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2014年青岛市高三一模试题理科数学及答案


青岛市高三统一质量检测

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

1. 若集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
2

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | x ? 0 或 x ? ?1} D. {x | 0 ? x ? 2}

2. 已知向量 a ? ( ?1, 2) , b ? (3, m) , m ? R ,则“ m ? ?6 ”是“ a //(a ? b) ”的 A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
0.1

?

?

?

?

?

频率 组距

3. 右图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方 图,则由图可估计样本重量的中位数为 A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5
O 0.06

5

10

15 20

重量

高三数学(理科)试题 第 1 页(共 13 页)

4. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 5
5 x 4
B. y ? ?

A. y ? ?

5 x 2

C. y ? ?

5 x 5

D. y ? ?

2 5 x 5

5. 执行右图所示的程序框图,则输出的结果是 A. 5 B. 7
2

C. 9

D. 11

开始

6. 函数 y ? 2cos ( x ? A. x ?

?
2

) 图象的一条对称轴方程可以为
3 C. x ? ? 4
2 2

k ?1

?
4

B. x ?

?

3

D. x ? ?

S ?1
S ? 20?

否 输出 k 结束

:x +y = 1 的两条切线,切点分别为 7. 过点 P (1, 3) 作圆 O


S ? S ? 2k

A 和 B ,则弦长 | AB | =
A. 3 B. 2 C. 2 D. 4

k ? k ?2

?x ? 0 y ?1 ? 8. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? 4 x ? 3 y ? 4 ,则 w ? 的最小值是 x ?y ? 0 ?
A. ?2 B. 2 C. ?1 D.1 9. 由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, x ? 3 所围成封闭的平面图形的面积为 A.

10. 在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,对任意 a, b ? R , a ? b 为唯一确定的实数,且具 有性质: (1)对任意 a ? R , a ? 0 ? a ; (2)对任意 a, b ? R , a ? b ? ab ? (a ? 0) ? (b ? 0) .

32 9

B. 4 ? ln3

C. 4 ? ln 3

D. 2 ? ln3

1 的性质,有如下说法:①函数 f ( x) 的最小值为 3 ;②函数 f ( x) ex 为偶函数;③函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0] .
关于函数 f ( x) ? (e ) ?
x

其中所有正确说法的个数为 A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

高三数学(理科)试题 第 2 页(共 13 页)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

a ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ? b ? i ( a,b ? R ) i 12. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? a , a 为常数,则
11. 已知



P(?1 ? ? ? 0) ?
13. 二项式 ( x ?



1 6 ) 展开式中的常数项为 x2
2



14. 如图所示是一个四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为 ;

主视图

左视图

2
2
俯视图

2

? ? x 2 ? x, x ? 1 ? 15. 已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 , g ( x) ?| x ? k | ? | x ? 1| ,若对任意的 x1 , x2 ? R , 1 ? ? 3
都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 k 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2cos A cos C (tan A tan C ?1) ? 1 . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

高三数学(理科)试题 第 3 页(共 13 页)

17. (本小题满分 12 分)

2013 年 6 月“神舟 ”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、
实验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率 分别为

3 1 1 2 、 、 、 ,并且各个环节的直播收看互不影响. 4 3 2 3

(Ⅰ)现有该班甲、乙、丙三名同学,求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率; (Ⅱ)若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数,求 X 的分布列与期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图几何体中,四边形 ABCD 为矩形, AB ? 2BC ? 4 , BF ? CF ? AE ? DE ,

EF ? 2 , EF // AB , AF ? CF .
(Ⅰ)若 G 为 FC 的中点,证明: AF // 面 BDG ; (Ⅱ)求二面角 A ? BF ? C 的余弦值.

E

F
G

D

C

A

B

19. (本小题满分 12 分)
n ? 已知 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n .令 cn ? (?1) Sn (n ? N ) , {cn } 的

q ? a9 . 前 20 项和 T20 ? 330 .数列 {bn } 是公比为 q 的等比数列, 前 n 项和为 Wn , 且 b1 ? 2 ,
3

(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明: (3n ? 1)Wn ? nWn ?1 (n ? N ) .
?

