当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:13.2 导数的应用


§13.2

导数的应用

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)

导数f′(x)的符号
f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0

函数f(x)的单调性
增函数 在该区间内为_________

减函数 在该区间内为_________
常数函数 在该区间内为_________

目录

2.函数的极值与最值的辨析

(1)定义
设函数f(x)在点x0 附近有定义,如果对x0 附近的所有点,都有

< f(x)____ f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y
极大值 =f(x0);如果对x0 附近的所有点,都有f(x)____

>

f(x0),我

们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大
值与极小值统称为极值.
目录

(2)判别f(x0)是极值的方法

一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0 附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是 极大值 _________. f′(x)>0 f′(x)<0 ②如果在x 附近的左侧_________,右侧_________,那么f(x )
0 0

是极小值.
(3)函数的最大值与最小值 在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小 值, 但在开区间(a, b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小 1 值,例如 f(x)= ,x∈(0,+∞). x

目录

思考探究
1.如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0,则f(x)是否一定是其定 义域上的增函数?为什么?
提示: 不一定. 因为导数研究的函数的单调性是一个区间概念, 如果定义域为一个连续的区间,则一定是增函数,反之,则不 1 一定是增函数,如 f(x)=- 在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞) x 内恒有 f′(x)>0,f(x)在每个区间上都是递增的,但 f(x)不是 增函数.

目录

2.对于函数y=x3,在x=0处能取得极值吗?

提示:在x=0处不能取得极值.因为f′(x)=3x2≥0恒成
立.在x=0两侧单调性没发生变化.

目录

课前热身
1.函数 y=x-x3 的单调递增区间是( A.(-∞,-1),(1,+∞) 3 3 C.(-∞,- ),( ,+∞) 3 3 ) B.(-1,1) 3 3 D.(- , ) 3 3

答案:D

目录

2.函数f(x)=x3-3x+1在[-3,0]上的最大值、最小值分

别是(

)
B.1,-17 D.9,-19

A.1,-1 C.3,-17 答案:C

目录

3.(2012· 高考福建卷)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c, 且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:

①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( A.①③ ) B.①④

C.②③

D.②④

解析:选C.∵f(x)=x3-6x2+9x-abc,∴f′(x)=3x2-12x+9 =3(x-1)(x-3),令f′(x)=0,得x=1或x=3.依题意有,函 数f(x)=x3-6x2+9x-abc的图象与x轴有三个不同的交点,故 f(1)f(3)<0,即(1-6+9-abc)· 3-6×32+9×3-abc)<0, (3 ∴0<abc<4,∴f(0)=-abc<0,f(1)=4-abc>0,f(3)=- abc<0,故②③是对的,应选C.
目录

4.f(x)=x(x-b)2在x=2处有极大值,则常数b的值为_____.

答案:6

目录

5.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单元: 1 3 万件)的函数关系式为 y=- x +81x-234, 则使该生产厂家获 3 取最大年利润的年产量为________.

解析:y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9(-9舍去), 当0<x<9时,y′>0;当x>9时,y′<0.

则当x=9时,y取得最大值,
故最大年利润的年产量为9万件. 答案:9万件

目录

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 用导数研究函数的单调性

若函数 f(x)为连续函数,使 f′(x)>0 的 x 的取值区间为 f(x) 的增区间;使 f′(x)<0 的 x 的取值区间为 f(x)的减区间,注 意定义域.

目录

例1

2 1 3 a +2 2 设函数 f(x)= x - x +(a2+1)x+6, 3 2

求 f(x)的单调区间.

【思路分析】

求f′(x),并求解不等式f′(x)>0及f′(x)<0.

目录

【解】

f′(x)=x2-(a2+2)x+(a2+1)

=(x-1)[x-(a2+1)].

∵a2+1≥1,
∴当a=0时,f′(x)≥0, ∴f(x)在R上为增函数;

当a≠0时,a2+1>1,
∴f′(x)>0时,x>a2+1或x<1; f′(x)<0时,1<x<a2+1. ∴增区间为(a2+1,+∞),(-∞,1); 减区间为(1,a2+1). 【名师点评】 对于含有参数的函数研究单调性时,要根据 参数是否影响f′(x)正负取值来确定是否讨论参数.
目录

考点2

用导数求函数的极值

对于求极值的问题,首先明确函数的定义域,并用导数为0的
点把定义域分割成几部分,然后列表判断导数在各部分取值

的正负,极值点从表中就很清楚地显示出来.

目录

例2

求函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1)的极值.

【 思路 分析 】 → 由表得极值 .

