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辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高一数学下学期第一阶段考试(期中)试题


2015-2016 学年下学期高一年级第一次阶段性考试 数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题: (每题 5 分,满分 60 分) 1.如果 ? 是第二象限角,且满足 cos A.是第一象限角 C.是第三象限角 2.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移 命题人:高一数学组

?
2

? sin

?
2

? 1 ? sin ? ,那么

? 2

B.是第二象限角 D.可能是第一象限角,也可能是第三象限角

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象 π 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

π 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6

2 ? ? x ? x ? 0? 3.函数 f ? x ? ? ? ,则集合 x | f ? f ? x ? ? ? 0 元素的个数有 ? ? 4sin x ?0 ? x ? ? ?

?

?

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

4 .函数 y ? Asin( ? x ? ? )( ? ? 0,? ? 示,则函数表达式为 A. y ? ?4sin(

?
2

的部分图象如图所 ,x ? R )

?

x? ) 8 4

?

B. y ? 4sin( x ? )

?

?

8

4

C. y ? ?4sin(

?

x? ) 8 4

?

D. y ? 4sin( x ?

?

?
4

8

)

5.在平面直角坐标系中,角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过 点 P(sin

,cos ) ,则 sin(2? ? )= 8 8 12 3 3 1 A. B. ? C. 2 2 2

?

?

?

D. ?

1 2

? ? 15 ? ?? ? ? 6.已知 cos ? ? ? ? = , ? ? ? , ? ,则 cos? 的值是 6 17 ? ? ?6 2?
A.

17 18

B.

15 3 ? 8 34

C.

8 ? 15 3 34

D.-

17 18
1

7.设 x ? ? 0, ? ? ,关于 x 的方程 2sin( x ? 围是 A. ? 3, 2

?
3

) ? a 有 2 个不同的实数解,则实数 a 的取值范

?

? ?

B. ? 3, 3

?

? ?

C.

?

3, 2

?

D. ?2, 3

?

?

8. tan 70? cos10? A.1

3 tan 20? ? 1 的值为
B.2 C. ?1 D. ?2

sin 2 x ? 2sin 2 x ?? ? 3 9.已知 cos ? ? x ? ? ,则 的值为 1 ? tan x ?4 ? 5
A.

7 25

B.

12 25

C.

13 25

D.

18 25

10.下列四组函数中,

1 ? tan x x sin x ;② f ? x ? ? tan , g ? x ? ? ; 4 1 ? tan x 2 1 ? cos x x 1 ? cos x 2tan x ③ f ? x ? ? tan , g ? x ? ? ;④ f ? x ? ? tan 2x, g ? x ? ? , 2 sin x 1 ? tan 2 x
① f ? x ? ? tan( x ?

?

), g ? x ? ?

f ? x ? 与g ? x ? 表示同一函数的共有
A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组

11. 已知函数 f ? x ? ? sin(? x ? 上单调递减,则 ? 的值为 A.2 B.

?? 5? 9? 5? 9? 且 f ? x ? 在区间 ( , ) ) ?? ? 0 ? , f ( ) ? f ( ) ? 0 , 4 8 8 8 8 6 7
D. k ?

6 7

C. 2 或

8 7

6 ? k ? 0,1,2,...? 7

12.已知当 x ? (? 围是 A. [? ,1]

?
6

, ? ) 时,不等式 cos 2 x ? 2a sin x ? 6a ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范

1 2

B. ? ?1,0?

C. [ ?

3 ,0] 2

D. ( , ??)

1 2

二、填空题: (每题 5 分,满分 20 分) 13. arccos(sin

5? 5? ) ? arcsin(sin ) ? 3 6

2

14.已知函 f ? x ? ? Asin 2 ?? x ? ? ? ? 1( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的最大值为 3,其图象的两


条相邻对称轴间的距离为 2,与 y 轴交点的纵坐标为 2,则 f ? x ? 的单调递增区间是 15.已知函数 f ? x ? ?

1 1 . ?sin x ? cos x ? ? | sin x ? cos x | ,则 f ? x ? 的值域是 2 2 ?x ?x 1 3 1 3 16. 函数 f ? x ? ? a sin 的一个零点为 , 且 f ( ) ? f( ) 0 对于下列结论: ? b cos ? , 2 2 3 2 1 2 13 4 13 17 ① f ( ) ? 0 ;② f ? x ? ? f ( ) ;③ f ( ) ? f ( ) ;④ f ? x ? 的单调减区间是 3 3 12 12
2 1? 4 10 ? ? ? ? 4k ? 3 , 4k ? 3 ? ? k ? Z ? ;⑤ f ? x ? 的单调增区间是 ? 4k ? 3 , 4k ? 3 ? . ? ? ? ?
其中正确的结论是 . (填写所有正确的结论编号)

三、解答题: (17 题 10 分,18-22 题,每题 12 分,满分 70 分) 17.已知角 ? 终边上一点 P (2, m) ,且 csc? ? 5 . (1)求 m 的值以及 tan ? 的值;

3cos ? 2 (2)求 ? ? m sin ? ? sin 2? ? sec ? ?

1 ? 的值. ?? ? cos 2?

18.已知函数 f ( x) ? sin( ? ? x ) ? 1 .

4

2

y 4 3 2 1 O -1 -2
? 2

? 9? (1)画出函数 f ( x) 在 ? , ? 上的图象 ?2 2 ? ? ?
(只需作图即可,不需写出过程); (2)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (3)求函数 f ( x) 的对称中心.

