c=2sin sin A sin B sin C 8 8

3.建联系,找解题突破口 1 5π π π π 1 利用面积公式求结论 △ABC的边角都具备 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → S= bcsin A= 2sin sin = 2cos sin = 2 8 8 8 8 2

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[教你准确规范解题] π ? ?π ? ?π ? ?π ? (1)证明:由 bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 sin Bsin ?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A,?(2 分) sin B? 2 2 ?-sin C? 2sin B+ 2cos B?= 2, 2 ? 2 sin C+ 2 cos C? ?2 ? 2

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,?(5 分) 3 π 即 sin(B-C)=1,由于 0<B,C< π,从而 B-C= .?(6 分) 4 2 3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= .?(8 分) 4 8 8 π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin ,c= =2sin ,?(10 分) 4 sin A 8 sin A 8 1 5π π π π 1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin = 2cos sin = .?(12 分), 2 8 8 8 8 2 [常见失分探因] 易忽视角B-C的范围,直接由sin?B-C?=1,求得结论.

四、课后作业:
1.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

π 3 2.(2012· 泉州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= ,b=1,△ABC 的面积为 ,则 a 3 2 的值为( A.1 ) B.2 C. 3 2 D. 3

tan A 3.(2013· “江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 3,c=2 2,1+ tan B 2c = ,则 C=( b A.30° ) B.45° C.45° 或 135° D.60° )

4. (2012· 陕西高考)在△ABC 中 , 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 若 a2+b2=2c2, 则 cos C 的最小值为( A. 3 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

5.(2012· 上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的大小为________. π 7.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A= ,则 C 的大小为________. 3
5

π 5 8.(2012· 北京西城期末)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=2 5,B= ,sin C= ,则 4 5 c=________;a=________. 1 9.(2012· 北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 10.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1) 求 B; (2) 若 A=75° ,b=2,求 a,c.

11.(2013· 北京朝阳统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, 且满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB ·AC 的值.

? ??? ? ???

12.(2012· 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.

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1.(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C, 3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 ) C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 A+B 7 -cos 2C= ,且 a+b=5,c 2 2

2.(2012· 长春调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2 = 7,则△ABC 的面积为________.

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0. (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4

1.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin C=________. 2.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

1 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长.

4 4.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

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第二讲

正弦定理和余弦定理的应用

一、基础知识回顾
1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 1).

(2)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比). 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.

二、课前检测
1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° ) )

2.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° B.北偏西 15° C.北偏东 10° D.北偏西 10°

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3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

4.(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A、C 两点之间 的距离为________千米. 5.(2012· 泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时 后,看见一灯塔在船的南偏东 60° ,另一灯塔在船的南偏东 75° ,则这艘船每小时航行________海里.

三、典例精讲
例 1、郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、 小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由).

变式训练:如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、B,观察 对岸的点 C,测得∠CAB=105° ,∠CBA=45° ,且 AB=100 m. (1)求 sin ∠CAB 的值; (2)求该河段的宽度.

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例 2、(2012· 九江模拟)如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山 坡的斜度为 α,从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β,山坡对于地平面的坡角为 θ. (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15° ,β=45° ,θ=30° ,求建筑物 CD 的高度.

变式训练:(2012· 西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ,在 D 点测 得塔顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m,求电视塔的高度.

例 3、(2012· 太原模拟)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45° 方向,相距 12 n mile 的水面 上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北 偏东 45° +α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

变式训练:(2012· 无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则 从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________.

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例 4、某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

π 变式训练:如图,在△ABC 中,已知 B= ,AC=4 3,D 为 BC 边上一点.若 AB=AD,则△ADC 的周长的最大值 3 为________.

四、课后训练:
1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° ,且到 A 的距离 为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 B. 17 ) C. 18 D. 19

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱 的高度是( A.50 m ) B.100 m C.120 m D.150 m )

3.(2012· 天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 B.- 25 7 C.± 25 24 D. 25

4.(2013· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果 sin2(B +C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π? A.? ?0,2? π π? B.? ?4,2? ) π π? D.? ?3,2?

π π? C.? ?6,3?

5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座 灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点间的距 离是( ) B.10 3 海里 C.20 2 海里 D.20 3 海里

A.10 2 海里

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6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山 顶的俯角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 B.6.6 D.5.6 )

7.(2012· 南通调研)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图, 单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要________元.

8.(2012· 潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后它继续沿正北方向匀 速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速 是________n mile/h.

9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° , 而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m.

10. 如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

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11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平 面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音的时间比 2 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至最高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 17 米/秒)

12.(2012· 兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两 地测得∠ACD=45° ,∠ADC=75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约应该是 A,B 之间距离的 1.2 倍,问施工单位至少 应该准备多长的电线?

1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 m,在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45° ,则这座电视发射塔的高度 CD 为________米.

2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向 行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象, 然后向右转 105° , 行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象, 这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________.

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3.(2012· 泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲 船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA― →成 θ 角,求 f(x)=sin2θsin x+ 3 2 cos θcos x(x∈R)的值域. 4

1.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船 位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

2π 2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 为 ,半径 OA 为 1 km.为了便于游客观光休闲, 3 拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成,其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ. (1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长?

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