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3.6《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用》


3.6 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用

一、选择题 π? ? π ? 1.函数 y=sin? ?2x-3?在区间?-2,π?的简图是( )

A

B

C

D

π π π - ?- ?=0. 解析:当 x=- 时,y=sin?2×? 3? 3? ? 3 ? 所以排除 C、D. π? 3 又当 x=0 时,y=sin? ?-3?=- 2 <0, 排除 B.故选 A. 答案:A 2.下列函数中,图象的一部分如下图所示的是(

)

π? A.y=sin? ?x+6? π 2x- ? B.y=sin? 6 ? ? π? C.y=cos? ?4x-3? π? D.y=cos? ?2x-6? π π? 解析:由图知 T=4×? ?12+6?=π, ∴ω=2,排除 A、C. π ? ∵图象过? ?12,1?代入 B 项, π? π π? ? ∴f? ?12?=sin?2×12-6?=0≠1. 答案:D π? 3.为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 5π A.向左平移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6

)

π?? π? ?π ? 解析:y=cos? ?2x+3?=sin 2+?2x+3?

?

?

5π? =sin? ?2x+ 6 ?. 5π 5π 2x+ ?的图象只需将 y=sin2x 向左平移 个单位长度. 由题意知要得到 y=sin? 6? ? 12 答案:A π ? ?π ? π +x =f -x ,则 f? ?等于( 4.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f? ) 6 6 ? ? ? ? ?6? A.2 或 0 B.-2 或 2 C.0 D.-2 或 0 π ? ?π ? π 解析:由 f? ?6+x?=f?6-x?可知 x=6是 f(x)的一条对称轴.又∵y=2sin(ωx+φ)在对称轴处 取得最值,∴选 B. 答案:B π 5.函数 y=sin2x 的图象,向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于 x= 对称,则 6 φ 的最小值为( ) 5 11 A. π B. π 12 6 11 C. π D.以上都不对 12 π 解析:y=sin2x 的图象向右平移 φ 个单位得到 sin2(x-φ)的图象,又关于 x= 对称,则 6 π π π 5 ? 2? ?6-φ?=kπ+2(k∈Z),2φ=-kπ-6,取 k=-1,得 φ=12π. 答案:A π? 6. 使函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)是奇函数, 且在? ?0,4?上是减函数的 θ 的一个值 是( ) π 2π A. B. 3 3 4π 5π C. D. 3 3 解析:f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ) π? =2sin? ?2x+θ+3?, ∵f(x)为奇函数, π π ∴θ+ =kπ,即 θ=kπ- (k∈Z). 3 3 π ? 又∵f(x)在? ?0,4?上是减函数, 2 ∴θ= π. 3 答案:B 二、填空题 7.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是__________. ?3sinx x∈[0,π], ? 解析:数形结合法:f(x)=? ? ?-sinx x∈?π,2π]. 由图象知:1<k<3.

答案:1<k<3 8.函数 y=sinxcosx+ 3cos2x- 3的图象相邻的两条对称轴之间的距离是__________. 3?1+cos2x? 1 解析:y= sin2x+ - 3 2 2 1 3 3 = sin2x+ cos2x- 2 2 2 π? 3 =sin? ?2x+3?- 2 , ∴周期为 π. π ∴相邻两对称轴之间的距离为 . 2 π 答案: 2 3 ? 9.关于函数 f(x)=2sin? ?3x-4π?,有下列命题: 2 ①其最小正周期为 π; 3 3 ②其图象由 y=2sin3x 向左平移 个单位而得到; 4 π 5π ? ③在? ?12,12?上为单调递增函数,则其中真命题为__________(写出你认为正确答案的序 号). 2π 解析:∵T= ,∴①对; 3 3 对于②,y=2sin3x 向左平移 个单位 4 3 ? ?y=2sin3? ?x+4?,不是 f(x),∴②不对; 3π π 5π 3x- ?,x∈? , ?时, 对于③,f(x)=2sin? 4 12 12? ? ? ? π 5π? 3π ? π π? 3x∈? ?4, 4 ?,3x- 4 ∈?-2,2?, π 5π? ∴在? ?12,12?上为单调增函数.∴③对. 答案:①③ 三、解答题 π ? 2 10.已知函数 f (x)=2sin2? ?4-x?-2 3cos x+ 3. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; π? (2)若 f(x)<m+2 在 x∈? ?0,6?上恒成立,求实数 m 的取值范围. π 2 ? 解析:(1)f(x)=1-cos? ?2-2x?- 3(2cos x-1) =1-(sin2x+ 3cos2x) π? =-2sin? ?2x+3?+1, ∴最小正周期 T=π.

π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12 5π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). ∴f(x)的单调递减区间为? 12 12? ? π π 2π π ? ? ? (2)∵x∈? ?0,6?,∴2x+3∈?3, 3 ?, π? ∴-2sin? ?2x+3?∈[-2,- 3], π 2x+ ?+1∈[-1,1- 3], 即有-2sin? 3 ? ? π? ∴f(x)∈[-1,1- 3],x∈? ?0,6?. ∵f(x)<m+2 恒成立,∴m+2>1- 3, 即 m>-1- 3,∴m 的取值范围是(-1- 3,+∞).

11.如图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温度差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解析:(1)由图知,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃). (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象. 1 2π π ∴ · =14-6,解得 ω= . 2ω 8 1 1 由图知:A= (30-10)=10,b= (30+10)=20, 2 2 π ? 这时 y=10sin? ?8x+φ?+20, 3 将 x=6,y=10 代入上式可取 φ= π. 4 综上所求的解析式为 π 3 ? y=10sin? ?8x+4π?+20,x∈[6,14]. 1 ? 2 ? π? ? π? 12.已知函数 f(x)=? ?1+tanx?sin x+msin?x+4?sin?x-4?. π 3π? (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间? ?8, 4 ?上的取值范围; 3 (2)当 tanα=2 时,f(α)= ,求 m 的值. 5 1 ? 2 1 1 2 解析:(1)当 m=0 时,f(x)=? ?1+tanx?sin x=sin x+sinxcosx=2(sin2x-cos2x)+2 π? 1 2 = sin? ?2x-4?+2 2 π 3π? π ? 5 ? 又由 x∈? ?8, 4 ?得,2x-4∈?0,4π?. π? ? 2 ? 所以 sin? ?2x-4?∈?- 2 ,1?,

π 1 ? 1+ 2? 2 ? sin?2x-4? ?. ?+2∈? 2 ?0, 2 ? m (2)f(α)=sin2α+sinαcosα- cos2α 2 1-cos2α 1 m = + sin2α- cos2α 2 2 2 1 1 = [sin2α-(1+m)cos2α]+ , 2 2 2sinαcosα 2tanα 4 由 tanα=2 得 sin2α= 2 = = , sin α+cos2α 1+tan2α 5 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 3 1 3 1 4 +?1+m? ?+ , 所以 = ? 5? 2 5 2?5 得 m=-2. 因此实数 m 的值为-2. 从而 f(x)=


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