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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件:2.2.3直线与椭圆的位置关系_图文

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新知导学 1.点与椭圆的位置关系 x 2 y2 点 P(x0,y0)与椭圆a2+b2=1(a>b>0)的位置关系:点 P 在
2 x2 y0 0 2+ 2=1 a b 椭圆上?__________ ; 2 x2 y 0 0 2+ 2<1 a b 点 P 在椭圆内部?__________ ; 2 x2 y 0 0 2+ 2>1 a b 点 P 在椭圆外部?__________ .

第二章

2.2

第3课时

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2.直线与椭圆的位置关系 x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆a2+b2=1(a>b>0)的位置关系判断方 kx+m, ? ?y= 法:由?x2 y2 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程. + =1. ? ?a2 b2
位置关系 相交 相切 解的个数 两解 一解 Δ的取值 Δ_____0 >

Δ_____0 =
< Δ_____0
第二章 2.2 第3课时

相离

无解

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x2 y2 1.已知斜率为 2 的直线经过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点 F1, 与椭圆相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为________.

[答案]
[分析]

5 5 3
可先求出A,B两点坐标,再转化为两点间的距离

问题;也可以利用弦长公式求解.

第二章

2.2

第3课时

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[ 解析 ] F1(1,0),

x2 y2 解法一:∵直线 l 过椭圆 5 + 4 = 1 的右焦点

又直线的斜率为 2,∴直线 l 的方程为 y=2(x-1), x-y-2=0, ? ?22 即 2x-y-2=0.由方程组?x y2 + =1, ? ?5 4 5 4 得交点 A(0,-2),B(3,3). ∴|AB|= ?xA-xB?2+?yA-yB?2 = 52 42 ?0-3? +?-2-3? = 125 5 5 9 = 3 .
第二章 2.2 第3课时

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解法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), x-y-2=0, ? ?22 则 A,B 的坐标为方程组?x y2 的解. + 4 =1. ? 5 ? 5 消去 y 得 3x -5x=0,则 x1+x2=3,x1· x2=0.
2

∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2?1+k2 AB?
2 = ?1+kAB ?[?x1+x2?2-4x1x2]



52 5 5 ?1+2 ?[?3? -4×0]= 3 .
2

第二章

2.2

第3课时

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2x-y-2=0, ? ? 2 2 解法三:由方程组?x y 消去 x 得 + 4 =1, ? 5 ? 3y2+2y-8=0, 2 8 则 y1+y2=-3,y1y2=-3. ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = = = 1 ?y1-y2? · ?k2 +1? AB
2

1 ?1+k2 ?[?y1+y2?2-4y1y2] AB 1 22 8 5 5 ?1+4?· [?-3? -4×?-3?]= 3 .
第二章 2.2 第3课时

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直线与椭圆的位置关系
已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.
[ 分析 ] 求 m 的取值范围,从方程角度看,需将问题转化 为关于 x 的一元二次方程解的判断,而求弦最长时的直线方

程,就是将弦长表示成关于 m 的函数,求出当弦长最大时的 m
值,从而确定直线方程.
第二章 2.2 第3课时

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[解析]

2 2 ? 4 x + y =1, ? (1)由? ? ?y=x+m.

消去 y 得,

5x2+2mx+m2-1=0, ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=4m2-20(m2-1)≥0, 5 5 解得- 2 ≤m≤ 2 .

第二章

2.2

第3课时

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(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知 5x2+2mx+m2-1=0. m2-1 2 由根与系数的关系得 x1+x2=-5m,x1x2= 5 . ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+?x1+m-x2-m?2 = 2?x1-x2?2= 2[?x1+x2?2-4x1x2] = 4m2 4 2 2 2[ 25 -5?m -1?]=5 10-8m2.

第二章

2.2

第3课时

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∵Δ=4m2-20(m2-1)>0, 5 5 ∴- 2 <m< 2 . ∴当 m=0 时,|AB|最大,此时直线方程为 y=x.

第二章

2.2

第3课时

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[方法规律总结] 1.研究直线与椭圆的位置关系,联立方 程组消元后用判别式讨论. 2.求直线被椭圆截得弦长,(一)是求出两交点坐标,用两 点间距离公式; (二)是用|AB|= 1+k |x1-x2|= 其中 k 为直线 AB 的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2). 3. 有关直线与椭圆相交弦长最值问题, 要特别注意判别式 的限制.
2

1 1+k2|y1-y2|,

第二章

2.2

第3课时

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当 m 取 何 值 时 , 直 线 l : y = x + m 与 椭 圆 9x2 + 16y2 = 144 . (1) 无公共点; (2) 有且仅有一个公共点; (3) 有两个公共 点.
[解析]
? ?y=x+m, 由? 2 2 ? 9 x + 16 y =144. ?

