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甘肃省河西五市2015年高三5月第二次联考(数学文)[来源:学优高考网570265]


2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学
命题学校:金川公司第一高级中学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的 姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

命题教师:郭连鹏

金玉银 程媛媛

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)函数错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。,函数错误!未找到引 用源。的值域为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 (A)错误!未找到引用源。 找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未

(D)错误!未找到引用源。

(2)已知点 A(1,3),B(4,一 1),则与向量错误!未找到引用源。的方向相反的单位向量 是 (A)(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) (B)(-错误!未找

到引用源。,错误!未找到引用源。) (C)(错误!未找到引用源。,-错误!未找到 引用源。) (D)(错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。) (3)函数错误!未找到引用源。的图象 (A)关于错误!未找到引用源。对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于原点对称 关于错误!未找到引用源。对称 (4)若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下为真命题的是 (A)错误!未找到引用源。 找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未 (D)

(D)错误!未找到引用源。

(5)曲线错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。围成一个三角形区域,表示 该区域的不等式组是 (A)错误!未找到引用源。 到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找

(D)错误!未找到引用源。

(6)函数错误!未找到引用源。+bx 的图象在点 A(l,f(1))处的切线与直线 3x - y+ 2=0 平行,若数列

{错误!未找到引用源。}的前 n 项和为 Sn,则 S2015= ( A) 1 ( B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。 (7)若错误!未找到引用源。则“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。错

误!未找到引用源。错误!未找到引用源。”成立的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 条件 (8)已知向量错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。 (A)错误!未找到引用源。 未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C) 错误!

(D)错误!未找到引用源。
4 3

(9) 若某几何体的三视图(单位: 错误! 未找到引用源。 ) 如图所示, 则该几何体的体积等于 (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。

5 正视图 3 俯视图 侧视图

(10)设函数错误!未找到引用源。 若错误!未找到引用源。,则实数错误!未找到引用 源。的取值范围是 (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用

源。 (D)错误!未找到引用源。 (11)在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为

(A) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
2

(B) 错误!未找到引用源。

(C)

(D)错误!未找到引用源。

(12)已知抛物线 C:x =8y 的焦点为 F,准线为错误!未找到引用源。,P 是错误!未找 到引用源。 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若错误! 未找到引用源。 , 则|QF|= (A)6 (B)3 (C)错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 在复平面内, 复数 z 与错误! 未找到引用源。 的对应点关于虚轴对称, 则 z= . (14)在四面体错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用 . (15)当输入的实数错误!未找到引用源。时,执行如图所示的程序框图, 则输出的错误!未找到引用源。不小于 103 的概率是 . (16)已知函数错误!未找到引用源。 ,若方程错误!未找到引用源。 有四个不同的解错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 设数列错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为 错误!未找到引用源。,点错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。均在函数错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。的图象上. (Ⅰ)求数列错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。为等比数列,且错误!未找到引 用源。,求数列错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的前 n 项和错误!未找到引 用源。错误!未找到引用源。. (18)(本小题满分 12 分) 移动公司在国庆期间推出 4G 套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案 如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可获得优惠 500 元,选择套 餐三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示, 现将频率视 为概率. (Ⅰ)求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; 入网人数 (Ⅱ)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中 150 选出 6 人,再从该 6 人中随机选两人,求这两人获得相等
100 50 套餐 1 套餐 2 套餐 3
套餐种类

源。,则该四面体 错误!未找到引用源。的外接球的表面积为

优惠金额的概率.

(19)(本小题满分 12 分) P 如图,已知四棱锥错误!未找到引用源。的底面为菱形, 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 错误!未找到引 A B 用源。 (Ⅰ)求证:AB⊥PC; D C (Ⅱ)求四棱锥错误!未找到引用源。的体积.

(20) (本小题满分 12 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x2 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为

k (k ? 0) .设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上的一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的 交点为 D .判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为正实数.
x

(Ⅰ)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值 范围, 并由此判断曲线 g ( x) 与曲线 y ?

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按 所答第一题评分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD=错误!未找到引用源。AC,AE= 错误!未找到引用源。AB, BD,CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 错误!未找到引用源。的参数方程为 错误!未找到引用源。(错误!未找 到引用源。为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 错 误!未找到引用源。的极坐标方程为错误!未找到引用源。=2. (Ⅰ)分别写出 错误!未找到引用源。的普通方程, 错误!未找到引用源。的直角 坐标方程; (Ⅱ)已知 M,N 分别为曲线 错误!未找到引用源。的上、下顶点,点 P 为曲线 错误! 未找到引用源。上任意一点,求 错误!未找到引用源。的最大值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数错误!未找到引用源。.证明:错误!未找到引用源。; (Ⅱ)若实数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求证:错误!未找到 引用源。 .

2015 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学试题答案及评分参考
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,
(1)D (7)B (2)A (8)D (3)A (9)B (4)B (10)B (5)A (11)C (6)D (12)A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13) -1+i (14) 错误! 未找到引用源。 (15) 错误! 未找到引用源。 (16)

错误!未找到引用源。

三、解答题:
(17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意得错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。. 当 n=1 时, a1=S1=1 分 ?????1

当 n≥2 时,错误!未找到引用源。; 分

?????3

当 n=1 时,a1=错误!未找到引用源。 =1 所 以 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ?????4 分 (Ⅱ) 错误!未找到引用源。得到错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。, ?????8 分错误!未找到引用 源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ?????12 分 (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设事件 A =“某人获得优惠金额不低于 300 元”,则

P( A) ?

