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广东省中山一中-届高三暑假数学模拟训练十

广东省中山一中 2009-2010 届高三暑假数学模拟训练十
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A B) ? P( A) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01 , , 2, …,n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

第一部分 选择题(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1 、 设 a ? (m ? 1)i ? 3i, b ? i ? (m ? 1) j, 其 中 i , j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 又

(a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m =(
(A) 3 2、若 1 ? (B) 2

) 。 (C)-3 )m (D)-2

1 1 ? , 则下列结论中不 正确的是 ( . a b

(A). loga b ? logb a ;

(B) | loga b ? logb a |? 2 ;

(C). (logb a) 2 ? 1 ; (D). | loga b | ? | logb a |?| loga b ? logb a | 3、方程 sin x = lg x 的实根有 ( )

(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 无穷多个 4、过点(-1,3)且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 ( )

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 ;B. 2 x ? y ? 5 ? 0 ;C. x ? 2 y ? 5 ? 0 ; D. x ? 2 y ? 7 ? 0 5、若 sinα >tanα >cotα ((A)(-

? ? ,) 2 4

? ? <α < ),则α ∈ ( ) 2 2 ? ? ? ? (B)(,0) (C)(0, ) (D)( , ) 4 4 4 2
) D.3

6、已知复数 z 的模为 2,则 |z-i| 的最大值为( A.1 B.2 C.4

7、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,

则球面面积是( (A)

) (B)

16 π 9

8、对任意θ ∈(0,

? )都有( 2

8 π 3

(C)4π )

(D)

64 π 9

(A)sin(sinθ )<cosθ <cos(cosθ ) (C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ

(B) sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ ) (D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ ) )

9、若 c ? 1, a ? c ? c ? 1, b ? c ? 1 ? c .则下列结论中正确的是 (

? A? a ? b

? B ? a?

b

?C ? a ? b

? D? a ? b

10、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 ( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条

D

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的, 只计算前一题得分.每小题 5 分,满分 20 分. 11、集合 M ? ?x ? 1 ? log 1 10 ? ?
x

? ? ? ?

1 ,x ?N 2

? ? . ? 的真子集的个数是 ______ ? ?

12、如果函数 f ? x ? ?

x2 ,那么 1? x2

?1? ?1? ?1? f ?1? ? f ?2? ? f ? ? ? f ?3? ? f ? ? ? f ?4? ? f ? ? ? _____. ?2? ? 3? ? 4?
13、 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 9 25

的坐标是_____________________. 14、 (坐标系与参数方程选做题) 设M、 N分别是曲线 ? ? 2sin ? ? 0 和 ? s in(? ? 上的动点,则M、N的最小距离是 15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D , 则 BD CD ? 2 7 ,AB ? BC ? 3 。 的长______________, AC 的长______________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 a ? (cos?, (? ? 1) sin ? ),b ? (cos? , sin ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是 平 面 上 的 两 个 向 量,且 a ? b与a ? b 互相垂直.
A

?
4

)?

2 2

C

O D B

(1)求λ 的值; (2)若 a ? b ?

4 4 , tan ? ? , 求 tan ? 的值. 5 3

17. (本小题满分 12 分) 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ? 表示方程 x 2 ? bx ? c ? 0 实根 的个数(重根按一个计) . (Ⅰ)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率; (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率.

18. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 . (Ⅰ) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅲ) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] , 试求 m 、 应满足的条件。

19. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,

S

SA ? 底面 ABCD , SA ? AB , 点 M 是 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N .
(I) 求证: SB // 平面 ACM ; (II) 求二面角 D ? AC ? M 的余弦值大小; (III)求证:平面 SAC ⊥平面 AMN .