高三数学(理科)试题 第 4 页(共 13 页)

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C1 的中心为原点 O , 离心率 e ?

? 2 , 其一个焦点在抛物线 C2 : y ? 2 px 的 ?

准线上,若抛物线 C2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)当点 Q(u, v) 在椭圆 C1 上运动时,设动点 P(?v ? u, u ? v) 的运动轨迹为 C3 .若点 T 满足: OT ? MN ? ?OM ? ON ,其中 M , N 是 C3 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积 为?

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

? ,试说明:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 TF? ? TF? 为定值?若存在,求 F? , F? 的 ?

坐标;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分)

?) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? e ,且 g (0) g( 1
x

?e ,其中 e

为自然对数的底数. (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) ,使得不等式 g ( x) ?

x?m?3 成立,试求实数 m 的取值范围; x

(Ⅲ) 当 a ? 0 时,对于 ?x ? (0, ??) ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 2 .

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数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CACBC DADBC 高三数学(理科)试题 第 5 页(共 13 页)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 1 12.

1 ?a 2

13. 15

14. 4

15. k ?

3 5 或k ? 4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 2cos A cos C (tan A tan C ?1) ? 1 得:

2cos A cos C (

sin A sin C ? 1) ? 1 ………………………………………………………2 分 cos A cos C

? 2(sin A sin C ? cos A cos C ) ? 1
1 ? cos( A ? C ) ? ? ,………………………………………………………………………4 分 2 1 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? 2 ? ……………………………………………………………………………………6 分 ?B ? 3
a 2 ? c ? b2 1 ? (Ⅱ)由余弦定理得: cos B ? 2ac 2
2

?

(a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 1 ? , ………………………………………………………………8 分 2ac 2
3 3 27 5 ,b ? 3 ? ? 2ac ? 3 ? ac ,ac ? 2 4 4
……………………………10 分

又a?c ?

? S?ABC ?

1 1 5 3 5 3 ac sin B ? ? ? ? ………………………………………………12 分 2 2 4 2 16

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播”为事件 A ,

3 27 2 3 2 3 3 3 则 P( A) ? C3 ( ) ? (1 ? ) ? C3 ( ) ? . …………………………………………………4 分 4 4 4 32 (Ⅱ)由条件可知 X 可能取值为 0,1,2,3,4 .

高三数学(理科)试题 第 6 页(共 13 页)

3 1 1 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ; 4 3 2 3 36 3 1 1 2 3 1 1 2 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 3 2 3 4 3 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 13 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 72
3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 P( X ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 7 ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 18 3 1 1 2 3 1 1 2 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ? 4 3 2 3 4 3 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 23 ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 72 3 1 1 2 1 P( X ? 4) ? ? ? ? ? ; 4 3 2 3 12 即 X 的分布列

X P

0
1 36

1

2

3

13 7 23 72 18 72 …………………………………………………………………10 分 1 13 7 23 1 9 X 的期望 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .………………………12 分 36 72 18 72 12 4
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O 点,则 O 为 AC 的中点,连接 OG 因为点 G 为 FC 中点,所以 OG 为 ?AFC 的中位线, 所以 OG // AF ………………………………………………………………………2 分

4 1 12

? AF ? 面 BDG , OG ? 面 BDG ,
所以 AF // 面 BDG ………………4 分 (Ⅱ)取 AD 中点 M , BC 的中点 Q , 连接 MQ ,则 MQ // AB // EF , 所以 MQFE 共面 作 FP ? MQ 于 P , EN ? MQ 于 N ,

E

z F
G

D

C
N O

x
A

M

P
B

Q

高三数学(理科)试题 第 7 页(共 13 页)y

则 EN / / FP 且 EN ? FP

? AE ? DE ? BF ? CF , AD ? BC
??ADE 和 ?BCF 全等,? EM ? FQ
??ENM 和 ?FPQ 全等,? MN ? PQ ? 1

? BF ? CF , Q 为 BC 中点,? BC ? FQ
又 BC ? MQ , FQ ? MQ ? Q ,? BC ? 面 MQFE

? PF ? BC ,? PF ? 面 ABCD …………………………………………………………6 分
以 P 为原点, PF 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则 A(3,1, 0) , B(?1,1,0) ,

