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山东省冠县武训高级中学2014高二数学 1-1 第2课时 数列的函数特性复习导学案 新人教A版


山东省冠县武训高级中学 2014 高二数学 1-1 第 2 课时 数列的函数特性复习导 学案 新人教 A 版
知能目标解读 1.熟练掌握数列与函数之间的关系,了解数列是一种特殊的函数的含义. 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 3.能够通过探求数列的 增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项. 重点难点点拨 重点:1.了解数列是一种特殊的函数的含义. 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 难点:用函 数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题. 学习方 法指导 1.数列的概念与函数概念的联系 (1)数列是一种特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,?,n},它是一种自变量“等 距离”地离散取值的函数. (2)数列与函数不能画等号,数列是相应函数的一系列函数值. (3)利用函数与数列的关系,可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质. 2.数列的表示方法 (1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点. (2)若数列是以解析式的形式给出的,则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点. (3)数列是一类离散函数,它是刻画离散过程的重要数学模型,有很广泛的应用. (4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关 系, 比较直观, 但是它只能表示有限个元素间的对应 关系. 3.数列的单调性 (1)递增数列:一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都大于它前面的一项,即 an+1>an(n∈ N+),那么这个数列叫做递增数列. (2)递减数列:一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都小于它前面的项,即 an+1<an(n∈N+), 那么这个数列叫做递减数列. (3)常数列:如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做常数列. (4)摆动数列:一个数列{an},从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个 数列叫做摆动数列.? 注意: (ⅰ)有关数列的分类,由于分类的标准不同,分类方法也不一致:

(ⅱ)数列的单调性的判断,定义法是十分重要的方法,即计算 an+1-an,并研究差的符号的正负;除了应用
1

定义判断外,也可以利用其函数性质判定,例如数列 an=3-n,因为一次函数 y=3-x 是减函数,因此可判断 数列{an}是递减数列. 4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有: (1)定义法:其中之一是作差比较,为了便于判断 an+1-an 的符号,通常将 an+1-an 变成常数形式或因式连乘 积的形式或平方和形式. 除了作差比较外,也可以采用作商的方法,作商时,首先应明确数列的项 an 的符号( an>0 还是 an<0),将其 商与 1 进行比较,从而确定数列的单调性,对于多项式应进行因式分解,对于根式,进行分子(或分母) 有理化. (2)借助于数列图像的直观性,证明数列的单调性. 知能自主梳理 1.几种数列的概念 (1)数列按照项与项之间的大小关系可分为 列. (2)一般地,一个数列{an} ,如果从第 2 项起,每一项都大于它前面的一项,即 列 叫做 数列; , 那么这个数列叫做 数 (3) 一个数列, 如果从第 2 项起, 每一项都小于它前面的一项, 即 列; (4)一个数列,如果从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫做 数列; (5)如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做 2.数列的递推公式 如果已知数列的 (或前几项),且从第二项(或某一项)开始的 与它的 数列. ,那么这个数 数列, 数列, 数列和 数

(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 公式. 3.an 与 Sn 的关系 S1 若数列{an}的前 n 项和记为 Sn,即 Sn=a1+a2+?+an,则 an= (n≥2) [答案] 1.(1)递增 递减 摆动 常 (2)an+1>an 2.第 1 项 任一项 an 前一项 an-1 递推 3.Sn-Sn-1 思路方法技巧 命题方向 数列表示法的应用 [例 1] (1)根据数列的通项公式填表: n[ an 1 2 ? ? 5 ? ? 153 ? ? n 3(3+4n) 递增 (3)an+1<an 递减 (4)摆动(5)常 (n=1)

(2)画出数列{an}的图像,其中 an=3n-1. [分析] (1)根据数列的通项公式,代入相应的 n 值得到所求的项,解关于 n 的方程得项对应的 n 值.
2

(2)在直角坐标系下,描出点(n,an). [解析] (1)由第 n 项可知此数列的通项公式为:an=3(4n+3), 所以 a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69. 令 3(4n+3)=153,解得 n=12. 故填充完整的表格为:? n an
n-1

1 21

2 33

? ?

5 69

? ?

