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2014高考数学(文)真题解析分类汇编 专题09-圆锥曲线(解析版)


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2014 高考数学(文)真题解析分类汇编 专题 09-圆锥曲线
1. 【2014 高考安徽卷文第 3 题】抛物线 y ? A. y ? ?1 B. y ? ?2

1 2 x 的准线方程是( 4



C. x ? ?1

D. x ? ?2

2. 【2014 高考北京卷文第 10 题】设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2, 0 , 的方程为 .

?

? ?

2, 0 ,一个顶点式 ?1, 0 ? ,则 C

?

x2 y 2 3 3. 【2014 高考大纲卷文第 9 题】已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2 离心率为 , a b 3
过 F2 的直线 l 交 C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A. )

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 y 2 4. 【2014 高考大纲卷文第 11 题】双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离 a b

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为 3 ,则 C 的焦距等于( A. 2 B. 2 2

)【来源:21·世纪·教育·网】 C.4 D. 4 2 【出处:21 教育名师】

5. 【2014 高考广东卷文第 8 题】若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线 ( ) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1的 16 5 ? k 16 ? k 5

C.离心率相等

D.焦距相等

b 是关于 t 的方程 t 2 cos ? ? t sin ? ? 0 的两个不等实根, 6.【2014 高考湖北卷文第 8 题】 设a、 则过 A(a, a ) ,
2

B(b, b 2 ) 两点的直线与双曲线
A. 0 【答案】A B. 1

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为( cos 2 ? sin 2 ?
C. 2 D. 3



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【解析】 试 题 分 析 : 依 题 意 , a?b ? ?

sin ? ? ? tan ? , 过 A(a, a 2 ) , B(b, b 2 ) 两 点 的 直 线 斜 率 为 cos ?

0 ? 的距离和到直线 x ? ?1 的 7. 【2014 高考湖南卷文第 14 题】 平面上以机器人在行进中始终保持与点 F ?1, 0 ? 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是___________. 距离相等.若机器人接触不到过点 P ?? 1,

x2 y2 8.【2014 高考江西卷文第 9 题】 过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A . a b
若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), ,则双曲线 C 的方程为( )

A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

【答案】A 【解析】

x2 y2 b 试题分析: 因为 C: 2 ? 2 ? 1 的渐近线为 y ? ? x , 所以 A(a, b) 或 A(a, ?b). 因此 OA=c=4,从而三角形 OAC a a b
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为正三角形,即 tan 60 ? 考点:双曲线的渐近线

x y b ? ? 1 .21 世纪教育网版权所有 , a ? 2, b ? 2 3, 双曲线 C 的方程为 a 4 12

2

2

9. 【2014 高考江西卷文第 14 题】设椭圆 C :

x2 y2 F2 ,作 F2 作 x 轴的 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1, a2 b2

垂线与 C 交于 A, B 两点, F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1 B ,则椭圆 C 的离心率等于________.

10. 【2014 高考辽宁卷文第 8 题】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则
2

直线 AF 的斜率为( A. ?

) C. ?

4 3

B. ?1

3 4

D. ?

1 2

x2 y 2 11. 【2014 高考辽宁卷文第 15 题】已知椭圆 C: ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的 9 4
焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? 【答案】 12 【解析】 .

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,且 F1 , F2 , K 分别 试题分析:如图所示,由已知条件得,点 F1 , F2 分布是椭圆 9 4

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是线段 MB, MA, MN 的中点,则在 ?NBM 和 ?NAM 中, NB ? 2 KF1 , NA ? 2 KF2 ,又由椭圆定义 得, KF1 ? KF2 ? 2a ? 6 ,故 | AN | ? | BN |? 2( KF1 ? KF2 ) ? 12 .www.21-cn-jy.com

12. 【2014 高考全国 1 卷文第 4 题】已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? ( a2 3



A. 2

B.

6 2

C.

5 2

D. 1

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14. 【2014 高考全国 2 卷文第 10 题】设 F 为抛物线 C : y =3 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于
2

A , B 两点,则 AB ? ( )
(A)

30 3

(B) 6

(C) 12

(D) 7 3

16. 【2014 高考陕西卷文第 11 题】抛物线 y ? 4 x 的准线方程为________.
2

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17. 【2014 高考四川卷文第 10 题】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的
2

两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点),则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( A. 2 B. 3



C.

