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初中第七届“东方杯”七年级数学竞赛试题试卷(含答案)

初中第七届“东方”杯七年级数学竞赛试题

一、 选择题(每题 3 分,满分 30 分)

1. 若 -1 ? a ? 0 ,则 a, 1 , a 2 a

a, 1 , a 2 从小到大排列正确的是 a

A. a2 ? a ? 1 a

B. a ? 1 ? a2 a

C. 1 ? a ? a 2 a

2.下列运用等式的性质变形正确的是(

).

()
D. a ? a2 ? 1 a

A.若 x ? y ,则 x ? 5 ? y ? 5

B.若 a ? b ,则 ac ? bc

C.若 a ? b ,则 2a ? 3b cc

D.若 x ? y ,则 x ? y aa

3.已知有理数 a , b 在数轴上对应的两点分别是 A, B.请你将具体数值代入 a , b ,充分实验验证:对于任

意有理数 a , b ,计算 A, B 两点之间的距离正确的公式一定是(



A. b ? a

B.| b | ? | a |

C.| b | ? | a |

D.| b ? a |

4.若 A 和 B 都是 3 次多项式,则 A+B 一定是(



A、6 次多项式

B、3 次多项式

C、次数不高于 3 次的多项式

D、次数不低于 3 次的多项式

5. 一个多项式与 x2 -2 x +1 的和是 3 x -2,则这个 多项式为(



A. x2 -5 x +3

B.- x2 + x -1

C.- x2 +5 x -3 D. x2 -5 x -13

6.若 2 y2 ? 3y ? 7 的值为 8 ,则 4 y2 ? 6 y ? 9 的值是(

).

A.2

B.-17

C.-7

D.7

7.一个纸环链,纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所示,则被截去部分

纸环的个数可能是(



(A)2010

(B)2011

(C)2012

(D)2013

……

红黄绿蓝紫红黄绿

黄绿蓝紫

8.六个整数的积 a ? b ? c ? d ? e ? f ? 36 ,a、b、c、d、e、f 互不相等,则 a ? b ? c ? d ? e ? f 的和可

能是(

).

A.0

B.10

C.6

D.8

9.把 100 个苹果分给若干个小朋友,每个人至少分得一个,且每个人分得的数目不同,那么最多有(

)

人.

A.11

B. 12

C. 13

10.方程 x ? x ? x ? ...?

x

? 1的解是 x 等于(

3 15 35

2005? 2007

2006
A.
2007

2007
B.
2006

2007
C.
1003

二、填空题(每题 3 分,满分 24 分)

D.14 )
1003
D.
2007

11.如果 a ? b <0,那么 a ? b ? ab ?



a b ab

12.如果 (a ? 4) x a?3 ? 8 ? 0 是关于 x 的一元一次方程,那么 a2 ? a ?1 ?



13.在图中每个小方格内填入一个数,使每一行、每一列都有 1、2、3、4、5.那么右下角的小方格内填入的

数是

.

54

5 41
(1)

1
23
(2)

3 ?5
(3)

13 53
2 31

14.如上图,一个正方体的每个面分别标有数

字 1,2,3,4,5,6.根据图?中该正方

体三种状态所显示的数据,可推出“?”处的数字是

.

15.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每 次折痕与上次的

折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到 7 条折痕,那么对折 10 次可以得到

条折痕。

16.已知 AB 是一段只有 3 米宽的窄道路,一辆小汽车与一辆大卡车在 AB 段相遇,必须倒车才能通行,如果

小汽车在 AB 段正常行驶需 10 分钟,大卡车在 AB 段正常行驶需 20 分钟,小汽车在 AB 段倒车的速度是

它正常行驶速度的 1 ,大卡车在 AB 段倒车的速度是它正常杼驶速度的 1 ,小汽车需倒车的路程是大卡

5

8

车需倒车的路程的 4 倍.则两车都通过 AB 这段狭窄路面所用的最短时间是

分钟.

17.右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A,B,C,D.

请你按图中箭头所指方向(即 A→B→C→D→C→B→A→B

→C → … 的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,

4,…,当数到 12 时,对应的字母是

;当字母 C

第 201 次出现时,恰好数到的数是

;当字母 C

第 2n ?1 次出现时( n 为 正 整 数),恰 好 数 到 的 数 是

(用含 n 的代数式表示).

18.如图,是用棋子摆成的图案,摆第 1 个图案需要 7 枚棋子,摆第 2 个图案需要 19 枚棋子,摆第 3 个图案 需要 37 枚棋子,按照这样的方式摆下去,则 摆第 6 个图案需要 枚棋子,

摆第 n 个图案需要

枚棋子.



三、解答题(满分 66 分)

19.(每题 3 分,满分 6 分)

- 53 (- -1)100 -12 ?(- 1 )

(1)计算:

22

1? -1- 32 ? 2

(2)解方程:

1 2

? ? ?

1 2

? ??

1 2

?? ?

1 2

x

?

3?? ?

?

? 3??

?

? 3? ?

?

3

?