12 153

? ?

n 3(3+4n)

(2)∵an=3 ,列表: n an 1 1 2 3 3 9 4 27

? ?

在直角坐标系中图像如下:

[说明] (1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系,比较直观,但它只能表示有限个元素 之间的对应关系;(2)数列 an=3n-1 的图像是函数 y=3x-1 (x>0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用 1 已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1,作出该数列的图像. [解析] 分别取 n=1,2,3,?,得到点(1,1),(2,3),(3,5),?,描点作出图像.如图,它的图像是直线 y=2x-1 上 的一些等间隔的点.

命题方向 数列单调性的判断 [例 2] 已知函数 f(x)=2x-2-x,数列{an}满足 f(log2an) =-2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}是递减数列. [分析] (1)已知函数关系式,由条件可得出 2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于 an 的方程即可; (2)只需
3

证明 an+1-an<0 或

an >1(an>0)即可. a n ?1

[解析] (1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n, ∴2log2an-2-log2an=-2n,an-

1 =-2n, an
2

∴an2+2nan-1=0,解得 an=-n± n ? 1 . ∵an>0,∴an= n ? 1 -n.
2

(n ? 1) 2 ? 1 ? (n ? 1) a n ?1 (2) = an n2 ? 1 ? n

=

n2 ? 1 ? n (n ? 1)2 ? 1 ? (n ? 1)

<1.

即{an}是递减数列. [说明] 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列,由于数列可看作是一个特殊的函数,因此,判 断函数性质的方法同样适用于数列.比较 an 与 an+1 大小的常用方法有:①作差法:若 an+1-an>0,则数列{an} 是递增数列; 若 an+1-an<0, 则数列{an}是递减数列.②作商法: 若 则数列{an}是递减数列. 变式应用 2 写出数列 1,

a n ?1 a >1,则数列{an}是递增数列; 若 n ?1 <1, an an

2 3 4 5 , , , ,?的通项公式,并判断它的增减性. 4 7 10 13
n , 3n ? 2

[解析] 该数列的通项公式为 an= ∴an+1-an=

n ?1 ?2 n = . 3(n ? 1) ? 2 3n ? 2 (3n ? 1)(3n ? 2)

∵n∈N+,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴an+1<an,∴该数列为递减数列. 命题方向 数列中最大项与最小项的求法 [例 3] 求数列{-2n2+9n+3}中的最大项. [分析] 由通项公式可以看出 an 与 n 构成二次函数关系,求二次函数的最 值可采用配方法.此时应注意 自变量 n 为正整数. [解析] 由已知 an=-2n2+9n+3=-2(n-

9 2 105 )+ . 4 8

由于 n 为正整数,故当 n=2 时,an 取得最大值为 13. 所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为 a2=13. [说明] 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项 问题可用函数最值的
4

求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件. 变式应用 3 已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. [解析] (1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N+,∴n=2,3. ∴数列有两项是负数. (2)∵an=n2-5n+4=(n-

5 2 9 5 ) - ,可知对称轴方程为 n= =2.5. 2 4 2
探索延拓创新

又∵n∈N+,∴n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 22-5×2+4=-2. 命题方向 数列的实际应用题 [例 4] 在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出它们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资 1500 元,以后每年月工资比上年月工资增加 230 元,B 公司允诺第一年月工资为 2000 元,以后每年月工 资在上年月工资的基础上增加 5%,设某人年初被 A、B 两家公司同时录取,试问:该人在 A 公司工作比 在 B 公司工作月工资收入最多可以多多少元?并说明理由(精确到 1 元). [分析] 根据题意,先建立实际问题的数学模型,根据建立的函数模型解决问题.由于自变量 n∈N+,函数 解析式可以看作数列的通项公式,因此可运用数列的单调性求解. [解析] 设在 A 公司月工资为 an,在 B 公司月工资为 bn,则 问题等价于求 cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1 (n∈N+)的最大值. 当 n≥2 时,cn-cn-1=230-100×1.05n-2; 当 cn-cn-1>0,即 230-100×1.05n-2>0 时,1.05n-2<2.3,得 n<19.1. 因此,当 2≤n≤19 时,cn-1<cn, 于是当 n≥20 时,cn<cn-1. 所以 c19=a19-b19≈827(元). 即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多 827 元. [说明] 数列是一种特殊的函数,定义域为正整数集 N+(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的函数,数列的 通项公式就是相应的函数解析式,因此,用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径. 变式应用 4 某企业由于受 2011 年国家财政紧缩政策的影响, 预测 2012 年的月产值 (万元) 组成数列{an}, 满足 an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少,最少是多少万元? [解析] 由题意知,实质是求数列{an}的最小项. 由于 an=2n2-15n+3=2(n-