求出f′?x? → 求出f′?x?=0的根 → 列表

目录

【解】

由已知得f′(x)=6x[x-(a-1)],

令f′(x)=0,得x1=0,x2=a-1. ①当a=1时,f′(x)=6x2 ,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, f(x)没有极值. ②当a>1时,f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表: (-∞, x 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞) 0) f′(x) 0 0 + - + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可知:当x=0时,f(x)有极大值f(0)且f(0)=1;

当x=a-1,f(x)有极小值f(a-1)且f(a-1)=1-(a-1)3.
综上所述:当a=1时,f(x)没有极值; 当a>1时,f(x)的极大值为f(0)=1.
目录

【思维总结】

f′(x0)=0只是x0为极值的必要条件.务必有

在x0两侧f(x)单调发生变化,才能确定f(x0)为极值点.

目录

跟踪训练
1.若本例中的函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,在x=0处取得极 值.求a的取值范围.
解:由已知得 f′(x)=6x[x-(a-1)], 显然 f′(0)=0 恒成立. 要使 f(x)在 x=0 处有极值,则 f′(x)=0 必有两个不等根, ∴a-1≠0,∴a≠1.

目录

考点3 用导数求函数的最值或值域
(1)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极 小值可不再判断,只需直接与端点的函数值比较即可获得. (2)当连续函数的极值只有一个时,相应的极值必为函数的最值.

目录

例3

已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).

(1)求f(x)的导数; (2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值. 【思路分析】 (1)第一问先展开,后对x求导,优于直接按积

的导数求导;(2)第二问是利用导数求函数的最值,应注意最

大(小)值是函数在f′(x)=0的根处及端点处值的最大(小)者.

目录

【解】 (1)由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f′(x)=3x2-2ax-4. 1 (2)由 f′(-1)=0,得 a= , 2 1 2 此时有 f(x)=(x -4)(x- ),f′(x)=3x2-x-4. 2 4 由 f′(x)=0,得 x= 或 x=-1. 3 4 50 9 又 f( )=- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0, 3 27 2 9 50 ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . 2 27

目录

【思维总结】

4 此题省去了讨论单调性的过程,因 x= 或 3

x=-1 是极值点.若 f′(x)=0 的点不是极值点时,必须要讨 论单调性,确定极值.

目录

跟踪训练 2.本例中,若f′(-1)=0,求f(x)在[0,1]上的值域.
1 解:∵f′(x)=3x -2ax-4,由 f′(-1)=0,得 a= . 2 1 4 2 ∴f(x)=(x -4)(x- ).∴f′(x)=3(x- )(x+1). 2 3 4 4 当 f′(x)<0 时,-1<x< ,故减区间为(-1, ). 3 3 ∴f(x)在[0,1]上为减函数. 3 ∴f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(1)=- , 2 3 3 ∴x∈[0,1]时,f(x)∈[- ,2].即值域为[- ,2]. 2 2
2

目录

考点4 生活中的优化问题
生活中的利润最大、用料最省等优化问题,可转化为函数最 值,结合导数求解.

目录

某集团为了获得更大的收益, 每年要投入一定的资金用 于广告促销.经调查,每投入广告费 t(百万元),可增加销售额 约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多 少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改 造.经预测,每投入技术改造费 x(百万元),可增加的销售额约 1 3 为- x +x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公 3 司由此获得的收益最大?(注:收益=销售额-投入)

例4

【思路分析】

(1)可直接求关于t的二次函数的最值.(2)中可

将收益看作关于x的函数,求其最值.
目录

【解】 (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万 元), 则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3). ∴当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元,即投入 2 百万 元的广告费时,该公司由此获得的收益最大. (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元), 则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元)(0≤x≤3), 又设由此而获得的收益是 g(x),则有 1 3 g(x)=(- x +x2+3x)+[-(3-x)2+5(3-x)]-3 3 1 3 =- x +4x+3(0≤x≤3). 3

目录

从而有g′(x)=-x2+4,令g′(x)=0,
解得x=-2(舍去)或x=2, 又当0≤x<2,g′(x)>0; 当2<x≤3时,g′(x)<0, 故g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数.

所以当x=2时,g(x)取得最大值.
即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时,该公 司由此获得的收益最大. 【思维总结】 在(2)中g(x)只有一个极值,就是其最值.

目录

方法感悟
方法技巧

1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时, f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间

上是减函数.

目录

2.求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根; (3)检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个 根处取得极小值.

3.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的范围时.则根据
f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.注意验证等号是否成立.

目录

失误防范 1.求函数单调区间时,要先求定义域,对于不连续的函数的 单调区间不可用“∪”联结合并.

2.利用极值求字母参数时,要注意将所求字母参数的值代入
验证,是否符合取极值的条件.

目录

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近两年的高考试题来看,导数的综合应用是高考的热点之 一,每年必考且题型多为解答题,题目难易程度属中、高档 题,并且多为压轴题.主要是借用导数处理函数的单调性、

极值、最值等问题,进而研究函数、数列的有关不等式.
在2012年的高考中,各省市考题都对此进行了考查,如大纲 全国卷试题,利用极值和单调性求字母参数的取值.江苏卷

利用导数与函数极值的关系,在数学思想方法上突出考查数
形结合、分类讨论及综合分析问题解决问题的能力. 预测2014年导数的综合应用仍是高考的热点,会在一道解答

题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力,难度
可能中等或较大.
目录

规范解答



(本题满分12分)(2011· 高考大纲全国卷)已知函数

f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2); (2)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围.

