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初中第七届“东方杯”七年级数学竞赛试题试卷(含答案)

初中第七届“东方”杯七年级数学竞赛试题
一、 选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1. 若 - 1 ? a ? 0 ,则 a,
2 A. a ? a ?

1 2 ,a a

1 a

1 2 , a 从小到大排列正确的是 ( ) a 1 1 1 2 2 2 B. a ? ? a C. ? a ? a D. a ? a ? a a a
a, ). B.若 a ? b ,则 ac ? bc D.若 x ? y ,则

2.下列运用等式的性质变形正确的是( A.若 x ? y ,则 x ? 5 ? y ? 5 C.若

a b ? ,则 2a ? 3b c c

x y ? a a

3.已知有理数 a , b 在数轴上对应的两点分别是 A, B.请你将具体数值代入 a , b ,充分实验验证:对于任 意有理数 a , b ,计算 A, B 两点之间的距离正确的公式一定是( A. b ? a B. | b | ? | a | C. | b | ? | a | ) B、3 次多项式 D、次数不低于 3 次的多项式 )
2

) D. | b ? a |

4.若 A 和 B 都是 3 次多项式,则 A+B 一定是( A、6 次多项式 C、次数不高于 3 次的多项式
2

5. 一个多项式与 x -2 x +1 的和是 3 x -2,则这个 多项式为( A. x -5 x +3
2
2

B.- x + x -1
2

2

C.- x +5 x -3 D. x -5 x -13 ). D.7

2

6.若 2 y ? 3 y ? 7 的值为 8 ,则 4 y ? 6 y ? 9 的值是( A.2 B.-17 C.-7

7.一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所示,则被截去部分 纸环的个数可能是( (A)2010 ) (C)2012 … … 红黄绿蓝紫红黄绿 黄绿蓝紫 (D)2013

(B)2011

8.六个整数的积 a ? b ? c ? d ? e ? f ? 36 , a、b、c、d、e、f 互不相等,则 a ? b ? c ? d ? e ? f 的和可 能是( ).

A.0

B.10

C.6

D.8

9.把 100 个苹果分给若干个小朋友, 每个人至少分得一个, 且每个人分得的数目不同, 那么最多有( 人. A.11 10.方程 B. 12 C. 13 D.14 ) D.

)

x x x x ? ? ? ... ? ? 1 的解是 x 等于( 3 15 35 2005 ? 2007 2006 2007 2007 A. B. C. 2007 2006 1003

1003 2007

二、填空题(每题 3 分,满分 24 分) 11.如果 a ? b <0,那么
a ?3

a a

?

b ab ? ? b ab



12.如果 (a ? 4) x

? 8 ? 0 是关于 x 的一元一次方程,那么 a ? a ? 1 ?

2



13.在图中每个小方格内填入一个数,使每一行、每一列都有 1、2、3、4、5.那么右下角的小方格内填入的 数是 . 5
5 4 (1) 1 2 (2)
1

4

3 3 ? (3) 5

1

3 5 3 1 字 1,2,3,4,5,6.根据图?中该正方 .

2 14.如上图,一个正方体的每个面分别标有数

3

体三种状态所显示的数据,可推出“?”处的数字是

15.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每 次折痕与上次的 折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到 7 条折痕,那么对折 10 次可以得到 条折痕。

16.已知 AB 是一段只有 3 米宽的窄道路,一辆小汽车与一辆大卡车在 AB 段相遇,必须倒车才能通行,如果 小汽车在 AB 段正常行驶需 10 分钟,大卡车在 AB 段正常行驶需 20 分钟,小汽车在 AB 段倒车的速度是 它正常行驶速度的

1 1 ,大卡车在 AB 段倒车的速度是它正常杼驶速度的 ,小汽车需倒车的路程是大卡 5 8
分钟.

车需倒车的路程的 4 倍.则两车都通过 AB 这段狭窄路面所用的最短时间是

17.右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A,B,C,D. 请你按图中箭头所指方向(即 A→B→C→D→C→B→A→B →C → … 的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3, 4,…,当数到 12 时,对应的字母是 第 201 次出现时,恰好数到的数是 ;当字母 C ;当字母 C

第 2n ? 1 次出现时( n 为 正 整 数) ,恰 好 数 到 的 数 是 (用含 n 的代数式表示). 18.如图,是用棋子摆成的图案,摆第 1 个图案需要 7 枚棋子,摆第 2 个图案需要 19 枚棋子,摆第 3 个图案 需要 37 枚棋子,按照这样的方式摆下去,则 摆第 6 个图案需要 摆第 n 个图案需要 枚棋子. 枚棋子,


三、解答题(满分 66 分) 19.(每题 3 分,满分 6 分)
100 - 53 ( - - 1) - 12 ? (-

(1)计算:

1 ) 22

1 ? - 1 - 32 ? 2

(2)解方程:

1 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? 3 ? ? 3? ? 3? ? 3 ? 0 2 ?2 ?2 ? 2 ? ? ?