15 2 201 ), 4 8

图像如图所示,由图像知 n=4 时,a4 最小,a4=-25,即第 4 个月产值最少,最少为-25 万元.

5

名师辨误做答 [例 5] 已知 an=a· ( [误解] ∵an-an-1=a( ∴数列{an}为递减数列. [辨析] 错误原因是误认为 a>0,其实对非零实数 a 应分 a>0 和 a<0 两种情况讨论. [正解] ∵an-an-1=-a(

1 n ) (a≠0 且 a 为常数),试判断数列{an}的单调性. 2

1 n 1 1 ) -a( )n-1=-a( )n<0, 2 2 2

1 n ) (n≥2,n∈N*), 2

∴①当 a>0 时,an-an-1<0,∴an<an-1, ∴数列{an}是递减数列. ②当 a<0 时,an-an-1>0,∴an>an-1, ∴数列{an}是递增数列. 课堂巩固训练 一、选择题 1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则 a6=( A.7 [答案] C ? [解析] ∵a1=1,an-an-1=n-1(n≥2), ∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2, ∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,? ∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,? ∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,? ∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16. 2.(2012·济南高二检测)数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是( A. ) B.11 C.16 ) D.17 ?

121 4

B.30

C.31

D.32

[答案] B
6

[解析] an=-n2+11n=-(n-

11 2 121 )+ ,? 2 4

∵n∈N+,∴当 n=5 或 6 时,an 取最大值 30,故选 B. 3.一给定函数 y=f(x)的图像在下列图中, 并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到数列{an}满足 an+1>an(n ∈N+),则该函数的图像是( )

[答案] A [解析] 由关系式 an+1=f(an)得到数列{an}满足 an+1>an,可得 f(an)>an,即 f(x)>x.故要使该函数 y=f(x)图像上 任一点(x,y)都满足 y>x,图像必在直线 y=x 的上方,所以 A 正确. 说明:借用函数的图像与性质来研究数列时,要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系,不可不加 区分,混为一谈,表达时要清楚明白,数列问题有时用图像来处理,往往可以使问题巧妙、简捷地获得解 决.

二、填空题 4.已知 f(1)=2,f(n+1)=

f ( n) ? 1 (n∈N+),则 f(4)= 2

.

[答案]

9 8 f ( n) ? 1 (n∈N+),? 2

[解析] ∵f(1)=2,f(n+1)=

∴f(2)=

f (1) ? 1 3 = , 2 2

5 f (2) ? 1 2 5 f(3)= = = , 2 2 4
5 ?1 f (3) ? 1 4 9 f(4)= = = . 2 8 2
5.已知数列{an}中,an=an+m(a<0,n∈N+)满足 a1=2,a2=4,则 a3= [答案] 2 ?
7

.

2=a+m [解析] ∵a1=2,a2=4,?∴ 4=a +m ∴a3=(-1) +3=2. 三、解答题 6.证明数列{
3 2

a=2 , ∴ m=0 (舍去)或

a=-1 , m=3

1 }是递减数列.? n(n ? 1) 1 , n(n ? 1)

[证明] 令 an= ∴an+1-an= =

1 1 (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1)

n n?2 ? (n ? 1)( n ? 2) ? n n(n ? 1) ? (n ? 2)
2 <0,? n(n ? 1)( n ? 2)

=-

∴an+1<an.所以数列{

1 }是递减数列. n(n ? 1)
课后强化作业

一、选择题 1.已知数列{an}满足 an+1-an-3=0,则数列{an}是( A.递增数列 [答案] A ? [解析] 由条件得 an+1-an=3>0 可知 an+1>an, 所以数列{an}是递增数列. 2.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}的最大项为( A.5 [答案] D [解析] ∵an=-n2+10n+11=-(n-5) 2+36, ∴当 n=5 时,an 取最大值 36. 3.数列{an}中,a1=0,以后各项由公式 a1·a2·a3·?·an=n2 给出,则 a3+a5 等于( A. ) B.11 ) ? C.10 或 11 D.36 B.递减数列 ) C.常数列 D.不能确定

25 9

B.