17 2 8

D. 10 21 教育网

18. 【2014 高考四川卷文第 11 题】双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率等于____________. 4

【答案】 【解析】

5 . 2

试题分析: e ?

c 4 ?1 5 . ? ? a 2 2

【考点定位】双曲线及其离心率.

x2 y2 19. 【 2014 高考天津卷卷文第 6 题】 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 a b
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l : y ? 2 x ? 10, 双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(

)21· cn· jy· com

x2 y2 A. ? ?1 5 20

x2 y2 B. ? ?1 20 5

3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 C. ? ? 1 D. ? ?1 25 100 100 25

20. 【2014 高考浙江卷文第 17 题】设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条 a2 b2
.

渐近线分别交于 A 、 B ,若 P (m,0) 满足 | PA |?| PB | ,则双曲线的离心率是

21. 【2014 高考重庆卷文第 8 题】设 F1,F2 分别为双曲线 上存在一点 P 使得 A. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线 a2 b2
) D. 17

(| PF1 | ? | PF2 |) 2 ? b 2 ? 3ab, 则该双曲线的离心率为(
B. 15 C.4

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【答案】D

x2 y2 22. 【2014 高考上海卷文第 4 题】若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的 9 5
2

准线方程为___________.

x2 y 23. 【2014 高考安徽卷文第 21 题】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 a b
点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, | AF1 |? 3 | BF1 | (1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ?

2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

【答案】(1) 5 ;(2) 【解析】 试题分析: (1)由题意 | 再由椭圆定义可得

2 . 2

AF1 |? 3 | F1B |,| AB |? 4 可以求得 | AF1 |? 3,| F1B |? 1 ,而 ?ABF2 的周长为16 ,

4a ? 16,| AF1 | ? | AF2 |? 2a ? 8 . 故 | AF2 |? 2a ? | AF1 |? 8 ? 3 ? 5 . ( 2 ) 设 出

| F1B |? k , 则 k ? 0 且 | AF1 |? 3k ,| AB |? 4k . 根 据 椭 圆 定 义 以 及 余 弦 定 理 可 以 表 示 出 a, k 的 关 系

(a ? k )(a ? 3k ) ? 0 ,从而 a ? 3k , | AF2 |? 3k ?| AF1 |,| BF2 |? 5k ,则 | BF2 |2 ?| F2 A |2 ? | AB |2 ,
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24. 【2014 高考北京卷文第 19 题】已知椭圆 C: x ? 2 y ? 4 .21 教育名师原创作品
2 2

(1) 求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最小值.

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25. 【2014 高考大纲卷文第 22 题】已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为
2

P,与 C 的交点为 Q,且 QF ? (1)求抛物线 C 的方程;

5 PQ . 4

(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同 一个圆上,求直线 l 的方程.

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26. 【2014 高考福建卷文第 21 题】已知曲线 ? 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y (1)求曲线 ? 的方程; (2)曲线 ? 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A .直线 y

? ?3 的距离小 2.

? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N ,以 MN 为

直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 P 在曲线 ? 上运动(点 P 与原点不重合)

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时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.

由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定 | AB |?

6.

试题解析:解法一:(1)设 S ( x, y ) 为曲线 ? 上任意一点, 依题意,点 S 到 F (0,1) 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等, 所以曲线 ? 是以点 F (0,1) 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物线, 所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)当点 P 在曲线 ? 上运动时,线段 AB 的长度不变,证明如下:
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解法二: (1)设 S ( x, y ) 为曲线 ? 上任意一点, 则 | y ? (?3) |?

( x ? 0) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,

依题意,点 S ( x, y ) 只能在直线 y ? ?3 的上方,所以 y ? ?3 ,

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所以 ( x ? 0) 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1 , 化简得,曲线 ? 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)同解法一. 考点:抛物线的定义,导数的几何意义,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系.

27.【2014 高考广东卷文第 20 题】 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a 2 b2

?

离心率为 5, 0 ,

?

5 . 3

(2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.