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

9? 2

x

3

19.已知 tan 2? ? 3 , ? ? (? ? , ? ) , f ( x) ? sin( x ? ? ) ? sin(? ? x) ? 2sin ? ,且对任意的

4

2 2

x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 成立,试求 sin(? ? ) 的值. 4

?

20.如图,已知 OPQ 是半径为 3 ,圆心角为 ? 的扇形, C 是扇形弧

3

上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形,记 ?COP ? x ,矩形 ABCD 的 面积为 f ( x) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式,并写出其定义域; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? ? ) 的最大值及相应的 x 值.

4

? ? ?? 21.已知 ? ? ? ? , ? ,且 f (? ) ? ? 4 4? (1)化简 f (? ) ;

? 3? sin(? ? )cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 . tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )

? 2 (2)若 cos(2? ? ) ? ? ,求 f (? ) 的值. 4 10

22. 已知 f ( x) ,g ( x) 都是定义在 R 上的函数, 若存在正实数 ...m, n 使得 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x) 恒成立,则称 h( x) 为 f ( x) , g ( x) 在 R 上的生成函数.若 f ( x) ? sin x , g ( x) ? cos x .

2

(1)判断函数 y ? sin kx ( k ? R ) 是否 f ( x) , g ( x) 在 R 上的生成函数,请说明理由; (2)记 G ( x) 为 f ( x) , g ( x) 在 R 上的生成函数,若 G( ? ) ? 1 ,且 G ( x) 的最大值为 9 ,求

3

8

G ( x) 的解析式.

4

2015-2016 学年下学期高一年级第一次阶段性考试 数学试卷答案 一、选择题 CBDAA BCCAA AD 二、填空题

?

?4k ?1,4k ? 1?, k ? Z

? 2? ? ?1, ? 2 ? ?

①②⑤

三、解答题 17 解:(1) m ? 1 , tan ? ? (2)原式 ?

1 2

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos2 ? tan2 ? ? 2 tan? ? 3 tan? ? 3 7 ? ?? ?? 2 2 2 tan? ? 1 3 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

,4k? ? 18 解:(2) T ? 4? ;单调递增区间为 ?4k? ? (k ?Z ) 2 2 ? ? ?
(3)对称中心为 ? 2k? ?

?

3?

7? ?

? ?

? ?

,1? ( k ? Z ) 2 ?

19.解:依题意 f(x)=2sinα cosx﹣2sinα =2sinα (cosx﹣1) 由对任意 x∈R,都有 f(x)≥0 成立, ∵cosx﹣1≤0, ∴sinα ≤0, ∴﹣ ≤α ≤0,

由 tan2α = ,即

= ,

得 tanα =﹣3,( 舍去),
5

∴sinα =﹣ 则

,cosα = =

, ×(﹣ )=﹣ . sinx,

(sinα ﹣cosα )=

20.解:(1)在 Rt△OBC 中,OB=OCcosx= 在 Rt△OAD 中, ∴OA= BC=sinx, cosx﹣sinx, cosx﹣sinx) sinx =tan60°= ,

cosx,BC=OCsinx=

∵AB=OB﹣OA=

∴f(x)=S=ABBC=( =3sinxcosx﹣ = sin2x﹣ = sin(2x+ sin x
2

(1﹣cos2x) )﹣ ,x∈(0, ),x+ )= )…(6 分) ),得 x∈(0, )﹣ + ) )+ ]﹣

(Ⅱ)由 x∈(0, 而 y=f(x)+f(x+

∈(0,

sin(2x+

sin[2(x+

= =

[sin(2x+ sin(2x+ ∈(

)+cos(2x+ )﹣ , , ),

)]﹣

由 2x+

故当 2x+

=

,即 x=

时,y 取最大值



…(12 分)

21.解: (1) f (? ) ? (2) ? ? ? ?

? cos ? sin ? ( ? tan ? ) ? ? cos ? ? tan ? sin ?

? ? 3? ? 2 ? ? ?? ? 0, , ? ,∴ 2? ? ? (? , ) ,又 cos(2? ? ) ? ? 4 4 4 4 10 ? 4 4?
6

∴ 2? ?

?

? 3? ? 2 2 7 2 ? ( , ) , ∴ sin(2? ? ) ? 1 ? (? ) ? 4 2 4 4 10 10
? ?

∴ cos 2? ? cos?(2? ? 又? ? ? ?

?

?? 2 2 7 2 2 3 ) ? ? ? (? )? ? ? ? 4 4? 10 2 10 2 5

? ? ?? , ? ,∴ cos ? ? 0 ? 4 4?
1 ? cos 2? 2 5 ?? 2 5

∴ f (? ) ? ? cos? ? ?

22.解:(1)若函数 y=sinkx,(k∈R)是 f(x),g(x)在 R 上的生成函数, 则存在正实数 m,n 使得 sinkx= 取 x=0 得:0=n,不符合 n>0 这个条件, 故函数 y=sinkx,(k∈R)不是为 f(x),g(x)在 R 上的生成函数, (2)∵G(x)为 f(x),g(x)在 R 上的生成函数,若 则存在正实数 m,n 使得 G(x)= 且 故 G(x)= = 令 sin =t,则 G(x)=﹣2nt2+(2﹣n)t+n, 根据其 G(x)的最大值为 ,
7

恒成立,



恒成立,

,即:m+n=2, =

得到:n=1 或 代入 m+n=2,得

故 G(x)的解析式为:G(x)=

或 G(x)=



8


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