消去 y 得,

9x2+16(x+m)2=144, 化简整理得,25x2+32mx+16m2-144=0, Δ=(32m)2-4×25(16m2-144)=-576m2+14400.

第二章

2.2

第3课时

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(1)当Δ=0时,得m=±5,直线l与椭圆有且仅有一个公共 点. (2)当Δ>0时,得-5<m<5,直线l与椭圆有两个公共点. (3)当Δ<0时,得m<-5或m>5,直线l与椭圆无公共点.

第二章

2.2

第3课时

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[点评]

研究直线与椭圆的位置关系,一般通过解直线方 对解的个数

? ?Ax+By+C=0, 程与椭圆方程所组成的方程组? 2 2 2 2 2 2 ? b x + a y = a b, ?

进行讨论,有两组不同实数解(Δ>0)时,直线与椭圆相交;有两 组相同的实数解(Δ=0)时, 直线与椭圆相切; 无实数解(Δ<0)时, 直线与椭圆相离.

第二章

2.2

第3课时

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中点弦问题
x2 y2 P(1,1)为椭圆 4 + 2 =1 内一定点,经过 P 引一 弦,使此弦在 P 点被平分,求此弦所在的直线方程.

[分析]

本题涉及弦的中点,属于中点弦问题,采用点差

法求解较简便.

第二章

2.2

第3课时

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[解析]

解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设

其方程为 y-1=k(x-1),弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1=k?x-1?, ? ?y- 由?x2 y2 消去 y 得, + =1. ? ?4 2 (2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, 4k?k-1? ∴x1+x2= 2 , 2k +1 4k?k-1? 1 又∵x1+x2=2,∴ 2 =2,得 k=-2.故弦所在直线 2k +1 1 方程为 y-1=-2(x-1),即 x+2y-3=0.
第二章 2.2 第3课时

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解法二:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k, 且设弦的两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
2 2 2 x2 y x y 1 1 2 2 则 4 + 2 =1, 4 + 2 =1,两式相减得

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, 4 2 ∵x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2 y1-y2 1 ∴ 2 +(y1-y2)=0,∴k= =-2. x1-x2 1 ∴此弦所在直线方程为 y-1=-2(x-1), 即 x+2y-3=0.
第二章 2.2 第3课时

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[方法规律总结] 1.中点弦问题常用“点差法”求解,即 P(x0,y0)是弦 AB 的中点,A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,将 A、 B 坐标代入椭圆方程两式相减,然后结合 x1+x2=2x0,y1+y2 y2-y1 =2y0,及 =k 求解. x2-x1 2.注意“设而不求,整体代换”方法的应用.

第二章

2.2

第3课时

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已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的 中点为M(1,1),求直线AB的方程. [解析] 设通过点M(1,1)的直线AB的方程为 y=k(x-1)+1, 代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k2)- 36=0.

第二章

2.2

第3课时

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设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, x1+x2 -18k?1-k? 则 2 = =1. 2?9k2+4? 4 4 解得 k=-9.故 AB 方程为 y=-9(x-1)+1. ∴所求直线方程为 4x+9y-13=0.

第二章

2.2

第3课时

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x2 y2 (2013· 天津理,18)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左 3 焦点为 F,离心率为 3 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截 4 3 得的线段长为 3 . (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k → → → → 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若AC· DB+AD· CB=8,求 k 的 值.
第二章 2.2 第3课时

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[解题思路探究] 第一步,审题. 4 3 (1)由离心率和弦长 3 可建立 a、b、c 的关系式,求椭圆 的方程只要结合 a2=b2+c2,求出 a、b 的值即可; (2)由椭圆方程可求得 A、B 两点坐标,由条件可设出 CD 方程 y=k(x+1),与椭圆方程联立消去 y(或 x)得到一元二次方 程,设 C(x1,y1),D(x2,y2),代入所给向量等式中,结合根与 系数的关系,建立关于 k 的方程即可解出 k.

第二章

2.2

第3课时

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第二步,确定解题步骤. 先由条件建立 a、b、c 的方程组,解方程组求出 a、b 的值 得到椭圆方程,再求出 A、B、F 的坐标,设出直线的方程,与 椭圆方程联立消元,由根与系数的关系,结合所给向量等式建 立关于 k 的方程求解. 第三步,规范解答.