N M A D C B

20. (本小题满分 14 分) 双曲线 M 的中心在原点,并以椭圆 线为右准线. (Ⅰ)求双曲线 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 3 与双曲线 M 相交于 A、B 两点,O 是原点. ① 当 k 为何值时,使得 OA ? OB ? 0 ? ② 是否存在这样的实数 k ,使 A、 B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称?若存在, 求出 k 的 值;若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为焦点,以抛物线 y 2 ? ?2 3x 的准 25 13

21. (本小题满分 14 分) 把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 7 9 5 11 — — — — — — — — — 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。 (I)若,求的值; (II)已知函数的反函数为 ,若记三角形数表中从上往下数第 n 行各数的和为,求 数列的前 n 项和。

参考答案及评分说明 一.选择题:DDCAB DDDAB 解析:1: a ? b ? (m ? 2)i ? (m ? 4) j, a ? b ? mi ? (m ? 2) j. ∵ (a ? b) ? (a ? b) , ∴ (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ∴ m(m ? 2) j 2 ? [?(m ? 2) 2 ? m(m ? 4)]i ? j ? (m ? 2)(m ? 4) j 2 ? 0 , 而 i,j 为互相垂直的单位向量,故可得 m(m ? 2) ? (m ? 2)(m ? 4) ? 0, ∴ m ? ?2 。故 选 ?D? 2:∵ 1 ?

1 1 ? , ∴0<b<a<1. 由指数函数的单调性可知: a b

h?x?b =1 log ? loga a ? 1 ? logb b ? logb a ? 0 ,又∵ loga b ? logb a ? 1 ∴选(D) a
6

3:作 y= sin x 与 y= lg x 的图象,从图中可以看出:两曲线有 3 个交点,即方程有 3 个实根.选 (C)
4

y
2

1

O

1

5

10

15

x

20

-2

4:由斜率去筛选,则可排除(C)、(D);再用点(-1,3)去筛选,代入(A)成立, ∴应选(A).
-4

5:取α =
-6

±

? ? 、± ,代入求出 sinα 、tanα 3 6

、cotα 的值,易知α =-

? 6

适合题设条件,∴应选(B).

6:由复数模的几何意义,画出右图,可知当圆上的点到 M 的 距离最大时即为|z-i|最大。所以选 D

M-i 2

7: ∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= =4πR2≥4πr2=

2 3 , 则S 3



?0 时,sin(sinθ ) ?0,cosθ ?1,cos(cosθ ) ?cos1,故排除 A,B. ? 当θ ? 时,cos(sinθ ) ?cos1,cosθ ?0,故排除 C,因此选 D.
8:当θ

16 π>5π,故选(D). 3

2

9: 由于 a ? b 的含义是 a ? b或a ? b. 于是若 ? B ? 成立, 则有 ? D ? 成立; 同理, 若 ? C ? 成立, 则 ?D? 也成立,以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾,故排除 ? B ? , ? C ? . 再考虑

? A? , ? D? ,取 c ? 3 代入得 a ?

3 ? 2, b ? 2 ? 3 ,显然 a ? b ,排除 ? D ? .故选 ? A ? .

10:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以 A(1,2)为 圆心,1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知识易知,满足 题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。故选 B。 二.填空题:11、 2 解析: 11: M ? x 1 ? lgx ? 2, x ? N ? x 10 ? x ? 100 , x ? N ,显然集合 M 中有 90 个元素, 其真子集的个数是 2
90 90

7 3 ? 1 ;12、 . ; 13、 ?? 3,0? 或 ?3,0?. ;14、 2-1;15、4, ( 7); 2 2

?

? ?

?

? 1 ,应填 2 90 ? 1 .

12:容易发现 f ?t ? ? f ? ? ? 1 ,于是

?1? ?t ?

原式= f ?1? ? 3 ?

7 7 ,应填 . 2 2

13:记椭圆的二焦点为 F1,F2 ,有 PF , 1 ? PF 2 ? 2a ? 10

? PF1 ? PF2 ? ? ? 25. 则知 m ? PF1 ? PF2 ? ? ? ? 2 ? ?
显然当 PF 1 ? PF 2 ? 5 ,即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时,m 取得最大值 25. 故应填 ?? 3,0? 或 ?3,0 ?. 14.(略) 15.(略) 三.解答题: 16.解: (1)由题设,得

2

(a ? b) ? (a ? b) ?| a |2 ? | b |2 ? cos 2 ? ? (? ? 1) 2 sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (? ? 1)2 sin 2 ? ? sin 2 ? ,
因为 a ? b 与 a ? b 垂直 ?(? ?12 ) s i2 n ? ?