??? ? ??? ? C (?1, ?1,0) ,设 F (0,0, h) ,则 AF ? (?3, ?1, h) , CF ? (1,1, h) ??? ? ??? ? ? AF ? CF ,? AF ? CF ? 0 ? ?3 ? 1 ? h2 ? 0 ? h ? 2 ?? 设面 ABF 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ??? ? ??? ? AF ? (?3, ?1, 2) , BF ? (1, ?1, 2) ?? ??? ? ?n1 ? AF ? 0 ??3x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? 由 ? ?? ??? ,令 z1 ? 1 ? x1 ? 0, y1 ? 2 ?? ? x ? y ? 2 z ? 0 n ? BF ? 0 ? 1 1 1 ? ? 1 ?? ? n1 ? (0, 2,1) ………………………………………………………………………………8 分 ?? ? 设面 CBF 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ??? ? ??? ? BF ? (1, ?1, 2) , BC ? (0, ?2, 0) ?? ? ??? ? ? n ? BF ? 0 ? x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? 2 由 ? ?? ,令 z2 ? 1 ? y2 ? 0, x2 ? ?2 ?? ? ??? ? ? 2 y ? 0 n ? BC ? 0 ? 2 ? ? 2

?? ? ? n2 ? (?2, 0,1) ……………………………………………………………………………10 分 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 | ? | n2 | 5? 5 5
设二面角 A ? BF ? C 的平面角为 ? ,

高三数学(理科)试题 第 8 页(共 13 页)

则 cos ? ? cos(? ? ? n1 , n2 ?) ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? 19. (本小题满分 12 分)

?? ?? ?

?? ?? ?

1 …………………………………12 分 5

解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,因为 cn ? (?1) n Sn 所以 T20 ? ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? ? S20 ? 330 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 330 则 10(3 ? d ) ?

10 ? 9 ? 2d ? 330 2

解得 d ? 3 ,所以 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n ……………………………………………………4 分 所以 q ? a9 ? 27 , q ? 3
3

所以 bn ? 2 ? 3

n ?1

………………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, Wn ?

2(1 ? 3n ) ? 3n ? 1 1? 3

要证 (3n ? 1)Wn ? nWn ?1 , 只需证 (3n ? 1)(3 ? 1) ? n(3
n n ?1

? 1)

即证: 3 ? 2n ? 1 ……………………………………………………………………………8 分
n

当 n ? 1 时, 3 ? 2n ? 1
n

下面用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, 3 ? 2n ? 1
n

(1)当 n ? 2 时,左边 ? 9 ,右边 ? 5 ,左 ? 右,不等式成立 (2)假设 n ? k (k ? 2) , 3 ? 2k ? 1
k

则 n ? k ? 1 时, 3

k ?1

? 3 ? 3k ? 3(2k ? 1) ? 6k ? 3 ? 2(k+1)+1

?n ? k ? 1 时不等式成立

高三数学(理科)试题 第 9 页(共 13 页)

根据(1) (2)可知:当 n ? 2 时, 3 ? 2n ? 1
n

综上可知: 3 ? 2n ? 1 对于 n ? N 成立
n

?

所以 (3n ? 1)Wn ? nWn ?1 (n ? N ) 20. (本小题满分 13 分)

?

………………………………………………………12 分

? y 2 ? 2 px ? ? y 2 ? 2 py ? 2 2 p ? 0 , 解: (I)由 ? ? ?x - y ? 2 ? 0

?抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 与直线 l : x - y ? 2 ? 0 相切,
?? ? 4 p 2 ? 8 2 p ? 0 ? p ? 2 2
……………………………………………………2 分

?抛物线 C2 的方程为: y 2 ? 4 2 x ,其准线方程为: x ? ? 2 ,? c ? 2
?离心率 e ?
? c 2 , ? a ? 2, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , , ?e ? ? ? a 2

故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. …………………………………………………………5 分 4 2

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , P( x?, y?) , T ( x, y)

1 ? u ? (2 y? ? x?) ? ? x ? ? 2v ? u ? 3 ?? 则? ? y? ? u ? v ? v ? 1 ( x? ? y?) ? 3 ?