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【考点定位】本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲 线的公共点的个数利用 ? 的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用,属于难题. 28. 【2014 高考湖北卷文第 22 题】在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1, 0 ? 的距离比它到 y 轴的距离 多 1,记点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹为 C 的方程 (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点 时 k 的相应取值范围. 【答案】(1) y ? ?
2

?4 x( x ? 0) 1 ;(2)当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点; 当 2 ?o, ( x ? 0)

1 1 1 1 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点; 当 k ? (?1 ) ? (0, ) 时, 故此时直线 l 与 k ? {?1, } ? [? ,0) 时, 2 2 2 2
轨迹 C 恰有三个公共点.

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所以此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 ( ,1) . 当 k ? 0 时,方程①的判别式为 ? ? ?16(2k ? k ? 1)
2

1 4



设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ,0) ,则由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x0 ? (i)若 ?

2k ? 1 ③ k

?? ? 0 1 ,由②③解得 k ? ?1 或 k ? . 2 ? x0 ? 0
1 2

即当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点. (ii)若 ?

?? ? 0 ?? ? 0 1 1 或? ,由②③解得 k ? {?1, } 或 ? ? k ? 0 , 2 2 ? x0 ? 0 ? x0 ? 0

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29. 【2014 高考湖南卷文第 20 题】如图 5, O 为坐标原点,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和椭 a12 b12

x2 y 2 2 3 ,1) , 圆 C2 : 2 ? 2 ? 1( a2 ? b2 ? 0) 均过点 P ( 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边 a2 b2 3
形是面积为 2 的正方形.2· 1· c· n· j· y (1)求 C1 , C2 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| 的结论.

AB | ?证明你

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【考点定位】椭圆 双曲线 向量 向量内积 30. 【2014 高考江苏第 17 题】如图在平面直角坐标系 xoy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

左右焦点, 顶点 B 的坐标是 (0, b) , 连接 BF2 并延长交椭圆于点 A , 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,
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连接 F1C . (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? (2)若 F1C ? AB ,求椭圆离心率 e 的值.

4 1 3 3

2 ,求椭圆的方程;

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由 F1C ? AB 得

b3 b c 5 2 2 2 2 2 4 即 b 4 ? 3a 2c 2 ? c 4 , ∴ (a ? c ) ? 3a c ? c , 化简得 e ? ? . ? (? ) ? ?1 , 2 3 3a c ? c c a 5

【考点】椭圆标准方程,椭圆离心率,直线与直线的位置关系. 31. 【2014 高考江西文第 20 题】,已知抛物线 C : x
2

? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两

点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点).www-2-1-cnjy-com (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y 证明: | MN 2

? 2 相交于点 N1 ,与(1)中的定直线相交于点 N 2 ,

|2 ? | MN1 |2 为定值,并求此定值.2-1-c-n-j-y

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32. 【2014 高考辽宁文第 20 题】圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三
2 2

角形面积最小时,切点为 P(如图). (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l : y ? x + 3 交于 A,B 两点,若 ?PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程.
y

P O x

【答案】(Ⅰ) ( 2, 2) ;(Ⅱ) 【解析】

x2 y 2 ? ?1 6 3

试题分析:(Ⅰ)首先设切点 P (x 0 , y 0 ) (x 0 ? 0,, y 0 ? 0) ,由圆的切线的性质,根据半径 OP 的斜率可求 切线斜率,进而可表示切线方程为 x0 x ? y0 y ? 4 ,建立目标函数 S ?

1 4 4 8 .故要求面积最小 ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0

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a 2 ? 6 .从而所求 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .【来源:21cnj*y.co*m】 6 3

【考点定位】1、直线方程;2、椭圆的标准方程;3、弦长公式和点到直线的距离公式.

x2 y 2 33. 【2014 高考全国 2 文第 20 题】设 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点, M 是 C 上 a b
一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .
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(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 | MN 【答案】(Ⅰ) 【解析】

|? 5 | F1 N | ,求 a, b .

1 ;(Ⅱ) a ? 7, b ? 2 7 2

x2 y 2 3 34.【2014 高考山东文第 21 题】 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , a b 2
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直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4 10 . 5

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB , 直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的值;

(ii)求 ?CMN 面积的最大值.

