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江苏省2015高考数学一轮复习 第十一章 第60课 椭圆检测与评估答案(pdf)


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第十一章

圆锥曲线与方程 椭 圆

第60课

x 2 y2 1. 焦点 解析:当k<4时,9-k>4-k>0,所以 9-k + 4-k =1为椭圆方程,所以
a =9-k,b =4-k.又9-k-(4-k)=9-4=5,所以两曲线有相同的c,即有相同的焦点.
2 2

x2 y2 2 2 2. 6 + 2 =1 解析:由题意知c=2,a= 3 b,所以b =2,a =6,所以椭圆C的标准方程是 x2 y2 6 + 2 =1.

x2 y2 3 c 3. 3 + 2 =1 解析:由题意知e= a = 3 ,所以a= 3 c,所以b2=a2-c2=2c2.因为△AF1B
2 的周长为AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=4 3 ,所以a= 3 ,c=1,所以b =2,所以椭圆E

x2 y2 的方程为 3 + 2 =1.

3 2 4. x + 2 y2=1

b2 解析:如图,因为AF2⊥x轴,所以AF2= a =b2,设点A(c,b2),又AF1=3BF1,
2 ? ? b2 ? ? 2 ?- ? ?? 5 ? ? 3 ? ? 1, ?? - c ? ? b2 ?? 3 ? ?b 2 ? 1-c 2 , ?

? 5 1 2? ? - c,- b ? 所以B的坐标为 ? 3 3 ? ,将其代入椭圆方程,联立方程组
1 2 3 2 2 2 解得c = 3 ,b = 3 ,所以椭圆的方程为x + 2 y =1.
2

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(第4题)

5.

2 2

1 1 3 解析:由题意知直线方程为y-1=- 2 (x-1),即y=- 2 x+ 2 ,设

2 2 x12 y12 x2 y2 2 2 2 2 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 a + b =1, a + b =1,两式相减得

(x1 -x2 )(x1 ? x2 ) (y1 -y2 )(y1 ? y2 ) b2 a2 + =0,又点M为线段AB的中点,所以

? 1 3 ? 1 3 ?? 2 ?- x1 ? - ? - x2 ? ? ? 2 ? 2 2 ?? 2 2(x1 -x2 ) ? 2 2 2 b a + =0,即a2=2b2,从而a2=2c2,所以e= 2 .

x2 y2 6. 9 + 2 =1

? x2 y 2 ? 1, ? ? t ?9 ? 解析:当m=0时,直线l的方程为x=1,设点E在x轴上方,由 ? x ? 1,

? 2 2t ? ? 2 2t ? 4 2t 4 2t 16 1 ? ? 1, 3 ? ? ? ?1,- 3 ? ? ? ,F ? ? ,所以EF= 3 .因为△AEF的面积为 2 ×4× 3 = 3 , 解得E ?

x2 y2 解得t=2,故椭圆的方程为 9 + 2 =1.

?1 ? ? ,1? 7. ? 3 ?

4a ? PF ? , ? ? 1 3 ? ? PF1 ? PF2 ? 2a, 4a 2a ? PF ? 2a , ? 2 PF1 ? 2PF2 , ? 3 ? 解析:由 解得 ? 由椭圆性质知 3 - 3 ≤2c,即

?

?

?1 ? 2a c 1 1 ? ,1? 3 ≤2c, a ≥ 3 ,即e≥ 3 ,所以e∈ ? 3 ? .

F1 F2 x2 2 2 2 2 8. 2 +y =1 解析:设F1(-c,0),F2(c,0),其中c =a -b .由 DF1 =2 2 ,得

F1 F2 2 2 2 2 1 S 2 DF1= 2 2 = 2 c,从而 ? DF F = 2 DF1·F1F2= 2 c = 2 ,故c=1,从而DF1= 2 .由DF1⊥
1 2

3 2 9 2 2 2 F F F F1F2,得D 2 =D 1 +F1 2 = 2 ,因此DF2= 2 .所以2a=DF1+DF2=2 2 ,故

x2 a= 2 ,b2=a2-c2=1.因此所求椭圆的标准方程为 2 +y2=1.

x2 y2 2 2 9. (1) 由题意可设椭圆的方程为 a + b =1(a>b>0).
3 因为e= 2 ,所以a2=4b2.



又因为椭圆过点M(4,1),
16 1 2 2 所以 a + b =1,



由①②解得b2=5,a2=20,

x2 y 2 故椭圆的方程为 20 + 5 =1.

x2 y2 (2) 将y=x+m代入 20 + 5 =1,
整理得5x2+8mx+4m2-20=0, 由题意知Δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-5<m<5, 故实数m的取值范围为(-5,5).

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8 7 10. (1) 由准线为y= 7 知焦点在y轴上,

y 2 x2 2 2 则可设椭圆方程为 a + b =1.
? 2 a ? 4 2, ? ?a ? 2 2, ? ? a2 8 7 ? , ? ? c 7 ?c ? 7, ? 由题意得 解得 ?
所以b2=a2-c2=1.

y2 故椭圆的标准方程为x2+ 8 =1.
(2) 由题意知直线MA,MB的斜率存在,设直线MA的斜率为k,不妨设k>0,将y=2 2 x代

? 2 ? ? ? 2 ,2 ? ? ?, 入椭圆方程,得M ? ? 2? x ? ? 2 ? ? ?, 故直线MA的方程为y-2=k ?

? 2? x ? ? 2 ? ? ?. 直线MB的方程为y-2=-k ?
2 2 k 2 -4k 2 分别与椭圆方程联立,可解出xA= k ? 8 - 2 ,

2 2 k 2 ? 4k 2 xB= k ? 8 - 2 .
y A -y B k (x A ? xB - 2) x A -xB =2 因为 x A -x B =
故直线AB的斜率为定值.

2

,所以kAB=2 2 (定值).

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5 5 2 2 11. (1) 由题意知 a = 3 , a -b = 5 ,解得a=3,b=2,

x2 y 2 因此椭圆C的标准方程为 9 + 4 =1.
(2) ①设从点P所引的直线的方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0), 当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时,分别设为k1,k2,则k1k2=-1,将直线 y=kx+(y0-kx0)的方程代入椭圆C的方程得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0, Δ=[18k(y0-kx0)]2-4×(9k2+4)[9(y0-kx0)2-36]=0, 化简得(y0-kx0)2-9k2-4=0,
2 2 x y 2 0 0 即( -9)k -2x y k+( -4)=0,
0 0

2 y0 -4 2 2 2 x0 y 2 则k1,k2是关于k的一元二次方程( -9)k -2kx0y0+( 0 -4)=0的两根,则k1k2= x0 -9 =-1,

化简得

2 2 x0 y0

+

=13.

②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直,则点P的坐标为(±3,±2),此时点P也在 圆x2+y2=13上. 综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13.

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