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数学:《极坐标系》选修4-4)


教学目标: 教学目标:
1、理解极坐标的概念,弄清极坐标系 、理解极坐标的概念, 的结构( 建立极坐标系的四要素); 的结构( 建立极坐标系的四要素); 2、理解广义极坐标系下点的极坐标 、 (ρ,θ)与点之间的多对一的对应关 , ) 系; 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中 、 描点,以及已知点能写出它的极坐标。 描点,以及已知点能写出它的极坐标。

1.与角 终边相同的角: 与角α终边相同的角 与角 终边相同的角: β=α+2kπ, k∈Z ∈
2.平面直角坐标系中的点 与坐标 ,b) 平面直角坐标系中的点P与坐标 与坐标(a

对应的. 是 _____对应的 一一 对应的
y

3.平面直角坐标系是最简单 平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系, 最常用的一种坐标系,但不 是唯一的一种坐标系 的一种坐标系. 是唯一的一种坐标系. 有 时用别的坐标系比较方便. 时用别的坐标系比较方便. 我们先看下面的问题. 我们先看下面的问题.

P(a,b)

b o

.

a

x

还有什么坐标系呢? 还有什么坐标系呢?

如何确定以下两船 的位置关系呢? 的位置关系呢?
(1)距离:5 海里 )距离: (2)方向:东偏北20?. )方向:东偏北

SOS!!!

拯救船 o

30?
x

距离: 距离:4 km

π

方向: 方向:
o

4
x

以怀远路为X轴 以怀远路为 轴 以丽子元北街为Y轴 以丽子元北街为 轴...

请问: 请问:去育才 中学怎么走? 中学怎么走?

知 识 引 入

以丽子元北街为X轴 以丽子元北街为 轴 以怀远路为Y轴 以怀远路为 轴...

脑子 进水了? 进水了?

从这向北 2000米。 米

请问: 请问:去育才 中学怎么走? 中学怎么走?

请分析上面这句话, 请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 !

方向
出发点

距离

在以上问题中, 在以上问题中,位置的确定是用什么方 法确定的? 法确定的? 距离与方向 在生活中人们经常用方向和距离来表示 在生活中人们经常用方向和距离来表示 方向 一点的位置。这种用方向 距离表示平 方向和 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想,就是极坐标的 面上一点的位置的思想,就是极坐标的 极坐标 基本思想。 基本思想。

一、极坐标系的建立: 极坐标系的建立: (1)在平面内取一个定点O 叫做极点; (1)在平面内取一个定点O,叫做极点; 在平面内取一个定点 (2)引一条射线Ox,叫做极轴; (2)引一条射线Ox,叫做极轴; 引一条射线Ox (3)选定一个长度单位; (3)选定一个长度单位; 选定一个长度单位 (4)规定角度的正方向( (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向 规定角度的正方向 ). 这样建立的坐标系叫 θ · 做极坐标系. 做极坐标系. o x

二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M, 对于平面上任意一点 , 表示线段OM的长度, 的长度, 用 ρ 表示线段 的长度 表示从OX到OM 的 用 θ 表示从 到 M 角度, 叫做点M的极径, 角度,ρ 叫做点 的极径, ρ 叫做点M的极角, θ叫做点 的极角,有序 θ 数对( 就叫做M的 数对(ρ,θ)就叫做 的 O 极坐标。 极坐标。 X 特别强调: 表示线段OM的长度,即点 到 的长度, 特别强调:ρ表示线段 的长度 即点M到 极点O的距离 的距离; 表示从OX到 的角度, 极点 的距离;θ表示从 到OM的角度,即 的角度 为终边的角。 以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。 (极轴)为始边, 注意: 注意:极角一般是用弧度来表示

题组一: 题组一:说出下图中各点的极坐标
π
2
5π 6
C E D O B A X

π
4

π
4π 3

F

G

5π 3

题组二: 题组二:在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4π D(5, ) 3 5π G (6, ) 3 B(6, 2π ) 5π E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, π )