20.(满分 6 分) 如果有理数 a,b 满 足∣ab-2∣+(1-b)2=0,试求

1 1 1 1 的值。 ? ? ?? ? ab (a ? 1)(b ? 1) (a ? 2)(b ? 2) (a ? 2007)(b ? 2007)

21.((满分 6 分)已知有 理数 a、b、c 在数轴上的位置如图,化简

a ? a?b ? c?a ? b?c
b a 0 c

22.(满分 6 分)扑克牌游戏:小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步,分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步,从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步,从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步,左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数,聪明的你,你认为中间一堆牌的张数是多少?

23.(满分 8 分)已知: a 为有理数, a3 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 ,求 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ... ? a 2012 的值.

24. (满分 8 分)已知某一铁路桥长 1000 米,现有一列火车从桥上通过,小亮和小芳从不同的角度进行了 观察:小亮:火车从开始上桥到完全通过共用 1 分钟. 小芳:整个火车完全在桥上的时间为 40 秒钟. 请根据以上信息,求出火车的长度和火车的速度.

25. (满分 8 分)已知在数轴 l 上,一动点 Q 从原点 O 出发,沿直线 l 以每秒钟 2 个单位长度的速度来回移 动,其移动方式是先向右移动 1 个单位长度,再向左移动 2 个单位长度,又向右移动 3 个单位长度, 再向左移动 4 个单位长度,又向右移动 5 个单位长度…… (1)求出 5 秒钟后动点 Q 所处的位置; (2)如果在数轴 l 上还有一个定点 A,且 A 与原点 O 相距 20 个单位长度,问: 动点 Q 从原点出发, 可能与点 A 重合吗?若能, 则第一次与点 A 重合需多长时间?若不能, 请说明理由. O

26. (满分 8 分) 由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路,后三分之一的路是普通公路,高速公路和普 通公路交界处是丙地.A 车在高速公路和普通公路的行驶速度都是 80 千米/时;B 车在高速公路上的行 驶速度是 100 千米/时,在普通公路上的行驶速度是 70 千米/时,A、B 两车分别从甲、乙两地同时出 发相向行驶,在高速公路上距离丙地 40 千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?

27. (满分 10 分)某社区超市第一次用 6000 元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的 倍多 15 件,甲、乙两种商品的进价和售价如下表: (注:获利=售价-进价) 甲 进价(元/件) 售价(元/件) 22 29 乙 30 40

1 2

(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数 是第一次的 3 倍;甲商品按原价销售,乙商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利 润比第一次获得的总利润多 180 元,求第二次乙种商品是按原价打几折销售?

参考答案
一、 1 C 二、 11.-1 选择题 2 B 填空题 12.1 13. 3 14. 6 15. 2 ? 1
n

3 D

4 C

5 C

6 C

7 D

8 D

9 C

10 C

16. 50

17. B,603, 6n ? 3 三、简答题 19.(1)

2 18. 127, 3n ? 3n ? 1

39 10

(2) x ? 90

20. a ? 2, b ? 1 .原式= 21. ? a

2008 2009

22. 设左、中、右都是 n 张牌,如图 左 第一步: 第二步: 第三步: n n-2 中 n n+2 n+2+1 n-1 右 n

第四步: 2(n-2) (n+3)-(n-2)=5 所以中间一堆牌的张数是 5.

23.

1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ... ? a 2012 ? 1 ? a(1 ? a ? a 2 ? a3 ) ? a5 (1 ? a ? a 2 ? a3 ) ? ... ? a 2009 (1 ? a ? a 2 ? a3 ) ? 1? 0 ? 1

24.设火车的长度为 x 米.则有

1000 ? x 1000 ? x ? 60 40
答:略

解得: x ? 200 (米) ,

1000 ? 200 ? 20 米/秒. 60

25.(1) 5 ? 2 ? 10 个单位,1+2+3+4=10,第四次跳到-2 处;

(2)第一次与 A 重合,应在原点右边第 20 个单位处。 共跳了 1 ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 20 - 1 ? 780 个单位,需要时间 390 秒. 26.设甲、乙两地距离为 x 千米,则有

2 1 x ? 40 x 40 3 3 ,解得 x ? 252 (千米) ? ? 80 70 100
答:略 27. 解: (1)设第一次购进甲种商品 x 件,则乙的件数为(

1 x ? 15 )件,根据题意得 2

1 22 x ? 30 ? ( x ? 15) ? 6000 . 2
解得 则

x ? 150 .

1 x ? 15 ? 75 ? 15 ? 90 (件) 2

(29 ? 22) ?150 ? (40 ? 30) ? 90 ? 1950 (元)
答:两种商品全部卖完后可获得 1950 元利润.

(2)设第二次乙种商品按原价打 y 折. 由题意,有

? 29 ? 22 ? ?150 ? ? ? 40 ?
?
解得

y ? ? 30 ? ? 90 ? 3 ? 1950+180 . 10 ?

y ? 8.. 5

答:第二次乙种商品是按原价打 8.5 折销售


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