第二章

2.2

第3课时

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3 c [解析] (1)设 F(-c,0),由a= 3 ,知 a= 3c. 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 ?-c?2 y2 6b 2 6b 4 3 a2 +b2=1,解得 y=± 3 ,于是 3 = 3 ,解得 b= 2, 又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆方程为 3 + 2 =1.

第二章

2.2

第3课时

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(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), k?x+1?, ? ?y= 由方程组?x2 y2 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x + 2 =1, ? 3 ? +3k2-6=0.
2 3 k -6 6k ∴x1+x2=- ,x x = . 2+3k2 1 2 2+3k2 2

因为 A(- 3,0),B( 3,0),

第二章

2.2

第3课时

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→ → → → 所以AC· DB+AD· CB=(x1+ 3,y1)· ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· ( 3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ 2. 2+3k 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2

第二章

2.2

第3课时

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已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的 点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是
左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线 l过定点,并求出该定点的坐标.

第二章

2.2

第3课时

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x2 y2 [解析] (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 由已知得:a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1.
y=kx+m, ? ? 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x y 消去 y 得 + =1. ? ?4 3

第二章

2.2

第3课时

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(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, ∴Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0, 即 3+4k2-m2>0. 4?m2-3? 8mk x1+x2=- ,x · x= , 3+4k2 1 2 3+4k2 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2 3?m2-4k2? = , 3+4k2

第二章

2.2

第3课时

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因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), y1 y2 ∴kADkBD=-1,即 · =-1. x1-2 x2-2 ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 3?m2-4k2? 4?m2-3? 16mk ∴ 2 + 2 + 2+4=0. 3+4k 3+4k 3+4k ∴7m2+16mk+4k2=0.

第二章

2.2

第3课时

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2k 解得 m1=-2k,m2=- 7 , 且均满足 3+4k2-m2>0. 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0), 与已知矛盾; 2k 2 2 当 m2=- 7 时, l 的方程为 y=k(x-7), 直线过定点(7, 0). 所 2 以,直线 l 过定点,定点坐标为(7,0).

第二章

2.2

第3课时

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考虑问题要全面 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长、短 轴长之比为 , 若圆 x2+y2-4y+3=0 上的点 P 到此椭圆上 2 21 点 Q 的最大距离为 1+ 3 ,求此椭圆的方程. x2 y2 [错解] 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),
∵a b= ,∴a=2b, x2 y 2 ∴椭圆方程为4b2+b2=1.
第二章 2.2 第3课时

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又圆心为 A(0,2),半径 r=1, 设 Q(x,y),则 x2=4b2-4y2, ∴|QA| =x +(y-2)
2 2 2

? 2?2 16 2 =-3?y+3? +4b + 3 . ? ?

2 ∴当 y=-3时|QA|最大. 由 1+ 16 2 4b + 3 =1+3 21,得 b=1.
2

x2 2 ∴椭圆方程为 4 +y =1.

第二章

2.2

第3课时

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[辨析]

由已知得出方程,设Q(x,y),求圆心A(0,2)到点Q

的距离,|AQ|的距离加上圆半径即为|PQ|的最大值,可求得|PQ| 的函数关系式转化为二次函数关系式.

x2 y2 [正解] 由已知,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 则 a b= 中|y|≤b,|x|≤2b. 已知圆的标准方程为 x2+(y-2)2=1,圆心 A(0,2),半径 R =1. x2 y 2 ,即 a=2b.椭圆方程化为4b2+b2=1,其

第二章

2.2

第3课时

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设 Q(x,y),则 x2=4b2-4y2. |QA|2=x2+(y-2)2=4b2-4y2+(y-2)2
? 2?2 16 2 =-3?y+3? +4b + 3 . ? ?

2 当 b≥3时,∵|y|≤b,∴|AQ|max= |PQ|max=R+|AQ|max=1+

16 4b + 3 .
2

16 2 21 2 3 +4b =1+ 3 .

第二章

2.2

第3课时

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2 解得 b=1≥3,符合条件. 2 当 b<3时,∵|y|≤b, ∴ |AQ|max = |b + 2| , |PQ|max = R + |AQ|max = 1 + |b + 2| = 1 + 2 21 21 2 3 .解得 b=2 3 -2>3(舍去). x2 2 ∴所求椭圆方程为 4 +y =1.

第二章

2.2

第3课时

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巩固提高学案
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第二章

2.2

第3课时


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