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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习:3.2.2 半角的正弦、余弦和正切]


第三章

3.2

3.2.2

一、选择题 1 5π θ 1.cosθ=- , <θ<3π,则 sin =( 5 2 2 A. C. 10 5 15 5 ) B.- D.- 10 5 15 5

[答案] D 5π 5π θ 3π [解析] ∵ <θ<3π,∴ < < , 2 4 2 2 θ ∴ 是第三象限角, 2 θ ∴sin =- 2 1-cosθ =- 2 1 1+ 5 15 =- . 2 5 )

1 2.(2014· 河南滑县二中高一月考)下列各式中,值等于 的是( 2 A.cos45° cos15° +sin45° sin15° B.cos2 π π -sin2 12 12 π 1+cos 3 2

tan22.5° C. 1-tan222.5° [答案] C [解析]

D.

tan22.5° 2tan22.5° 1 1 = = tan45° = . 2 1-tan222.5° 2?1-tan222.5° ? 2 ) 1 B. 2 D.2 或 0

θ 3.已知 2sinθ=1+cosθ,则 cot 的值为( 2 A.2 1 C. 或 0 2 [答案] D θ [解析] 2sinθ=2cos2 , 2 θ θ θ 2sin -cos ?=0, ∴2cos ? 2 2? 2?

θ θ θ θ ∴cos =0 或 2sin -cos =0,∴cot =0 或 2. 2 2 2 2

x ?1+tanx· tan ?结果应为( 4.化简:sin2x· 2? ? A.2sinx C.2sin2x-2sinx [答案] A 1-cosx x [解析] ∵1+tanx· tan =1+tanx· 2 sinx 1-cosx 1 =1+ = , cosx cosx 1 1 ∴原式=sin2x· =2sinxcosx· =2sinx. cosx cosx

) B.2cosx D.tanx

α 1+tan 2 4 5.若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 C.2 [答案] A 4 [解析] 解法一:∵cosα=- ,α 是第三象限角, 5 3 α 1-cosα ∴sinα=- ,tan = 5 2 sinα 4 1+ 5 = =-3, 3 - 5 α 1+tan 2 1-3 1 ∴ = =- . α 1+3 2 1-tan 2 4 解法二:∵α 是第三象限角,cosα=- , 5 3 ∴sinα=- . 5 α 2 1+ α α α α cos 1+tan 2 cos2+sin2 2 ∴ = = a α α α 1-tan sin cos -sin 2 2 2 2 1- α cos 2 sin 1 B. 2 D.-2

)

α α α α cos +sin cos +sin 2 2 2 2 1+sinα = · = = α α α α cosα cos -sin cos +sin 2 2 2 2 3 1- 5 1 =- . 4 2 - 5 π 6.函数 y=cos2(x+ ),x∈R( 4 A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 [答案] A π 1 1 π 1 1 [解析] y=cos2(x+ )= + cos(2x+ )= - sin2x,x∈R. 4 2 2 2 2 2 π ∴函数 y=cos2(x+ )是奇函数. 4 二、填空题 α α 3 5π α 7.已知 sin +cos =- ,且 <α<3π,则 cot 的值为________. 2 2 2 4 5 [答案] 1- 5 2 ) B.是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

α α 3 4 [解析] 由 sin +cos =- ,得 sinα= , 2 2 5 5

?sinα-cosα?2=1-sinα=1-4=1. 2? ? 2 5 5
∵ 5π 5π α 3π 5π α 3π <α<3π,∴ < < , < < . 2 4 2 2 8 4 4

α α α α 1 ∴sin <cos .∴sin -cos =- . 2 2 2 2 5 α 1 再由已知得 cos =- , 2 5 α ∴cot =- 4 α 1+cos 2 =- α 1-cos 2 5 5 1- 5 = . 2 5 1+ 5 1-

α α sin cos 2 2 π? 1 8.若 f(α)= cotα- ,那么 f? 12 ? ?的值为________. 2 α 1-2cos2 2 [答案] 3

tan2α+1 1 1 1 [解析] 原式= cotα+ tanα= = , 2 2 2tanα tan2α π? 1 ∴f? ?12?= π= 3. tan 6 三、解答题 α α ?1+sinα+cosα??sin -cos ? 2 2 9.化简: (0<α<π). 2+2cosα [解析] ∵0<α<π, α π ∴0< < , 2 2 α α α α α ?2cos2 +2sin cos ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 ∴原式= α 2· 2cos2 2 α α α α α 2cos ?cos +sin ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = α 2cos 2 α α =sin2 -cos2 =-cosα. 2 2

