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新人教A版高中数学选修4-4精品课件:1.2极坐标系


从这向北 2000米。 请问:去菜 市场怎么走? 请分析上面这句话,他告诉了问路人 什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ! 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想,就是极坐 标的基本思想。 一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向(通常取逆时针 O 方向)。 X 这样就建立了一个极坐标系。 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段OM的 长度,用 ? 表示从OX到 OM 的角度,? 叫做点M 的极径, ?叫做点M的极 角,有序数对(?,?)就 O 叫做M的极坐标。 M ? ? X 特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到 极点O的距离;?表示从OX到OM的角度,即 以OX(极轴)为始边,OM 为终边的角。 题组一:说出下图中各点的极坐标 ? 2 5? 6 C E D O B A X ? 4 ? 4? 3 F G 5? 3 特别规定: 当M在极点时,它的 极坐标?=0,?可以取任意值。 想一想? ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 三、点的极坐标的表达式的研究 ? ? 如图:OM的长度为4, 4 ? 请说出点M的极坐标的其 ? 他表达式。 O X 思:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,不同的是极角 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。 π? ? 2kπ+ ? ? 4, 本题点M的极坐标统一表达式: 4? ? ? M 题组二:在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) 4? D(5, ) 3 5? G (6, ) 3 B(6, 2? ) 5? E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, ? ) ? ? 2 5? 6 ? 4 ? E F O C A B X 4? 3 D G 5? 3 四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P [1]给定(?,?),就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M,但却 有无数个极坐标与之对应。 原因在于:极角有无数个。 如果限定ρ>0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了. M O (ρ,θ)… X 极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示? 在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位 y M (1, 3) θ O x 点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ) M ( 2, π/ 3) ? ? 1 ?( 3 )?2 2 2 3 tan? ? ? 3 1 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x 2 2 2 x=ρcosθ, y=ρsinθ 互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 例1. 将点M的极坐标 2? (5, ) 3 5 5 3 ) 所以, 点

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