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江苏省淮阴中学2015届高三调研考试数学试卷

江苏省淮阴中学 2015 届高三调研试卷


注意事项:



考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分,考 试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的相应位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置 作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式:
样本数据 x1 , x2 ,
, xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ( xi ? x) 2 ,其中 x ? ? xi . ? n i ?1 n i ?1

一、填空题:(每题 5 分,共计 70 分) 1、已知 A ? ??1,0,2?, B ? ??1,1?, 则 A 2、已知复数 z ?

B?



. ▲ .

2i ,(i 为虚数单位)则复数 z 的实部为 1? i 2 3、写出命题:“若 x=3,则 x -2x-3=0”的否命题: ▲

. 4、一位篮球运动员在最近的 5 场比赛中得分的“茎叶图”如图,则他在这 5 场比赛中得 分的方差为 ▲ . ▲

08 9 10 1 2
.

5、如图所示的流程图,输出的 n ?
2

6、 已知抛物线 y ? 8x 的焦点是双曲线 焦点,则双曲线的渐近线方程为 ▲

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右 a2 3
.

?x ? 0 ? 7、若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? x ,则 z ? x ? 2y 的 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
最大值为 ▲ . ▲ . 8、已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,则圆柱的表面积为
1

9、在等差数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项的和,若 a3 ? 8, S3 ? 20, 则 S5 ? ▲ 10、 将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位 (? ? 0 ) , 使得平移后的图像过点 ( 的最小值为 ▲ .
2

.

?
3

,

3 ), 则 ? 2

2 11、若直线 l : y ? x ? a 被圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 截得的弦长为 2,则 a= ▲

.

12、已知函数 f(x)= ?

2 ? ? x ? ax, x ? 0 , 为奇函数,则不等式 f(x)<4 的解集为 2 bx ? 3 x , x ? 0 ? ?



13、 在三角形 ABC 中, 已知 AB=3, A= 120 , ?ABC 的面积为
0

15 3 , 则B CB A 的值= ▲ . 4

14、 设点 P,M,N 分别在函数 y ? 2 x ? 2, y ?

且 MN ? 2PN , 4 x ? x 2 , y ? x ? 3 的图象上,

则点 P 横坐标的取值范围为 ▲ . 二、解答题: (满分 90 分,作答请写出必要的解答过程) 15、 (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? sin x ? a cos x , (1)若 a ? 3 ,求 f ? x ? 的最大值及对应的 x 的值. (2)若 f ?

1 ?? ? ? ? 0 , f ? x ? ? 5 (0 ? x ? ? ) ,求 tanx 的值. ?4?

16、 (本小题满分 14 分)已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC, AB ? BC , D 为 PB 中点,E 为 PC 的中点, (1)求证: BC 平面 ADE ; (2)求证:平面 AED ? 平面 PAB .

2

17、 (本小题满分 14 分)小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费 用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车每年的运输收 入均为 25 万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售, 若该车在第 x 年年底出售, 其销售收入为 25-x 万元 (国家规定大货车的报废年限为 10 年) . (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润 最大?(利润=累计收入+ ..... 销售收入-总支出)

18、 (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 A ?1, ? . 2 2 a b ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且 BD ? 2DA ,求直线 AB 方程.

3

19、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? a ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an an?1 (1)若 {an } 为等比数列,求 {bn } 的前 n 项的和 s n ; (2)若 bn ? 3n ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若 bn ? n ? 2 ,求证:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 2 n? 2 ?3 an

20、已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x , (1)求证: f ( x) ? x ? 1 ; (2)设 x0 ? 1 ,求证:存在唯一的 x0 使得 g(x)图象在点 A( x0 , g ( x0 ) )处的切线 l 与 y=f(x) 图象也相切; (3)求证:对任意给定的正数 a,总存在正数 x,使得 |

f ( x) ? 1 ? 1|? a 成立. x

4

江苏省淮阴中学 2015 届高三调研数学试卷参考答案
一、填空、(每题 5 分,满分 70 分) 1、 {-1,0,1,2} , 2、1, 6、 y ? ? 3x , 7、6, 3、 “若 x ? 3 则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ” ,
2

4、2,

5、4,

8、 6? , 9、40,

10、

? ( -?, 4 ) , 11、-2, 12、 , 6

13、

33 5 2 2 ?3 , 14、 [? , ]。 2 2 2

二、解答题:(满分 90 分) 15、解: (1) f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 当 sin( x ?

?
3

) ????????????(2 分)

?
3

) ?1? x ?

?
3

?

?
2

? 2 k? ( k ? z )

?x?

?
6

? 2k? (k ? z ) 时 f(x)有最大值 2; ?????????????????(6 分)

(2) f ?

?? ? ? ? 0 ? a ? ?1 ????????????????????????(8 分) ?4?
1 1 12 ? ( s in x ? cos x) 2 ? ? sin x cos x ? 5 25 25

sin x ? cos x ?

3 ? 4 ? cos x ? cos x ? ? ? ? 1 12 ? 5 ? 5 ? (cos x ? ) cos x ? ? 25cos 2 x ? 5cos x ? 12 ? 0 ? ? 或? 5 25 ?sin x ? 4 ?sin x ? ? 3 ? 5 ? 5 ? ? 3 ? cos x ? ? 4 ? 5 x ? (0, ? ) ? ? ? tanx= ???????????????????(14 分) 3 ?sin x ? 4 ? 5 ?