一、选择题 1-tan240° 30′ 2 1.设 a= (sin56° -cos56° ),b=cos50° cos128° +cos40° · cos38° ,c= ,d 2 1+tan240° 30′ 1 = (cos80° -2cos250° +1),则 a、b、c、d 的大小关系为( 2 A.a>b>d>c C.d>a>b>c [答案] B [解析] a=sin56° cos45° -cos56° sin45° =sin(56° -45° )=sin11° =cos79° , b=cos50° cos128° +cos40° cos38° =sin40° (-sin38° )+cos40° cos38° =cos(40° +38° )=cos78° , 1-tan240° 30′ c= =cos81° , 2 1+tan 40° 30′ 1 d= (cos80° -2cos250° +1) 2 B.b>a>d>c D.c>a>d>b )

1 = [cos80° -(2cos250° -1)] 2 1 = (cos80° +cos80° )=cos80° , 2 ∴b>a>d>c,故选 B. π π 3 7 2.若 θ∈[ , ],sin2θ= ,则 sinθ=( 4 2 8 3 A. 5 C. 7 4 ) 4 B. 5 3 D. 4

[答案] D [解析] 本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式. π π π 由 θ∈[ , ]可得 2θ∈[ ,π], 4 2 2 1 cos2θ=- 1-sin22θ=- , 8 sinθ= 1-cos2θ 3 = . 2 4 )

θ 3.已知 θ 为第二象限的角,且 25sin2θ+sinθ-24=0,则 cos 的值为( 2 3 A.- 5 C. 2 2 3 B.± 5 4 D.± 5

[答案] B 24 [解析] 由 25sin2θ+sinθ-24=0,得(25sinθ-24)· (sinθ+1)=0,∴sinθ= 或 sinθ=- 25 24 θ 1.又∵θ 为第二象限的角, ∴sinθ= , 且 是第一象限角或第三象限角, ∴cosθ=- 1-sin2θ 25 2 7 θ =- ,cos =± 25 2 1+cosθ 3 =± . 2 5 ) B.-3 1 D.- 2

tanθ+1 1 cos2θ 4.若 = ,则 的值为( 2+tanθ 3 1+sin2θ A.3 C.-2 [答案] A 1 [解析] 由条件得 tanθ=- , 2



?cosθ-sinθ??cosθ+sinθ? 1-tanθ cos2θ = = =3. 1+sin2θ ?sinθ+cosθ?2 1+tanθ

二、填空题 π ? π 5.函数 y=cos? ?2?x-1??cos2x 的最小正周期是________. [答案] 2 π ? π [解析] y=cos? ?2?x-1??cos2x π π? π =cos? cos x ?2x-2?· 2 π π =sin x· cos x 2 2 1 = sinπx, 2 ∴最小正周期 T=2. 1 2 6.设向量 a=(cosα, )的模为 ,则 cos2α 的值为________. 2 2 1 [答案] - 2 1 1 1 [解析] 由已知,得 cos2α+ = ,∴cos2α= . 4 2 4 1 ∴cos2α=2cos2α-1=- . 2 三、解答题 π ? ?π ? 1 7.已知 θ 为钝角,且 cos? ?4-θ?cos?4+θ?=8,求 tanθ 的值. 1 [解析] 由条件可知 cos2θ= ,又 2θ∈(π,2π), 4 ∴sin2θ=- 8.求证: 15 sin2θ 15 ,∴tanθ= =- . 4 5 1+cos2θ

cos2α 1 = sin2α. α α 4 cot -tan 2 2

cos2α [解析] 左边= α α cos sin 2 2 - α α sin cos 2 2 = cos2α cos2α = α α cosα cos2 -sin2 2 2 1 sinα 2 α α sin cos 2 2

1 1 = sinαcosα= sin2α=右边. 2 4 ∴等式成立.


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