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巩固练习_数列的全章复习与巩固_基础

【巩固练习】

一、选择题

1.已知数列{an}的通项公式为 an

? cos n? 2

,则该数列的首项 a1 和第四项 a4 分别为

A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,1

2.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) 第1 1


第2 行

23

第3 行

456 7





则第 9 行中的第 4 个数是( )

A.132

B.255

C.259

D.260

3.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

4.(2016 东城区二模)成等差数列的三个正数和等于 6,并且这个三个数分别加上 3、6、13 后

成为等比数列?bn? 中的 b3、b4、b5 ,则数列?bn? 的通项公式为(



A. bn ? 2n?1

B. bn ? 3n?1

C. bn ? 2n?2

D. bn ? 3n?2

5.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( )

A.16

B.81

C.36

D.27

二、填空题

6.在数列{an}中,a1=2,且对任意自然数 n,3an+1-an=0,则 an=________. 7.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列{an+2an+2}是公差为________的等差数列. 8.在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为________. 9.在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前 15 项和 S15=________.

10.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3

,4 成等比数列,则 a1 ? a2 b2

的值为________.

三、解答题

11.在等比数列{an}中,已知 a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 .
12.求等差数列 5,8,11,……,302 与等差数列 3,7,11,…299 中所有公共项的项数. 13.对数列{n}加括如下:(1),(2,3),(4,5,6),…….判断:100 是第几个括中的第几项?
14.已知数列{an}满足 4Sn ? (an ? 1)2 ,求 an 和 Sn.

15.求数列

1,3+

1 3

,32+

1 32

,……,3n+

1 3n

的各项的和。

16.(2016 新课标Ⅱ理)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28。记 bn=[lgan],其中[x]

表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.

(Ⅰ)求 b1,b11,b101; (Ⅱ)求数列{bn}的前 1000 项和.

【答案与解析】

1.【答案】B

【解析】

an

?

f

(n)

?

cos n? 2

,?a1

?

f

(1)

? cos ? 2

? 0, a4

?

f

(4)

? cos 2?

? 1,

2.【答案】C 【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.前 8 行数的个数 共有 1 ? 28 =255(个),故第 9 行中的第 4 个数是 259. 1? 2
3.【答案】 C 【解析】 ∵S 偶-S 奇=5d, ∴5d=15,∴d=3.

4.【答案】A.
【解析】设成等差数列的三个正数为 a ? d, a, a ? d ,

即有 3a ? 6 ,解得 a ? 2,

由题意可得 2 ? d ? 3, 2 ? 6, 2 ? d ?13 成等比数列,

即为 5 ? d,8,15 ? d 成等比数列,

即有 ?5 ? d ?(15 ? d) ? 64, 解得 d ?1 (-11 舍去),

即有 4,8,16 成等比数列,可得公比为 2,

? ? 则数列 bn 的通项公式为 bn ? b3 ? 2n?3 ? 4 ? 2n?3 ? 2n?1

故选:A 5.【答案】 D

【解析】

?a1q ? 1? a1 ??a1q3 ? 9 ? a1q2



? ? ?

a1

?

1 4

??q ? 3



a4

?

a5

?

1 4

? 33

?

1 4

? 34

?

27 .

6.【答案】

2

?

? ??

1 3

?n?1 ??

【解析】



3an+1-an=0



an?1 an

?

1 3

,∴

an

?

2

?

? ??

1 3

n?1
? ??

7.【答案】 3d 【解析】 (an+1+2an+3)-(an+2an+2)=(an+1-an)+2(an+3-an+2)=d+2d=3d.

8.【答案】 9 【解析】 S4=1,S8-S4=3, 而 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16 成等差数列. 即 1,3,5,7,9 成等差数列. ∴a17+a18+a19+a20 =S20-S16=9.

9.【答案】 11

【解析】 设数列{an}的公比为 q,则由已知,得 q3=-2.



a1

?

a2

?

a3

?

a1 1? q

(1 ?

q3 )

? 1,

∴ a1 ? 1 , 1?q 3



S15

?

a1 1? q

(1 ?

q15 )

?

a1 1? q

[1 ?

(q3)5 ]

?

1 3

? [1 ?

(?2)5 ]

? 11.故填

11.

10.【答案】 2.5

【解析】 ∵a1+a2=1+4=5, b22=1×4=4,且 b2 与 1,4 同,

∴b2=2,∴

a1 ? a2 b2

?

5 2

?

2.5 .

11.【答案】 a3 ? ?4

【解析】

方法一:由已知得:

?????aa11qq34

? ?

a1 ? 15 a1q ? 6

?

???a1 (q 2 ??a1q(q

? 1)(q 2 2 ?1) ?

? 6

1)

?

15

当 q2 ? 1 ? q ? ?1 时, q2 ? 1 ? 15 ? 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ? q ? 1 或 q=2,

q6

2

?q

?

1 2

?

a1

?

?16

?

a3

?

?4



q ? 2 ? a1 ? 1 ? a3 ? 4 .

当 q=±1 时不合题意,舍去。

方法二:由 a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6

?

???a3q2

?

a3 q2

? 15

? ???a3q ?

a3 q

?

6

?

? ?a3 ? ? ???a3

? ? ?
? ? ?

q2

?

1 q2

? ? ?

q

?

1 q

? ? ?

?

? 6

15

?

a3

?

?4

12.【解析】 {an}中,a1=5,d=3,an=5+(n-1)×3=3n+2,a100=302, 数列{bn}中,b1=3,d=4,bm=3+(m-1)×4=4m-1,b75=299.
∴ 3n ? 2 ? 4m ?1 ? n ? 4m ?1 ,则 m 为 3 的整倍数, 3
且所有公共项构成一个新的等差数列{cn},其中 c1 =11,公差为 12,
∴ cn ? 11 ? 12(n ? 1) ? cn ? 12n ? 1,299 为最后一项,
则有:299=12n-1,∴共有 n=25 项.

13.【解析】
1? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 100 ? n(n ?1) ? 100 ? n2 ? n ? 200 ? 0 , 2
?14 ? n ? 15, 又 n=14, 14(14 ? 1) ? 105 ? 100 ,n=13 共 91 项. 2
所以 100 是第 14 个括中的第 9 项.
类似问题:1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ……的第 100 项是多少? 223334444

14.【解析】
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 4a1 ? (a1 ? 1)2 ? (a1 ? 1)2 ? 0 ? a1 ? 1 ,

当 n ? 2 时, 4Sn ? (an ? 1)2, 4Sn?1 ? (an?1 ? 1)2 ? 4an ? (an ? an?1 ? 2)(an ? an?1),

?

(an2

?

a2 n?1

)

?

2(an

? an?1)

? 4an

?

0

?

(an2

?

a2 n ?1

)

?

2(an

?

an?1)

?

0

? (an ? an?1)(an ? an?1 ? 2) ? 0 ? an ? ?an?1或an ? an?1 ? 2 ,

?an

?

?an?1

?

??an ? ?Sn ?

? ?

(?1)n?1 ?0, n偶 ??1, n奇



an

?

an?1

?

2

?

?an ? ?Sn

? ?

2n n2

?1

.

15.【解析】

其和为(1+3+……+3n)+( 1 ? 3

1 32

+……+

1 3n

3n?1 ? 1 1 ? 3?n

)=

?

2

2

1
=
2

(3n+1-3-n)

16.【解析】

(1)设{an}的公差为 d,据已知有 7+21d=28,解得 d=1。

所以{an}的通项公式为 an=n。

b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[log101]=2。

?0,

(2)因为 bn

?

??1, ??2,

?? 3,

0 ? n ? 10 10 ? n ? 100 100 ? n ? 1000 n ? 1000

所以数列{bn}的前 1000 项和为 1×90+2×900+3×1=1893。