π

π
2
5π 6

π
4

π

E F O

C A B X

4π 3

D

G

5π 3

题组3.用点A,B,C,D,E分别表示教学 题组3.用点A,B,C,D,E分别表示教学 楼,体 3.用点A,B,C,D,E 育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置. 育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适 当的极坐标系,写出各点的极坐标. 当的极坐标系,写出各点的极坐标.
D 120m E 450 600 50m A(O) 60m B C

以点A为极点,AB ,AB所在的 解:以点A为极点,AB所在的 射线为极轴( 射线为极轴(单位长度为 1m),建立极坐标系 建立极坐标系. 1m),建立极坐标系.则点 A,B,C,D,E的极坐标分别为 A,B,C,D,E的极坐标分别为
x

3π A(0, 0), B(60, 0),(120, ),(60 3, ),(50, ). 3 2 4

π

π

特别规定: 在极点时, 特别规定: 当M在极点时,它的极 在极点时 坐标ρ , 可以取任意值。 坐标ρ=0,θ可以取任意值。
探究? 探究?
极坐标系下的 点与它的极坐 标的对应情况

①平面上一点的极坐标是否唯一? 平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? 若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? 坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

在同一个极坐标系中, 在同一个极坐标系中,把下列的点表示出来

1. A(4, ), B(4, + 2π ), C(4, + 4π ), D(4, ? 2π ) 6 6 6 6

π

π

π

π

三、点的极坐标的表达式的研究
M θ = 如图: 的长度为4, 如图:OM的长度为 , 的长度为 ρ 4 请说出点M的极坐标的其 请说出点 的极坐标的其 θ 他表达式。 他表达式。 O X 这些极坐标之间有何异同? 思:这些极坐标之间有何异同? 极径相同, 极径相同,不同的是极角 思考:这些极角有何关系? 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。 这些极角的始边相同,终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。 就是说它们是终边相同的角。
π ? ? 本题点M的极坐标统一表达式 ? 2 的极坐标统一表达式: 本题点 的极坐标统一表达式:4 , k π + 4 ? ? ?

π

四、极坐标系下点的极坐标 探索点M( , ) 探索点 (3,π/4)的 所有极坐标 极径是正的时候: 极径是正的时候:
P M O

? 2 ? 3, k π + ? 4 ? ?

π ?

X

五、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况 [1]给定(ρ,θ),就可以在 给定( θ 就可以在 给定 极坐标平面内确定唯一的 极坐标平面内确定唯一的 一点M。 一点M。
M (ρ,θ)… O X

[2]给定平面上一点 ,但 给定平面上一点M, 给定平面上一点 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于:极角有无数个。 原因在于:极角有无数个。

一般地,若 是一点的极坐标,则 一般地 若(ρ,θ)是一点的极坐标 则 是一点的极坐标 (ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标 、都可以作为它的极坐标.

如果限定ρ>0,0≤θ<2π或 π< 如果限定ρ>0,0≤θ<2π或-π<θ≤ π, 限定

那么除极点外,平面内的点和极坐标就 那么除极点外 平面内的点和极坐标就 可以一一对应 一一对应了 可以一一对应了.

题组四 π 1. 在极坐标系中,与点 (3, 在极坐标系中, )重合 重合 6 的点是( 的点是 A ) π 13π A.(3, ) B. (3, - 6 )
6

C. (3, D. (3, ) 2.在极坐标系中 与(ρ,θ)关于极轴对称 在极坐标系中,与 在极坐标系中 关于极轴对称 的点是( 的点是 B ) A.(ρ,θ) B.(ρ, - θ) C.(ρ,θ+π) + D.(ρ,π-θ) -

17π ) 6

5π - 6

小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 建立一个极坐标系需要哪些要素

极点;极轴;长度单位; 极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式? 表达式? 无数种。是因为极角引起的。 无数种。是因为极角引起的。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式? 一点的极坐标有否统一的表达式? 一点的极坐标有否统一的表达式 有。(ρ,2kπ+θ) 。( , )

作 业 预习: 预习: 极坐标与直角 坐标的互化


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