目录

【解】 (1)证明:f′(x)=3x2+6ax+3-6a.(2 分) 由 f(0)=12a-4,f′(0)=3-6a 得曲线 y=f(x)在 x=0 处的切 线方程为 y=(3-6a)x+12a-4, 由此知曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2).(5 分) (2)由 f′(x)=0 得 x2+2ax+1-2a=0. ①当 Δ≤0,即- 2-1≤a≤ f(x)没有极小值;(7 分) ②当 Δ>0,即 a> 2-1 或 a<- 2-1 时, 由 f′(x)=0 得 x1=-a- a2+2a-1, x2=-a+ a2+2a-1, 故 x0=x2.(9 分)
目录

2-1 时,

由题设知 1<-a+ a2+2a-1<3, 当 a> 2-1 时,不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 无解; 当 a<- 2-1 时,解不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 5 得- <a<- 2-1.(11 分) 2

?-5,- 2-1?.(12 分) 综合①②得 a 的取值范围是 2 ? ?

目录

【名师点评】

本题主要考查了函数的求导及导数的几何数、

求极值、判断单调性及分类讨论思想、运算推理能力,属于 中档偏上.此题入手容易,所以绝大多数考生在这个题目上 都能得分.不过也有很多考生不能得满分,主要在第(2)问中

分类讨论不全面,导致a的范围求错.这是平时练习不规范
导致的.

目录

知能演练轻松闯关

目录

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放

目录


相关文章:
...大纲版)一轮复习配套课件:13.2 导数的应用_图文.ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:13.2 导数的应用_数学_高中教育_教育专区。§13.2 导数的应用 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究...
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:14.2 导数的应用(共40张PPT)_数学_高中教育_教育专区。§14.2 导数的应用 本节目录 教材回顾夯实...
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 13.2 导数的应用....ppt
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 13.2 导数的应用课件_高考_高中教育_教育...在2012年的高考中,各省市考题都对此进行了考查,如大纲 全国卷试题,利用极值和...
...大纲版)一轮复习配套课件:6.2 算术平均数与几何平均....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:6.2 算术平均数与几何平均数_数学_高中教育_教育专区。§6.2 算术平均数与几何平均数 本节目录 ...
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习随堂检测:13.2 导....doc
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习随堂检测:13.2 导数的应用 Word版含解析] - 1 (2012 高考大纲全国卷)已知函数 f(x)= x3+x2+ax. 3 (1)讨论 f...
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.9 ....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.9 函数的应用_...导数“融会贯通”,命制选择题、填空题、解答题,难度中档偏上,有的是函数模型...
...大纲版)一轮复习配套课件:2.3 函数的单调性及最值_....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.3 函数的单调性...最值及导数 的应用,同时考查运算求解能力. 本题考生应该比较容易得分,但从高考...
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:13.2 导....doc
2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:13.2 导数的应用 Word版含解析] - 一、选择题 1.(2013 山东临沂模拟)已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′...
...大纲版)一轮复习配套课件:3.5 数列的综合应用_图文.ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:3.5 数列的综合应用 - §3.5 数列的综合应用 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练 ...
...大纲版)一轮复习配套课件:3.2 等差数列_图文.ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:3.2 等差数列_数学_高中教育_教育专区。§3.2 等差数列 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练...
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.9 ....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.9 函数的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§2.9 函数的应用 本节目录 教材回顾夯实双基 ...
...大纲版)一轮复习配套课件:7.2 两条直线的位置关系_....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:7.2 两条直线的...切线问题还常与导数综合. 2011年高考中,在本知识点上单独命题的有浙江卷、安徽...
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.9 函数的应用(共31张PPT) - §2.9 函数的应用 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究...
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.2 ....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:10.2 排列、组合及应用_数学_高中教育_教育专区。§10.2 排列、组合及应用 本节目录 教材回顾夯实...
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.3 函数的单调性...最值及导数 的应用,同时考查运算求解能力. 本题考生应该比较容易得分,但从高考...
...大纲版)一轮复习配套课件:2.2 函数的定义域、值域_....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.2 函数的定义域...复习的导数,与极值区分开. 目录 例3 求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ...
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:5.5 解斜三角
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.6 指数与指数...还可用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值. 目录 【解】 (1)...
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:2.2 函数的定义域、值域(共35张PPT) - §2.2 函数的定义域、值域 本节目录 教材回顾夯实双基 ....
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:6.2 算术平均数与几何平均数(共31张PPT)_数学_高中教育_教育专区。§6.2 算术平均数与几何平均数...
更多相关标签: