当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学解析几何基础


高考要点回扣

第5讲

9

解析几何

本 课 栏 目 开 关

1.直线的倾斜角 (1)定义. (2)倾斜角的范围为[0,π). 如直线 xcos θ+ 3y-2=0 的倾斜角的范围是
π 5π [0, ]∪[ ,π) 6 6



高考要点回扣

第5讲

2.直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜

本 课 栏 目 开 关

率 k, 即 k=tan α(α≠90° ); 倾斜角为 90° 的直线没有斜率; (2)斜率公式: y1-y2 经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为 k= (x ≠x2); x1-x2 1 (3)直线的方向向量 a=(1,k);(4)应用:证明三点共线:kAB=kBC. 如两条直线斜率相等是这两条直线平行的 既不充分也不必要 条件.

高考要点回扣
3.直线的方程

第5讲

(1)点斜式:已知直线过点(x0,y0),其斜率为 k,则直线方程为 y-y0= k(x-x0),它不包括垂直于 x 轴的直线. (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,则直线方程为 y

本 课 栏 目 开 关

=kx+b,它不包括垂直于 x 轴的直线. (3)两点式: 已知直线经过 P1(x1, y1)、 P2(x2, y2)两点, 则直线方程为 x-x1 = ,它不包括垂直于坐标轴的直线. x2-x1 x y (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a,b,则直线方程为a+b =1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. (5)一般式: 任何直线均可写成 Ax+By+C=0(A, B 不同时为 0)的形式. y-y1 y2-y1

高考要点回扣

第5讲

4.点到直线的距离及两平行直线间的距离

本 课 栏 目 开 关

|Ax0+By0+C| (1)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d= ; A2+B2 (2)两平行线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 间的距离为 d= |C1-C2| . A2+B2

高考要点回扣

第5讲

本 课 栏 目 开 关

5.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 的位置关系 (1)平行?A1B2-A2B1=0(斜率)且 B1C2-B2C1≠0(在 y 轴上截距); (2)相交?A1B2-A2B1≠0; (3)重合?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0; (4)垂直?A1A2+B1B2=0.

高考要点回扣

第5讲

A1 B1 C1 A1 B1 A1 B 1 C1 特别提醒:(1) = ≠ 、 ≠ 、 = = 仅是两直线平行、相交、 A2 B2 C2 A2 B2 A2 B 2 C2

本 课 栏 目 开 关

重合的充分不必要条件;(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时, 有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的 两条直线.如设直线 l1:x+my+6=0 和 l2:(m-2)x+3y+2m=0,当 m = -1
1 时,l1∥l2;当 m= 2 时,l1⊥l2;当

m≠3且m≠-1

时 l1 与 l2

相交;当 m=__ 3__时,l1 与 l2 重合.

高考要点回扣
6.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.

第5讲

本 课 栏 目 7.点与圆的位置关系 开 已知点 M(x0,y0)及圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 关 (1)点 M 在圆 C 外?|CM|>r?(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
(2)点 M 在圆 C 内?|CM|<r?(x0-a)2+(y0-b)2<r2;

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),只有当 D2 D E 2 2 2 +E -4F>0 时, 方程 x +y +Dx+Ey+F=0 才表示圆心为(- , - ), 2 2 1 半径为 D2+E2-4F的圆. 2

(3)点 M 在圆 C 上?|CM|=r?(x0-a)2+(y0-b)2=r2.如点 P(5a+1,12a)
? 1 1? ?- , ? 2 2 在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是 ? 13 13? .

高考要点回扣

第5讲

8.直线与圆的位置关系 直线 l:Ax+By+C=0 和圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)有相交、相离、

本 课 栏 目 开 关

相切.可从代数和几何两个方面来判断: (1)代数方法 (判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 ):Δ>0? 相 交;Δ<0?相离;Δ=0?相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半 径的大小):设圆心到直线的距离为 d,则 d<r?相交;d>r?相离;d= r?相切.

高考要点回扣

第5讲

9.圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,则(1)当|O1O2|>r1+

本 课 栏 目 开 关

r2 时, 两圆外离; (2)当|O1O2|=r1+r2 时, 两圆外切; (3)当|r1-r2|<|O1O2|<r1 +r2 时, 两圆相交; (4)当|O1O2|=|r1-r2|时, 两圆内切; (5)当 0≤|O1O2|<|r1 x2 y2 -r2|时,两圆内含.如双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2, a b P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位 置关系为

内切

.

高考要点回扣

第5讲

10.椭圆及其性质

本 课 栏 目 开 关

(1)定义:|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c=|F1F2|). x2 y2 (2)标准方程:焦点在 x 轴上, 2+ 2=1(a>b>0); a b y2 x2 焦点在 y 轴上, 2+ 2=1(a>b>0). a b (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率.

高考要点回扣

第5讲

11.双曲线及其性质 (1)定义:||MF1|-|MF2||=2a(2a<2c=|F1F2|). x2 y2 (2)标准方程:焦点在 x 轴上, 2- 2=1(a>0,b>0); a b 2 2 y x 焦点在 y 轴上, 2- 2=1(a>0,b>0). a b (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率;⑤渐近线. x2 y2 x2 y2 (4)与双曲线 2- 2=1 具有共同渐近线的双曲线系为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b 如方程 ?x-6?2+y2- ?x+6?2+y2=8 表示的曲线是双曲线的左支 .

本 课 栏 目 开 关

高考要点回扣

第5讲

12.抛物线及其性质

本 课 栏 目 开 关

(1)定义:|MF|=d; (2)标准方程:y2=2px;y2=-2px;x2=2py;x2=-2py(p>0) (3)性质:①范围;②顶点;③对称性;④离心率. 如设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=4ax2 的焦点坐标为
? 1 ? ?0, ? 16a? ?

.

高考要点回扣
13.直线与圆锥曲线 (1)直线与圆锥曲线的位置关系

第5讲

可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程 解的情况来判断.设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为 f(x,y)=0. ? ?Ax+By+C=0 由? ,消元 ? f ? x , y ? = 0 ? 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ①若 a=0, 当圆锥曲线是双曲线时, 直线 l 与双曲线的渐近线平行或重 合;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. (ⅰ)Δ>0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; (ⅱ)Δ=0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; (ⅲ)Δ<0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.

本 课 栏 目 开 关

高考要点回扣

第5讲

(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

本 课 栏 目 开 关

斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长 1 2 2 |P1P2|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]或|P1P2|= ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]. k

高效抢分练习

第5讲

本 课 栏 目 开 关

x2 y2 1.(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐 a b 近线上,则 C 的方程为 x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20 x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80 ( )

高效抢分练习

第5讲

解析

根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.


本 课 栏 目 开 关

x2 y2 ∵a2-b2=1 的焦距为 10,∴c=5= a2+b2.
b 又双曲线渐近线方程为 y=± ax,且 P(2,1)在渐近线上,`
2b ∴ a =1,即 a=2b.



由①②解得 a=2 5,b= 5,故应选 A. 答案 A

高效抢分练习

第5讲

2.(2012· 安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2 ( )

本 课 栏 目 开 关

解析 利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解.
如图所示,
由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,
由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2.
将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2,
∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

高效抢分练习

第5讲

? ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ? ?y =4x,

本 课 栏 目 开 关

1 ? ?x= , 2 解之得? ? ?y=- 2
?

? ?x=2, 或? ? ?y=2 2.

?1 ? 由图知 B?2,- 2?, ?

1 1 ∴S△AOB= |OF|· |yA-yB|= ×1×|2 2+ 2| 2 2

3 = 2.故选 C. 2
答案 C

高效抢分练习

第5讲

3.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|

本 课 栏 目 开 关

=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 5 A. B. 1 C. 4 4
解析

( D. 7 4

C )

1 5 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+2=3,∴xA+xB=2.

xA+xB 5 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2 =4.

高效抢分练习

第5讲

x2 y2 4.(2011· 湖南)设双曲线 2- =1 (a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的 a 9 值为 ( B. 3 C.2 D.1

C )

本 课 栏 目 开 关

A.4

3 解析 渐近线方程可化为 y=± 2x.
∵双曲线的焦点在 x 轴上, 9 ? 3?2 ? ,解得 a=± ∴a2=?± 2. ? 2?
由题意知 a>0,∴a=2.

高效抢分练习

第5讲

本 课 栏 目 开 关

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-5,0)和 C(5,0),顶点 sin A+sin C x2 y2 B 在椭圆 + =1 上,则 等于 ( B ) 36 11 sin B 6 5 4 A.3 B. C. D. 5 4 5

解析

sin A+sin C a+c 由正弦定理知 = b , 其中 a、 b、 c 是△ABC 的三边长. sin B

由题知 b=10,a+c=12,
sin A+sin C a+c 12 6 所以 = b =10=5. sin B

高效抢分练习

第5讲 B)

6. 已知抛物线 y2=8x 的准线为 l, 点 Q 在圆 C: x2+y2+6x-8y+21=0 上, 记抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d, 则 d+|PQ|的最小值为( A. 29 B. 41-2 C.6 D.5
解析 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,则 F 点 的坐标为(2,0),

本 课 栏 目 开 关

由抛物线的定义可知,
d=|PF|.
圆 C 的方程配方得:(x+3)2+(y-4)2=4,圆心为 C(-3,4),半径 r=2. 如图所示,
d+|PQ|=|PF|+|PQ|.
显然,|PF|+|PQ|≥|FQ|(当且仅当 F,P,Q 三点共线时取等号).

而|FQ|为圆 C 上的动点 Q 到定点 F 的距离, 显然当点 Q 为线段 FC 与圆 C 的交点时, |FQ| 取得最小值,那么 d + |PQ| 的最小值为 |CF| - r = ?-3-2?2+?4-0?2-2= 41-2.

高效抢分练习

第5讲

x2 y2 a2 2 2 7.过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左焦点 F,作圆 x +y = 的切线,切 a b 4 点为 E,延长 FE 交双曲线的右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线
10 的离心率为________ . 2

本 课 栏 目 开 关

解析

如图,∵O 为 FF2 的中点,E 为 PF 的中点,

1 ∴OE 綊2PF2,∴|PF2|=2|OE|=a,

∵|PF|-|PF2|=2a,∴|PF|=3a.

又 OE⊥FP,∴FP⊥PF2,
10 ∴(3a)2+a2=4c2,故 e= 2 .

高效抢分练习

第5讲

8.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 1 2 x +x+c=0 的两个实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大 8 2 1 , 值和最小值分别是__________ 2 2 .

本 课 栏 目 开 关

解析

|a-b| ∵两平行直线之间的距离 d= , 2 2 ? a - b ? 1 2 ∴d = 2 =2[(a+b)2-4ab].

又∵a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,
1 ∴a+b=-1,ab=c.∴d2=2(1-4c).
1 1 1 1 2 2 而 0≤c≤ ,∴ ≤d ≤ , ≤d≤ . 8 4 2 2 2 2 1 ∴两平行直线之间的距离的最大值和最小值分别是 , . 2 2

高效抢分练习

第5讲

x2 y2 9.(2012· 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦 a b

本 课 栏 目 开 关

点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率 5 5 为________ .

解析 利用等比中项性质确定 a,c 的关系.
由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列, 则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|,即 4c2=a2-c2,a2=5c2, 1 5 所以 e2= ,所以 e= . 5 5

高效抢分练习

第5讲

x2 y2 10.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C, a b 上顶点为 B,O 为原点,P 为椭圆上任意一点.过 F、B、C 三点的圆 的圆心坐标为(m,n). (1)当 m+n≤0 时,求椭圆的离心率的取值范围;

本 课 栏 目 开 关

→ +OD → )· → (2)在(1)的条件下, 椭圆的离心率最小时, 若点 D(b+1,0), (PF PO 7 的最小值为 ,求椭圆的方程. 2 a-c 解 (1)设半焦距为 c.由题意得 FC、BC 的中垂线方程分别为 x= 2 、 b a? a? y- = ?x-2?, 2 b? ? ?a-c b2-ac ? ? 于是圆心坐标为? ? 2 , 2b ?. ? ?
a-c b2-ac 所以 m+n= 2 + 2b ≤0,即 ab-bc+b2-ac≤0,

高效抢分练习
即(a+b)(b-c)≤0,所以 b≤c,

第5讲

于是 b2≤c2,即 a2=b2+c2≤2c2,
c2 1 2 所以 e =a2≥2,即 2 ≤e<1. 2 (2)由(1)知 emin= 2 ,a= 2b= 2c,
2

本 课 栏 目 开 关

x2 y2 此时椭圆的方程为2c2+c2=1,

设 P(x,y),则- 2c≤x≤ 2c,
→ +OD → )· → =1x2-x+c2 所以(PF PO 2 1 1 =2(x-1)2+c2-2. 2 1 1 7 当 c≥ 2 时,上式的最小值为 c2-2,即 c2-2=2,得 c=2;

高效抢分练习

第5讲

当 0<c<

2 1 时,上式的最小值为 ( 2c)2- 2c+c2, 2 2

本 课 栏 目 开 关

1 7 2 2 即2( 2c) - 2c+c =2, 解得 c= 2± 30 2 ,与 0< c < 4 2 矛盾,舍去.

x2 y2 综上所述,椭圆的方程为 8 + 4 =1.


相关文章:
解析几何基础知识汇总.doc
解析几何基础知识汇总 - 解析几何基础知识 1.平行与垂直 若直线 l1 和 l
解析几何基础100题.doc
解析几何基础100题 - 解析几何基础 100 题一、选择题: 1. 若双曲线
高三数学解析几何_图文.ppt
高三数学解析几何 - 解析几何 河北高碑店一中 王金民 一、范围问题: ? 解析
高中数学解析几何专题(精编版).doc
高中数学解析几何专题(精编版) - 高中解析几何专题(精编版) 1. (天津文)
高中数学平面解析几何初步知识点总结.doc
高中数学平面解析几何初步知识点总结 - 平面解析几何初步:①直线与方程是解析几何基础,是高考重点考查的内容,单独考查多 以选择题、填空题出现;间接考查则以...
《高中数学》必会基础题型10《解析几何》.doc
高中数学》必会基础题型10《解析几何》 - 最新高考数学,真题专题复习,完美
高中数学解析几何解题方法.doc
高中数学解析几何解题方法 - 高考专题:解析几何常规题型及方法 本章节处理方法建
2016高考数学解析几何基础知识总结清单.doc
2016高考数学解析几何基础知识总结清单_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高
解析几何基础知识汇总.doc
解析几何基础知识汇总 - 解析几何基础知识 1.平行与垂直 若直线 l1 和 l
解析几何基础知识与基本方法汇总 精品.doc
解析几何基础知识与基本方法汇总 精品 - 解析几何基础知识与基本方法汇总 一、直
解析几何基础.doc
解析几何基础 - 直线与圆锥曲线 1.椭圆的定义及性质 (1)平面内与两个定点
高中数学解析几何全套教学课件_图文.ppt
高中数学解析几何全套教学课件 - 高中数学解析几何 教学课件 一、椭圆的范围 由
《高中数学》必会基础题型11《解析几何新题型》.doc
高中数学》必会基础题型11《解析几何新题型》 - 解析几何新题型 【考点透视
高中数学思维训练解析几何部分总结.doc
高中数学思维训练解析几何部分总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学解析几何部分的基础思维方式 思维训练解析几何部分 1 x2 y2 1 x y [疑]: 设椭圆...
高中数学解析几何基础_图文.ppt
高中数学解析几何基础 - 高考要点回扣 第5讲 9 解析几何 本课栏目开关 1.
最新-高二数学解析几何复习---基本量的计算 精品.doc
最新-高二数学解析几何复习---基本量的计算 精品 - 解析几何复习圆锥曲线基本量计算 1、曲线 25 ? 9 =1 与曲线 25 ? k ? 9 ? k =1(k<25 且 ...
解析几何基础训练(综合).doc
解析几何基础训练(综合)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。解析几何基础训练(
高中数学解析几何题型(基础篇).doc
高中数学解析几何题型(基础篇) - 第七讲 解析几何新题型 【例题解析】 考点
高中数学解析几何问题的题型与方法.doc
高中数学解析几何问题的题型与方法 - 第5讲 一、 考试内容 (一)直线和圆的方
高中数学解析几何解题方法.doc
高中数学解析几何解题方法 - 高中解析几何复习资料 高考专题:解析几何常规题型及
更多相关标签: