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2014版高中数学复习方略课时提升作业:2.11导数与函数的单调性、极值、最值(北师大版)


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课时提升作业(十四)
一、选择题 1.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则( (A)a<-1 (C)a>(B)a>-1 (D)a<) )

2.(2013·榆林模拟)函数 y=(3-x2)ex 的递增区间是( (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1)

3.(2013·铜川模拟)对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要 条件是( ) (B)a=0 或 a=7 (D)a=0 或 a=21

(A)0≤a≤21 (C)a<0 或 a>21

4.(2013·九江模拟)已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件: ①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1); ②g(x)≠0; ③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x). 若 + = ,则 a 等于( )

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(A)

(B)2

(C)

(D)2 或

5.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图像画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是( )

6.(2013·抚州模拟)函数 y=f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,且函数 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线为 l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像如图所示,且 a<x0<b,那么( (A)F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极大值点 (B)F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极小值点 (C)F′(x0)≠0,x=x0 不是 F(x)的极值点 (D)F′(x0)≠0,x=x0 是 F(x)的极值点 二、填空题 7.函数 f(x)= 的递增区间是 . . )

8.若函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为

9.对于函数 f(x)=-2cosx(x∈[0,π ])与函数 g(x)= x2+lnx 有下列命题: ①函数 f(x)的图像关于 x= 对称; ②函数 g(x)有且只有一个零点; ③函数 f(x)和函数 g(x)图像上存在平行的切线; ④若函数 f(x)在点 P 处的切线平行于函数 g(x)在点 Q 处的切线,则直线 PQ 的斜
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率为

. .(将所有正确命题的序号都填上)

其中正确的命题是 三、解答题

10.(2013·合肥模拟)已知函数 f(x)= x3-

x2+x+b,其中 a,b∈R.

(1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=5x-4,求函数 f(x)的解析 式. (2)当 a>0 时,讨论函数 f(x)的单调性. 11.(2013·南昌模拟)已知函数 f(x)=ax2-3x+lnx(a>0). (1)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)在区间[ ,2] 上的最值. (2)若函数 f(x)在定义域内是单调函数,求 a 的取值范围. 12.(能力挑战题)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的极值点. (2)若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,求直线 l 的方程. (3)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在[1,e]上的最小值(其中 e 为自然对数的底数).

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答案解析
1.【解析】选 A.由 y′=(ex+ax)′=ex+a=0,得 ex=-a, 即 x=ln(-a)>0? -a>1? a<-1. 2.【解析】选 D.y′=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0? x2+2x-3<0? -3<x<1,?函 数 y=(3-x2)ex 的递增区间是(-3,1). 3.【解析】选 A.f′(x)=3x2+2ax+7a,令 f′(x)=0,当Δ=4a2-84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成立,函数不存在极值点. 4.【解析】选 A.由①②得 由③知[ =ax,又[ ]′= + , = ,得 a+ = ,解得 a=

]′<0,故 y=ax 是减函数,因此 0<a<1.由

或 a=2(舍). 5.【解析】选 D.对于 A 来说,抛物线为函数 f(x),直线为 f′(x);对于 B 来说, 从左到右上升的曲线为函数 f(x),从左到右下降的曲线为 f′(x);对于 C 来说, 下面的曲线为函数 f(x),上面的曲线为 f′(x).只有 D 不符合题设条件. 【方法技巧】函数的导数与增减速度及图像的关系 (1)导数与增长速度 ①一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即 平均变化率大,导数也就大 ;②一个函数减小的速度快 ,那么在自变量的变化相 同时,函数值的减小大,即平均变化率大,导数的绝对值也就大. (2)导数与图像 一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 ,说明函数在这个范围 内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像 就较“平缓”.
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6.【思路点拨】y=g(x)是函数 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线,故 g′(x)= f′(x0),据此判断 F′(x0)是否为 0,再进一步判断在 x=x0 两侧 F′(x)的符号. 【解析】选 B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0), ?F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又当 x<x0 时,从图像上看,f′(x)<f′(x0),即 F′(x)<0,此时函数 F(x)=f(x)-g(x)是减少的,同理,当 x>x0 时,函数 F(x)是增加 的. 7.【解析】f′(x)= = >0,即 cosx>- ,结合三角函数

图像知 ,2k π - <x<2k π + (k ∈ Z), 即函数 f(x) 的递增区间是 (2k π - ,2k π + )(k∈Z). 答案:(2kπ- ,2kπ+ )(k∈Z) 8.【解析】≧x=2 是 f(x)的极大值点, f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x, ?f′(x)=3x2-4cx+c2, ?f′(2)=3×4-8c+c2=0, 解得 c=2 或 c=6,当 c=2 时,在 x=2 处不能取极大值,?c=6. 答案:6 【误区警示】本题易出现由 f′(2)=0 求出 c 后,不验证是否能够取到极大值这 一条件,导致产生增根. 9. 【解析】 画出函数 f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的图像可知①错;函数 g(x)= x2+lnx 的导函数 g′(x)=x+ ≥2,所以函数 g(x)在定义域内为增函数,画图知②正确;因 为 f′(x)=2sinx≤2,又因为 g′(x)=x+ ≥2,所以函数 f(x)和函数 g(x)图像上 存在平行的切线,③正确;同时要使函数 f(x)在点 P 处的切线平行于函数 g(x)在
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点 Q 处的切线只有 f′(x)=g′(x)=2,这时 P( ,0),Q(1, ),所以 kPQ= 确. 答案:②③④ 10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1. 由导数的几何意义得 f′(2)=5,于是 a=3. 由切点 P(2,f(2))在直线 y=5x-4 上可知 2+b=6,解得 b=4. 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x3-2x2+x+4. (2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x- )(x-1).

,④也正

当 0<a<1 时, >1,函数 f(x)在区间(-≦,1)及( ,+≦)上是增加的,在区间(1, )上 是减少的; 当 a=1 时, =1,函数 f(x)在区间(-≦,+≦)上是增加的; 当 a>1 时, <1,函数 f(x)在区间(-≦, )及(1,+≦)上是增加的,在区间( ,1)上是 减少的. 11.【解析】(1)≧f(x)=ax2-3x+lnx, ?f′(x)=2ax-3+ , 又 f′(1)=0,?2a-2=0,?a=1, ?f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+ . 令 f′(x)=0,即 2x-3+ =0, 解得 x= 或 x=1. 列表如下: x f′(x) ( ,1) -6-

1 0

(1,2) +

2

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f(x) ?当 x=1 时,f(x)min=-2;

- -ln2



-2



-2+ln2

≧f(2)-f( )=-2+ln2+ +ln2=ln4- >1- >0, ?当 x=2 时,f(x)max=-2+ln2. (2)f(x)的定义域为(0,+≦), f′(x)=2ax-3+ = ,令Δ=9-8a.

当 a≥ 时,Δ≤0,f′(x)≥0, 函数 f(x)在(0,+≦)上是增加的, 当 0<a< 时,Δ>0,方程 2ax2-3x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2,不妨设 x1<x2,则 当 x∈(0,x1)∪(x2,+≦)时,f′(x)>0,当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,这时,函数 f(x) 在定义域内不是单调函数. 综上,a 的取值范围是[ ,+≦). 12.【思路点拨】(1)先判断 f(x)的增减性,再求极值点. (2)设出切点,表示出切线方程,利用直线过点(0,-1),求出切点即可得出切线方 程.(3)先求出极值点,再根据该点是否在[1,e]上分类讨论. 【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而 f′(x)>0,即 lnx+1>0,得 x> .f′(x)<0,即 lnx+1<0,得 0<x< , 所以 f(x)在(0, )上是减少的,在( ,+≦)上是增加的. 所以 x= 是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在. (2)设切点坐标为(x0,y0),则 y0=x0lnx0,切线的斜率为 lnx0+1, 所以切线 l 的方程为 y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0). 又切线 l 过点(0,-1),
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所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0). 解得 x0=1,y0=0. 所以直线 l 的方程为 y=x-1. (3)g(x)=xlnx-a(x-1),则 g′(x)=lnx+1-a. g′(x)<0,即 lnx+1-a<0,得 0<x<ea-1,g′(x)>0,得 x>ea-1,所以 g(x)在(0,ea-1)上是 减少的,在(ea-1,+≦)上是增加的. ①当 ea-1≤1 即 a≤1 时,g(x)在[1,e]上是增加的, 所以 g(x)在[1,e]上的最小值为 g(1)=0. ②当 1<ea-1<e,即 1<a<2 时,g(x)在[1,ea-1)上是减少的,在(ea-1,e]上是增加的.g(x) 在[1,e]上的最小值为 g(ea-1)=a-ea-1. ③当 e≤ea-1,即 a≥2 时,g(x)在[1,e]上是减少的,所以 g(x)在[1,e]上的最小值 为 g(e)=e+a-ae. 综上,x∈[1,e]时,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0; 当 1<a<2 时,g(x)的最小值为 a-ea-1; 当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae. 【变式备选】设 f(x)=- x3+ x2+2ax. (1)若 f(x)在( ,+≦)上存在递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 【解析】(1)f(x)=- x3+ x2+2ax, ?f′(x)=-x2+x+2a,当 x∈[ ,+≦)时,f′(x)的最大值为 f′( )= +2a.函数 f(x) 在( ,+≦)上存在递增区间,即导函数在( ,+≦)上存在函数值大于零成立, ? +2a>0? a>- .
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(2)已知 0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值- ,而 f′(x)=-x2+x+2a 的图像开口 向下,且对称轴为 x= ,?f′(1)=-1+1+2a=2a>0, f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0, 则必有一点 x0∈[1,4]使得 f′(x0)=0,此时函数 f(x)在[1,x0]上是增加的 ,在 [x0,4]上是减少的, f(1)=- + +2a= +2a>0, ?f(4)=- ×64+ ×16+8a=- +8a, ?- +8a=- ,得 a=1, 此时,由 f′(x0)=- +x0+2=0 得 x0=2 或-1(舍去), 所以函数 f(x)max=f(2)= .

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