5

PE ? EC ? ? ? ? DE / / BC ? PD ? DB ? ? ? 16、 (1) 证明:DE ? 平面ADE ? ? BC / / 平面ADE ?????????(7 分) ? BC ? 平面ADE ? ? ?
? PA ? 平面ABC ? ? ? PA ? BC ? BC ? 平面ABC ? ? ? BC ? AB ? ? (2) PA AB ? A ? ? BC ? 平面PAB ?????????(12 分) ? PA ? 平面PAB ? ? AB ? 平面PAB ? ? ?
DE / / BC ? DE ? 平面PAB ,又 DE ? 平面ADE ?平面ADE ? 平面PAB (14 分)
17、 解: (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元, 则 y ? 25x ? [6 x ? x( x ? 1)] ? 50, (0<x ≤10,x ? N) ,

6

18、解: (1)

e?

c 1 ? ? a ? 2c ???????????????????(2 分) a 2

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2
设椭圆方程为:

1 3 x2 y2 ? ? 1 ,? 2 ? 2 ? 1? c ? 1 2 2 4c 4c 4c 3c

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????????????(7 分) 设椭圆方程为: 4 3
(2)设 B( x0 , y0 ),D(0,m),则 BD ? (?x0 , m ? y0 ) , DA ? (1,

3 ? m) 2

?- x0 ? 2, m ? y0 ? 3 ? 2m 即 x0 ? ?2, y0 ? 3m ? 3 代入椭圆方程得 m=1? D(0,1) ?(14
分)

? l AB : y ?
19、 (1)

1 x ? 1 ???????????????????????????(16 分) 2

an ? an?1,?bn ? an?1 an ? a2n?1 ?????????.???.????(2 分)

当 a=1 时 bn ? 1,则 sn ? n ???????????????????????(3 分) 当 a ? 1 时, sn ? (2)

a(1 ? a 2 n ) ??????????????????????.?(5 分) 1 ? a2

3n ? an an?1 ?3n?1 ? an?1 an (n ? 2, n ? N )

?

an?1 ? 3(n ? 2, n ? N ) ????????????????????????(7 分) an?1
*

当 n ? 2k ? 1,(k ? N ) 时,?

a2 k ?2 ? 3(k ? N * ) ? a2 k ? a2 3k ?1 =a3k ?1 a2 k

当 n ? 2k ,(k ? N ) 时,?
*

a2 k ?1 ? 3(k ? N * ) ? a2 k ?1 ? 3k ?1 a2 k -1
7

?1 ? n2 ?3 ( n=2k ? 1) ? an ? ? n?2 ????????????????????????(11 分) ? a3 2 ( n ? 2k ) ?

(3)

anan?1 ? n ? 2, ①, a1 ? 1,? a2 ? 3 ?an?1an ? n ? 1 (n ? 2) ②
1 (n ? 2) an

①-②得 a( n an?1 ? an?1 ) ? 1? an?1 ? an?1 ?

?

1 1 ? ? a2 a3

?

1 ? (a3 ? a1 ) ? (a4 ? a2 ) ? an ?

? (an?1 ? an?1 ) = an ? an?1 ? a1 ? a2

?

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

1 1 = an ? an?1 ? a1 ? a2 + ? an ? an?1 ? 3 an a1 1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3 ? 1 > 2 n ? 2 -3.…….(16 分) an

an ? an?1 ? 2 an an?1 ? 2 n ? 2 ?

x 20、 (1)令 F ? x ? ? e ? x ?1, x ? R ,

F ' ? x ? ? e x ?1 ? 0 得 x ? 0 ,
? 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ?

; 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ?
x

;

? F ? x ?min ? F ? 0? ? 0 ,

由最小值定义得 F ? x ? ? F ? x ?min ? 0 即 e ? x ? 1 ?????????????(4 分) (2) g ? x ? 在 x ? x0 处切线方程为 y ?

x x x 设直线 l 与 y ? e 图像相切于点 x1 , e 1 ,则 l : y ? e 1 x ? e 1 ?1? x1 ?
x

?

?

1 x ? ln x0 ? 1 x0

① ②??(6 分)

?1 x1 ③ ?x ? e 由①②得 ? 0 ?ln x ? e x1 ?1 ? x ? ④ 1 ? 0

? ln x0 ?

下证 x0 在 ?1, ?? ? 上存在且唯一.

x0 ? 1 ?0 x0 ? 1



x2 ? 1 x ?1 ?0 令 G ? x ? ? ln x ? ? x ? 1? , G ' ? x ? ? 2 x ?1 x ? x ? 1?
8

?G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上
又 G ?e? ?

.

?2 e2 ? 3 ? 0, G ? e2 ? ? 2 ? 0, G ? x ? 图像连续,? 存在唯一 x0 ? ?1, ?? ? 使⑤ e ?1 e ?1 式成立,从而由③④可确立 x1 .故得证????????????????????(10
分) (1) 由 (1) 知

?0, ??? 上有解. 令 H ? x ? ? ex ? ax ? x ?1 ,即证 H ? x ?min ? 0 ???????????????(12 分) x 由 H ' ? x ? ? e ? a ?1 ? 0 得 x ? ln ? a ?1? ? 0 . 当 0 ? x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? , 当 x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? . ? H ? x ?min ? H ? ln ? a ? 1?? ? a ?1? a ln ? a ?1? ? ln ? a ?1? ?1 . 令 V ? x ? ? x ? x ln x ?1 ,其中 x ? a ? 1 ? 1 则 V ' ? x ? ? 1 ? ?1 ? ln x ? ? ? ln x ? 0 ,?V ? x ? ?V ? x ? ? V ?1? ? 0 .
综上得证???????????????????????????????(16 分)

f ? x ? ?1 ? 1 ? 0 即证当 a ? 0 时不等式 e x ? 1 ? x ? ax 即 e x ? ax ? x ? 1 ? 0 在 x

9


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