25 16

C.

61 16

D.

31 15

[答案] C ? [解析] ∵a1·a2·a3·?·an=n2,? ∴a1·a2·a3=9,a1·a2=4,∴a3= 同理 a5=

9 .? 4

25 9 25 61 ,∴a3+a5= + = . 16 4 16 16
8

4 .已知数列{an}的通项公式 an=lg1536-(n-1)lg2,则使得 an<0 成立的最小正整数 n 的值为( A.11 [答案] D ? [解析] lg1536-lg2n-1<0,lg1536<lg2n-1, 即 2n-1>1536,代入验证得答案为 D. 5.已知数 列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+ B.13 C.15 D.12 ?



1 an ? 2

(n≥3),则 a5=(



A.

55 12

B.

13 3

C.4

D.5 ?

[答案] A ? [解析] a3=a2+ a4=a3+ a5=a4+

1 =3+1=4. a1

1 1 13 =4+ = . a2 3 3 1 13 1 55 = + = . a3 3 4 12 a3 的值是( a5


6.在数列{an}中,a1=1,an·an-1=an-1+(-1) n(n≥2),则

A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

[答案] C [解析] ∵a1=1,∴ a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a3= 又 a3a4=a3+(-1) 4,∴a4=3,? ∵a4a5=a4+(-1) 5=2,∴a5=

1 , 2

2 ,? 3

1 a3 2 3 ∴ = = . a5 2 4 3
7.已知 Sk 表示数列的前 k 项和,且 Sk+Sk+1=ak+1 (k∈N+),那么此数列是( A.递增数列 [答案] C [解析] ∵ak+1 =Sk+1-Sk=Sk+Sk+ 1, ∴Sk=0(k∈N+).? 可知此数列每一项均为 0, 即 an=0 是常数列.
9



B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

8.已知数列{an}的通项公式为 an=( A.最大项为 a1,最小项为 a3 B.最大项为 a1,最小项不存在 C.最大项不存在,最小项为 a3 D.最大项为 a1,最小项为 a4 [答案] A ? [解析] 令 t=(

3 n-1 3 n-1 ) [ ( ) -1] ,则关于 an 的最大项,最小项叙述正确的是( 4 4



3 n-1 1 1 ) ,则它在 N+上递减且 0<t≤1,而 an=t2-t,在 0<t≤ 时递减,在 t≥ 时递增, 4 2 2

且 n=1 时,t=1,n=2 时,t= 二、填空题

3 9 27 ,n=3 时,t= ,n=4 时,t= ,且 a4>a3,故选 A. 4 16 64

9.已知数列{an}的通项公式 an=n2-4n-12(n∈N+) ,则 (1)这个数列的第四项是 (2)65 是这个数列的第 (3)这个数列从第 [答案] -12 11 7 ;? 项;? 项起以后各项为正数.

[解析] (1)a4=42-4×4-12=-12. (2)令 65=n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,? ∴n=11 或 n=-7(舍去).? 故 65 是这个数列的第 11 项.? (3)令 n2-4n-12>0,得 n>6 或 n<2.? ∴这个数列从第 7 项起各项为正数. 10.已知数列{an}的通项 an= [答案] an+1>an [解析] ∵a,b,c 均为实数,f(x)=

na (a、b、c 都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系是 nb ? c

.