-----------------3 分

s2 i ? n ? 即? 0 (? ? 2)sin 2 ? ? 0
------------------6 分

0 ? ? ? ? ,?sin 2 ? ? 0 . 又 ? ? 0 ,故 ? ? 2 ? 0 ,∴ ? 的值为 2.
(2)当 a ? b与a ? b 垂直时, a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )

a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ------------------8 分
? cos( ? ? ? ) ? 4 ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ? ? 0 ------------------10 分 5 2

3 3 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan( ? ? ?) ? ? 5 4 tan( ? ? ? ) ? tan ? 7 ? tan? ? tan[( ? ? ?) ? ?] ? ? 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 24
17.解:(I)基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,

------------------12 分

若使方程有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,即 b ? 2 c 。------------------2 分 当 c ? 1 时, b ? 2,3, 4,5,6 ; 当 c ? 2 时, b ? 3, 4,5,6 ; ------------------3 分 当 c ? 3 时, b ? 4,5,6 ; 当 c ? 5 时, b ? 5, 6 ; 当 c ? 4 时, b ? 4,5,6 ; ------------------4 分 当 c ? 6 时, b ? 5, 6 , ------------------5 分

目标事件个数为 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 19,

19 . ------------------6 分 36 17 2 1 17 ? , P (? ? 2) ? , (II)由题意知, ? ? 0,1, 2 ,则 P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? 36 36 18 36
2 因此方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为

故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

17 36

1 18

17 36
------------------10 分

? 的数学期望 E? ? 0 ?

17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1. 36 18 36

2 (III)记 “先后两次出现的点数中有 5”为事件 M, “方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根” 为事件 N,

则 P( M ) ?

11 7 , P( MN ) ? , 36 36
2

P( N M ) ?

P( MN ) 7 ? .------------------12 分 P( M ) 11
y

18.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b , 由题意得, 1, ? 1 是 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根, 解得, a ? 0, b ? ?3 . ------------------2 分 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 . ∴ f ( x) ? x 3 ? 3x ? 2 . ------------------4 分
-1 O 2 x

-2

-4

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;------------------5 分

当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;------------------6 分 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 (??, ?1] 上是增函数;------------------7 分 ] 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数. 在区间 [ ?1,1 函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . ------------------9 分 (Ⅲ)函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位,向上平移 4 m 个单位得到, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域为 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) .-------------10 分 ? 4 ? 4 m ? ? 20 m ? 4 而 f (?3) ? ?20 ,∴ ,即 . 于是,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] .------------------12 分 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 . 由 f ( x) 的单调性知, ?1 ? n ? 4 ? 2 ,即 3 ? n ? 6 . 综上所述, m 、应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 ? n ? 6 ------------------14 分

19.(Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME .

ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. ----------1 分
M 是 SD 的中点, ∴ ME 是 ?DSB 的中位线. ∴ ME // SB . ----------2 分
又∵ ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ----------3 分 ∴ SB // 平面 ACM .------------------4 分 (II)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 由 SA ? AB 故设 AB ? AD ? AS ? 1 ,则

1 1 A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), S (0, 0,1), M ( , 0, ) . ----------6 分 2 2

? SA ? 底面 ABCD ,
∴ AS 是平面 ABCD 的法向量, AS ? (0,0,1) .----------7 分 设平面 ACM 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
M A D

z S

N B y C

1 1 AC ? (1,1, 0), AM ? ( , 0, ) , 2 2
x

? x ? y ? 0 ? 0, ? ? ? n ? AC ? 0, 则? 即 ?1 1 x ? 0 ? z ? 0. ? ? ? n ? AM ? 0. ?2 2


? y ? ? x, ? ? z ? ? x.