0

20.(满分 6 分) 如果有理数 a,b 满 足∣ab-2∣+(1-b)2=0,试求

1?

1

?

1

??

1

的值。

ab (a ?1)(b ?1) (a ? 2)(b ? 2) (a ? 2007)(b ? 2007)

21.((满分 6 分)已知有 理数 a、b、c 在数轴上的位置如图,化简

a ? a?b ? c?a ? b?c

b

a0

c

22.(满分 6 分)扑克牌游戏:小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作: 第一步,分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同; 第二步,从左边一堆拿出两张,放入中间一堆; 第三步,从右边一堆拿出一张,放入中间一堆; 第四步,左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆. 这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数,聪明的你,你认为中间一堆牌的张数是多少?

23.(满分 8 分)已知: a 为有理数, a3 ? a2 ? a ?1 ? 0 ,求1? a ? a2 ? a3 ? a4 ? ... ? a2012 的值.
24. (满分 8 分)已知某一铁路桥长 1000 米,现有一列火车从桥上通过,小亮和小芳从不同的角度进行了 观察:小亮:火车从开始上桥到完全通过共用 1 分钟. 小芳:整个火车完全在桥上的时间为 40 秒钟.
请根据以上信息,求出火车的长度和火车的速度.

25. (满分 8 分)已知在数轴 l 上,一动点 Q 从原点 O 出发,沿直线 l 以每秒钟 2 个单位长度的速度来回移
动,其移动方式是先向右移动 1 个单位长度,再向左移动 2 个单位长度,又向右移动 3 个单位长度, 再向左移动 4 个单位长度,又向右移动 5 个单位长度…… (1)求出 5 秒钟后动点 Q 所处的位置;
(2)如果在数轴 l 上还有一个定点 A,且 A 与原点 O 相距 20 个单位长度,问:
动点 Q 从原点出发,可能与点 A 重合吗?若能,则第一次与点 A 重合需多长时间?若不能,请说明理由. O
26. (满分 8 分) 由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路,后三分之一的路是普通公路,高速公路和普 通公路交界处是丙地.A 车在高速公路和普通公路的行驶速度都是 80 千米/时;B 车在高速公路上的行 驶速度是 100 千米/时,在普通公路上的行驶速度是 70 千米/时,A、B 两车分别从甲、乙两地同时出 发相向行驶,在高速公路上距离丙地 40 千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?

27. (满分 10 分)某社区超市第一次用 6000 元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的 1 2
倍多 15 件,甲、乙两种商品的进价和售价如下表:(注:获利=售价-进价)





进价(元/件)

22

30

售价(元/件)

29

40

(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数
是第一次的 3 倍;甲商品按原价销售,乙商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利 润比第一次获得的总利润多 180 元,求第二次乙种商品是按原价打几折销售?

参考答案

一、 选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

D

C

C

C

D

D

C

C

二、 填空题

11.-1

12.1 13. 3

14. 6

15. 2n ?1

16. 50

17. B,603, 6n ? 3

18. 127, 3n2 ? 3n ? 1

三、简答题

19.(1) 39 10

(2) x ? 90

20. a ? 2,b ? 1.原式= 2008 2009

21. ? a

22. 设左、中、右都是 n 张牌,如图







第一步: n

n

n

第二步: n-2

n+2

第三步:

n+2+1 n-1

第四步: 2(n-2) (n+3)-(n-2)=5

所以中间一堆牌的张数是 5.

23. 1? a ? a2 ? a3 ? a4 ? ... ? a2012 ? 1? a(1? a ? a2 ? a3) ? a5 (1? a ? a2 ? a3) ? ... ? a2009 (1? a ? a2 ? a3) ?1?0 ?1

24.设火车的长度为 x 米.则有

1000 ? x ? 1000 ? x 解得: x ? 200 (米), 1000 ? 200 ? 20 米/秒.

60

40

60

答:略

25.(1) 5? 2 ? 10 个单位,1+2+3+4=10,第四次跳到-2 处;

(2)第一次与 A 重合,应在原点右边第 20 个单位处。

共跳了1? 2 ? 3 ??2? 20 -1 ? 780个单位,需要时间 390 秒.

26.设甲、乙两地距离为 x 千米,则有

2 x ? 40 3

?

1x 3

?

40

,解得 x ? 252 (千米)

80 70 100

答:略

27. 解:(1)设第一次购进甲种商品 x 件,则乙的件数为( 1 x ?15 )件,根据题意得 2

22x ? 30 ?(1 x ?15) ? 6000 . 2

解得 x ?150 . 则 1 x ?15 ? 75 ?15 ? 90 (件)
2 (29 ? 22) ?150 ? (40 ? 30) ?90 ? 1950 (元)
答:两种商品全部卖完后可获得 1950 元利润.

(2)设第二次乙种商品按原价打 y 折. 由题意,有

?

29

?

22?

?150

?

? ??

40

?

y 10

?

30

? ??

?

90

?

3

?

1950+180

.

解得 y ? 8 . .5

答:第二次乙种商品是按原价打 8.5 折销售


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