?当点 Q(u, v) 在椭圆 C1 上运动时,动点 P(?v ? u, u ? v) 的运动轨迹 C3
? u 2 v2 1 1 ? ? 1 ? [ (2 y? ? x?)]2 ? 2[ ( x? ? y?)]2 ? 4 ? x? 2 ? 2 y? 2 ? 12 4 2 3 3

? C3 的轨迹方程为: x 2 ? 2 y 2 ? 12 ………………………………………………………7 分
由 OT ? MN ? ?OM ? ON 得 高三数学(理科)试题 第 10 页(共 13 页)

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

( x, y) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? 2( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, …………………………………………9 分 x1 x2 2
2 2

因为点 M , N 在椭圆 x ? 2 y ? 12 上, 所以 x1 ? 2 y1 ? 12, x2 ? 2 y2 ? 12 ,
2 2 2 2

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 60 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

所以 x ? 2 y ? 60 ,从而可知: T 点是椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1 上的点, 60 30

?存在两个定点 F? , F? ,且为椭圆
标为 F1 (? 30, 0), F2 ( 30, 0) . 21. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,使得 TF? ? TF? 为定值,其坐 60 30
…………………………………………………13 分

解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? a ?

1 ( x ? 0) . x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, f ( x) 没有极值;……………1 分

1 a( x ? ) a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x 1 1 若 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 ;若 x ? (? , ??) 时, f ?( x) ? 0 a a 1 1 1 ? f ( x) 存在极大值,且当 x ? ? 时, f ( x)极大 ? f (? ) ? ln(? ) ? 1 a a a
综上可知:当 a ? 0 时, f ( x) 没有极值;当 a ? 0 时, f ( x) 存在极大值,且当 x ? ? 高三数学(理科)试题 第 11 页(共 13 页)

1 时, a

1 1 f ( x)极大 ? f (? ) ? ln(? ) ? 1 …………………………………………………………4 分 a a
(Ⅱ) ?函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? e ,? g ( x) ? e ? c
x x

? g (0) g ?(1) ? e ,? (1 ? c)e ? e ? c ? 0 ,g ( x) ? e x ……………………………………5 分
? ?x ? (0, ??) ,使得不等式 g ( x) ?
x?m?3 成立, x

? ?x ? (0, ??) ,使得 m ? x ? e x x ? 3 成立,
令 h( x ) ? x ? e
x

x ? 3 ,则问题可转化为: m ? h( x)max
x

对于 h( x) ? x ? e

x ? 3 , x ? (0, ??) ,由于 h?( x) ? 1 ? e x ( x ?

1 2 x

), 1 2 x

x 当 x ? (0, ??) 时,? e ? 1 , x ?

1 2 x

?2

x?

1 2 x

? 2 ,? e x ( x ?

) ?1,

? h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 (0, ??) 上为减函数,? h( x) ? h(0) ? 3

? m ? 3 ………………………………………………………………………………………9 分
(Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ,令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 ? ( x) ? e ? ln x ? 2 ,
x

1 ? ? ?( x) ? e x ? ,且 ? ?( x) 在 (0, ??) 上为增函数 x 1 ?t t 设 ? ?( x) ? 0 的根为 x ? t ,则 e ? ,即 t ? e t
当 x ? (t , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, t ) 上为减函数; ? ?( x) ? 0 , ? ( x) ?当 x ? (0, t ) 时, 在 (t , ??) 上为增函数,?? ( x)min ? ? (t ) ? e ? ln t ? 2 ? e ? ln e ? 2 ? e ? t ? 2
t t ?t t

1 1 ? ? ?(1) ? e ? 1 ? 0 , ? ?( ) ? e ? 2 ? 0 ,? t ? ( ,1) 2 2 1 t 由于 ? (t ) ? e ? t ? 2 在 t ? ( ,1) 上为增函数, 2

高三数学(理科)试题 第 12 页(共 13 页)

1 1 ?? ( x)min ? ? (t ) ? e ? t ? 2 ? e ? ? 2 ? 2.25 ? ? 2 ? 0 2 2
t

1 2

? f ( x) ? g ( x) ? 2 …………………………………………………………………………14 分

高三数学(理科)试题 第 13 页(共 13 页)


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