令 x ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, ? 1) . ----------9 分

∴ cos ? AS , n ??

AS ? n ?1 3 , ? ?? 3 | AS | ? | n | 1? 3

∴二面角 D ? AC ? M 的余弦值为

3 . ------------------10 分 3

(III)

?1 1? AM ? ? , 0, ? , CS ? ? ?1, ?1,1? , ?2 2?

1 1 ? AM ? CS ? ? ? ? 0 ----------11 分 2 2

? AM ? CS



SC ? AN 且 AN

AM ? A .----------12 分
----------13 分

? SC ? 平面AMN . 又 SC ? 平面 SAC ,
∴平面 SAC ⊥平面 AMN .

------------------14 分

20.解: (Ⅰ)易知,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的半焦距为: c ? 2 3 , 25 13
3 . 2
----------2 分

又抛物线 y 2 ? ?2 3x 的准线为: x ?

x2 y2 a2 3 设双曲线 M 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,依题意有 , ? c 2 a b
故 a2 ?

3 3 c? ? 2 3 ? 3 ,又 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 12 ? 3 ? 9 . 2 2

∴双曲线 M 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ----------4 分 3 9

(Ⅱ)设直线 l 与双曲线 M 的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 两点

? x2 y2 ?1 ? ? 联立方程组 ? 3 消去 y 得 (k 2 ? 3) x 2 ? 6k ? 18 ? 0 ,-------5 分 9 ? y ? kx ? 3 ?
2 ∵ A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 两点的横坐标是上述方程的两个不同实根, ∴ k ? 3 ? 0

∴ ? ? (6k ) 2 ? 4(k 2 ? 3) ?18 ? 0 ? ? 6 ? k ? 6 , 从而有 x1 ? x 2 ? ?

6k 18 , x1 x 2 ? 2 . k ?3 k ?3
2

----------7 分

又 y1 ? kx1 ? 3 , y 2 ? kx2 ? 3

∴ y1 y 2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k x1 x2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ?
2

18k 2 18k 2 ? ?9 ?9. k2 ?3 k2 ?3
18 ?9 ? 0 k ?3
2

① 若 OA

?

OB ? 0 , 则 有

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

? k 2 ? 1 ? k ? ?1 .
∴当 k ? ?1 时,使得 OA ? OB ? 0 . ----------10 分

② 若存在实数 k ,使 A、B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称,则必有 k ? ? 因此,当 m=0 时,不存在满足条件的 k;
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? 9 2 2 2 2 当 m ? 0 时,由 ? 得 3( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 0 2 2 ? ?3x 2 ? y 2 ? 9

1 , m

?

y ? y2 x ? x2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 y ? y2 ?3 1 ? ?3 ?k? 1 ?3 ?k? 1 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

∵A、B 中点 P(

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 在直线 y ? m x ? 12 上, 2 2

y1 ? y2 x ?x ? m 1 2 ? 12 ,代入上式得 2 2 x ?x x ?x km ? 1 2 ? 12k ? 3 1 2 ,又 km ? ?1 , ∴ x1 ? x2 ? 6k ----------13 分 2 2 6k 将 x1 ? x 2 ? ? 2 代入并注意到 k ? 0 ,得 k 2 ? 2 ? k ? ? 2 . k ?3
∴ ∴当 m ? 0 时,存在实数 k ? ? 2 ,使 A、B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称----------14 分

21.解(I)三角形数表中前行共有个数, 第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。 故第行最后一个数是 因此,使得的 m 是不等式的最小正整数解。----------4 分 由得 ----------6 分 于是,第 45 行第一个数是 ----------7 分 (II) , 。 故 ----------9 分 第 n 行最后一个数是,且有 n 个数,若将看成第 n 行第一个数,则第 n 行各数成公差为-2 的等差数列,故。 故 两式相减得:

----------13 分 ----------14 分


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