ax an a = 在(0,+∞)上是增函数,故数列 an= 在 n∈N+时为 bx ? c b ? c bn ? c x

递增数列,∴an<an+1. 11.已知{an}是递增数列,且对任意的自然数 n(n≥1),都有 an=n2+λ n 恒成立,则实数 λ 的取值范围 为 . [答案] λ >-3 [解析] 由{an}为递增数列,得 an+1-an=(n+1) 2+λ (n+1)-n2-λ n =2n+1+λ >0 恒成立, 即λ >-2n-1 在 n≥1 时恒成立,? 令 f(n)=-2n-1,f(n) max=-3. 只需λ >f(n) max=-3 即可. 12.若数列{an}的通项公式为 an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
10

(1)该数列有无限多个正数项; (2)该数列有无限多个负数项; (3)该数列的最大项就是函数 f(x)=-2x2+13x 的最 大值;(4)-70 是该数列中的一项.? 其中正确的说 法有 [答案] (2)(4)? [解析] 令-2n2+13n>0,得 0<n< .(把所有正确的序号都填上)

13 ,故数列{an}有 6 项是正数项,有无限个负数项.当 n=3 时,数列{an} 2

取到最大值,而当 x=3.25 时函数 f(x)取到最大值. 令-2n2+13n=-70,得 n=10,或 n=三、解答题 13.已知数列 1,2,

7 (舍去).即-70 是该数列的第 10 项. 2

7 5 13 , , ,?. 3 2 5

(1)写出这个数列的一个通项公式 an; (2)判断数列{an}的增减性.? [解析] (1)数列 1,2,

7 5 13 1 4 7 10 13 , , ,?.可变为 , , , , ,?.观察该数列可知,每一 3 2 5 4 5 1 2 3 3n ? 2 . n

项的分母恰与该项序号 n 对应,而分子比序号 n 的 3 倍少 2,?∴an= (2)∵an=

3n ? 2 2 =3- , n n 2 ,? n ?1
2 2 2 2 2 -3+ = = >0,?∴an+1>an .故数列{an}为递增数列. n ?1 n n n ? 1 n(n ? 1)

∴an+1=3-

∴an+1-an=3-

14.根据数列的通项公式,写出数列的前 5 项,并用图像表示出来. (1)an=(-1) n+2; (2)an=

n ?1 . n

[解析] (1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图 1.? (2)a1=2,a2=

3 4 5 6 ,a3= ,a4= ,a5= .图像如图 2.? 2 3 4 5

15.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前 4 项,猜想 an,并加以证明. [证明] 由 a1=2,an+1=2an,得
11

a2=2a1=4=22,a3=2a2=2·22=23,? a4=2a3=2·23=24 .? 猜想 an=2n(n∈N+).? 证明如下:? 由 a1=2,an+1=2an,? 得

a an a a = n ?1 =?= 3 = 2 =2.? a n ?1 a n ? 2 a2 a1

∴an=

an a a a · n ?1 ? 3 · 2 ·a1=2·2?2·2=2n. an ?1 an ? 2 a2 a1

16.已知函数 f(x)=

x2 1 ,设 f(n)=an(n∈N+).求证: ≤an<1. 2 x ?1 2 n2 1 -1=- 2 <0,? 2 n ?1 n ?1

[解析] 解法一:因为 an-1= an-

n2 ? 1 n2 1 1 = 2 - = ≥0,? 2 n ? 1 2 2(n 2 ? 1)

所以

1 ≤an<1. 2
1 n2 n2 ? 1 ? 1 = =1<1,? 2 2 n ?1 n ?1 n 2 ?1

解法二:an= an+1-an= = =

(n ? 1) 2 n2 ( n ? 1) 2 ? 1 n 2 ? 1

(n ? 1) 2 ? (n 2 ? 1) ? n 2 ? [( n ? 1) 2 ? 1] (n 2 ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1]

2n ? 1 .? (n ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1]
2

由 n∈N+得 an+1-an>0,即 an+1>an, 所以数列{an}是递增数列.? 所以 an 的最小值为 a1= 所以

1 1 ,即 an≥ . 2 2

1 ≤an<1. 2

12


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[名校联盟]山东省冠县武训高级中学2014届高三数学总复习:3-5 - 基础知识梳理聚焦考向透析感悟经典考题课时规范训练 第5课时 三角函数的图像...
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分类计数原理:做 山东省冠县武训高级中学高二数学周末复习学案 5 【知识梳理】
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