150 ? 100 5 ? .?4 分 50 ? 150 ? 100 6

(Ⅱ)设事件 B =“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额”, ?????5 分 由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获 200 元优惠的 1 人,获 500 元优惠的 3 人,获 300 元优惠的 2 人,分别记为 a1 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 ,从中选出两人的所有基本事件如下:

a1b1 ,a1b2 ,a1b3 ,a1c1 ,a1c2 ,b1b2 ,b1b3 ,b1c1 ,b1c2 ,b2b3 ,b2 c1 ,b2c2 ,b3c1 ,b3c2 , c1c2 ,共 15 个.
?????9 分 ?????10 分 ?????12 分

其中使得事件 B 成立的为 b1b2 , b1b3 , b2b3 , c1c2 ,共 4 个 则 P( B) ?

4 . 15

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引 用源。 ,连接错误!未找到引用源。 . ∵错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用 源。, ???2 分 又四边形错误!未找到引用源。是菱形,且错误! 未找到引用源。 ,

∴错误!未找到引用源。是等边三角形,∴错误!未找到引用源。.-----4 分 ∴错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用 源。.--------------6 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.…………………8 分 错误!未找到引用源。是边长为错误!未找到引用源。的正三角形,错误! 未找到引用源。又错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,又错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。 , …………10 分 错误!未找到引用源。.所以菱形 ABCD 的面积为错误!未找到引用源。 所求体积为错误! 未找到引用源。 --------------------------------12 分 (20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)抛物线 y ? x2 的焦点为 (0, ) .--------------------------1 分 由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) .--------3 分 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,所以 1 ? k ?

1 4

1 3 ,解得 k ? ,因为 k ? 0 , 4 4

所以 0 ? k ?

3 .----------------------5 分 4

(Ⅱ)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形.理由如下:
2 假设四边形 ABDC 为梯形.依题意,设 B( x1 , x12 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) ,

联立方程 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

2 消去 y,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,

由韦达定理, 得 1 ? x1 ? k , 所以 x1 ? k ? 1 . 同理, 得 x2 ? ? 对函数 y ? x2 求导,得 y? ? 2 x ,

1 ? 1 .-----------------7 分 k

所以抛物线 y ? x2 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 ,





线

y ? x2





C







线

CD









2 2 x2 ? ? ? 2 .---------------------------9 分 k
由四边形 ABDC 为梯形,得 AB //CD 或 AC //BD .
2 2 若 AB //CD ,则 k ?? ? 2 ,即 k ? 2k ?2 ?0 ,因为方程 k ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB

2 k

与 CD 不平行. 若 AC //BD ,则 ?

1 ? 2k ? 2 ,即 2k 2 ? 2 k ?1 ? 0 ,因为方程 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0 无解,所以 k

AC 与 不 平 行 , BD -----------------------------------------------------------------------11 分
所 以 四 边 形 ABDC 不 是 梯 形 , 这 与 假 设 矛 盾 . 因 此 四 边 形 ABDC 不 可 能 为 梯 形.-------------12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1 ------------------------------------------2
'

f ( x) 的定义域为: (0, ??)

f ' ( x) ? 1 ?

1 x

函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) ------------------4

(Ⅱ)由 f ' ( x ) ? a ? 若

1 ax ? 1 ? x x
f ( x)


0 ? a ?1



(1,??)











f (a)

---------------------------------5 当

a ?1



,

f ( x)



(1,??)

















----------------------------------6 ∵ g ( x) 在 (1,??) 上是单调增函数∴ g'( x ) ? e ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立
x

∴a ? e 综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ?

------- 7 ---------- 8

此时 g ( x) ?

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) 1 2 即 , ----10 a ? , 令 h ( x ) ? ? h '( x ) ? ax ? ax 2 x2 x2 x3

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e .故两曲线没有公共点 ---------------------12 2

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
解: (1)证明:错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。在正△错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,--------------1 又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。△BAD≌△CBE,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , -------------------------3 即错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。四点共圆.??????????(5 分) (2)解:如图,取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。 ,连结错误! 未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 .

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引 用源。 , 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。△AGD 为正三角形, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,

所以点错误!未找到引用源。是△AED 外接圆的圆心,且圆错误!未找到引用源。的半 径为错误!未找到引用源。 . 由于错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找 到引用源。四点共圆,即错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。四点共圆错误!未找到引用源。 ,其半径为错误!未找到引用源。 . (10 分) (23)(本小题满分 10 分) 解: (1)曲线错误!未找到引用源。的普通方程为错误!未找到引用源。,???????? 2分 曲线错误!未找到引用源。的普通方程为错误!未找到引用 源。. ????????4 分 (2) 法一:由曲线错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。,可得其参数方程为错 误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。点坐标为错误!未找到引用源。, 由题意可知错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。????????6 分 错误!未找到引用源。. 所以当错误! 未找到引用源。 时, 错误! 未找到引用源。 有最大值 28, ???????? 8分 因此错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。. ???????? 10 分 法二:设错误!未找到引用源。点坐标为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引 用源。,由题意可知错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。????????6 分 错误!未找到引用源。. 所以当错误! 未找到引用源。 时, 错误! 未找到引用源。 有最大值 28, ???????? 8分 因此错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。. ???????? 10 分 (24)(本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)由错误!未找到引用源。, 有错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 ?????????5 分 (Ⅱ)错误!未找到引用源。,由柯西不等式得: 错误!未找到引用源。 (当且仅当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时取“错误!未找到引用

源。 ” 号)整理得:错误! 未找到引用源。 ,即错误! 未找到引用源。 ???????? 10 分


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