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? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,可得 (1 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4m ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x2 ? ?

8mk , 1 ? 4k 2 2m , 1 ? 4k 2

因此 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 由题意知, x1 ? x2 所以 k1 ?

y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , x1 ? x2 4k 4 x1

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x2 y 2 1 35. 【2014 高考陕西文第 20 题】已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 经过点 (0, 3) ,离心率为 ,左右焦 a b 2
点分别为 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) . (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l :

1 y ? ? x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足 2

| AB | 5 3 ? ,求直线 l 的方程. | CD | 4

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? b? 3 ? c 1 ? ? 试题解析:(1)由题意可得 ? a 2 ? ?a 2 ? b2 ? c 2 ?
解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1

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1 3 1 3 或 y ?? x? ? 直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 3 2 3
考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.

36. 【 2014 高 考 上 海 文 第 22 题 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 对 于 直 线 l : ax ? by ? c

? 0 和点

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Pi ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 记? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔.若曲线 C
与直线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; 1,2),B( ? 1, 0) ⑵ 若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

⑶ 动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求 E 的方程,并证明 y 轴为 曲线 E 的分割线.21·世纪*教育网

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37. 【2014 高考四川文第 20 题】 已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 6 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?2, 0) , 离心率为 . ? 2 ?1 2 a b 3

(2) 设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. 21*cnjy*com

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当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式. 将 x ? my ? 2 代入椭圆方程得: (m ? 3) y ? 4my ? 2 ? 0 .
2 2

其判别式 ? ? 16m ? 8(m ? 3) ? 0 .
2 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

4m ?2 ?12 . , y1 y2 ? 2 , x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 ? 2 2 m ?3 m ?3 m ?3

因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以 OP ? QT ,即 ( x1 , y1 ) ? ( ?3 ? x2 , m ? y2 ) .

?12 ? x1 ? x2 ? 2 ? ?3 ? ? m ?3 所以 ? ,解得 m ? ?1 . ? y ? y ? 4m ? m 2 ? 1 m2 ? 3 ?
此时四边形 OPTQ 的面积

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1 4m ?2 SOPTQ ? 2SOPQ ? 2 ? | OF | ? | y1 ? y2 |? 2 ( 2 ) 2 ? 4 2 ?2 3. 2 m ?3 m ?3
【考点定位】1、直线及椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系;3、三角形的面积. 38. 【2014 高考天津文第 18 题】设椭圆 上顶点为 B.已知 = . 的左、右焦点分别为 ,,右顶点为 A,

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 , 经过点 的直线 与该圆相切与点 M, = .求椭圆的方程.

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39. 【2014 高考浙江文第 22 题】已知 ?ABP 的三个顶点在抛物线 C : x 2 ? 4 y 上, F 为抛物线 C 的焦点, 点 M 为 AB 的中点, PF ? 3FM ; (1)若 | PF |? 3 ,求点 M 的坐标; (2)求 ?ABP 面积的最大值.

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y P B M F 0 A x
2 2 2 2 2 2 256 5 . , ) 或M( , ) ;(2) 3 3 3 3 135

【答案】(1) M (? 【解析】

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40. 【2014 高考重庆文第 21 题】 如题 (21) 图, 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

点 D 在椭圆上, DF1

? F1F2 ,

2 | F1F2 | .21cnjy.com ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线 相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.【版权所有:21 教育】

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由(Ⅰ)知 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,所以 F1 P 1 ? ? x1 ? 1, y1 ? , F2 P 2 ? ? ? x1 ? 1, y1 ? ,再由 F 1P 1 ? F2 P 2得

? ? x1 ? 1? ? y12 ? 0 ,由椭圆方程得 1 ?
2

x12 4 2 ? ? x1 ? 1? ,即 3 x12 ? 4 x1 ? 0 ,解得 x1 ? ? 或 x1 ? 0 . 2 3

当 x1 ? 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1 ? ?

4 时,过 P 1, P 2 分别与 F 1P 1 , F2 P 2 垂直的直线的交点即为圆心 C ,设 C ? 0, y0 ? 3
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