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高中数学三角恒等变换两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式习题新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 要点 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (S2α ) (C2α ) sin2α =2sinα cosα . cos2α =cos2α - sin2α =2cos2α -1 =1-2sin2α . 2tanα tan2α = . 2 1-tan α (T2α ) 要点 2 公式的逆向变换及有关变形 1±sin2α = sin2α +cos2α ±2sinα cosα =(sinα ±cosα )2; 1+cosα =2cos ; 2 α 1-cosα =2sin2 ; 2 1 cos α =2(1+cos2α ); 2 2α 1 sin α = (1-cos2α ). 2 2 要点 3 2tanα 1-tan2α 万能公式: sin2α = ,cos2α = . 1+tan2α 1+tan2α 1.对于“二倍角”应该有广义上的理解.如:8α 是 4α 的二 3 α α 倍角; 6α 是 3α 的二倍角; 3α 是2α 的二倍角; 又 2 是4 的二倍角等. α α α α α 如:α=2? ; =2? ;?; n=2? n+1. 2 2 4 2 2 π π 2.一般情况下, sin2 α ≠2sinα ,例如: sin ≠2sin ,只 3 6 有当 α=nπ 时,n∈Z,sin2α =2sinα 才成立.同样 cos2α=2cos α ,tan2α =2tanα 在一般情况下也不成立. 课 时 学 案 题型一 二倍角公式的正用 4 例 1 已知 112.5°<α <135°且 sinα = ,求 sin4 α 和 cos4 5 α . 【解析】 4 ∵112.5°<α<135°,sinα= 5, 3 ∴cosα=- . 5 24 ∴sin2α=2sinαcosα=-25, 7 cos2α=cos α- sin α=- , 25 2 2 336 sin4α=2sin2αcos2α=625, 527 cos4α=cos 2α- sin 2α=- 625. 2 2 探究 1 (1)在选用平方公式时,一定要注意角的范围及符号 的选取. (2)倍角是相对的,4α应是 2α 的倍角,而 2α 是 α 的倍角, 因此,在求 sin4α、cos4α时应先求 sin2α和 cos2α. ? 思考题 1 tan2α =( 3 A.- 4 4 C.-3 ) sinα +cosα 1 (1)( 高考真题 · 江西卷 ) 若 = ,则 2 sinα -cosα 3 B. 4 4 D.3 【解析】 sinα+cosα 1 ∵ =2 ,∴2sinα+2cosα= sinα- sinα-cosα sinα cosα,整理得 sinα=-3cosα,即 =-3=tan α,∴tan2 cosα 2tanα 3 α= =4.故选 B. 2 1-tan α 【答案】 B 5π (2)已知 f(cosx)=cos2x,则 f(sin )=________. 12 【答案】 3 2 1+sinα -cosα 1+cosα + sinα 例 2 化简 + . 1+sinα +cosα 1-cosα + sinα 【解析】 2α 1+sinα-cosα 方法一 ∵ = 1+sinα+cosα α α 2sin 2 +2sin 2 cos 2 α α 2α 2cos 2 +2sin 2 cos 2 α =tan , 2 α 1 2 ∴原式=tan + = . 2 α sinα tan 2 1+sinα- cosα 方法二 1+sinα+ cosα α α 2 2α 2α (sin 2 +cos 2 ) -(cos 2 -sin 2 ) = α α 2 2α 2α (sin 2 +cos 2 ) +(cos 2 -sin 2 ) α 2sin 2 α = =tan2 . α 2cos 2 以下同方法一. 探究 2 切化弦、1=sin2α+cos2α(1 的变形)是三角变形中 常用技巧.通分、配方、因式分解则是三角变形中常用的代数变 形技巧.常见的问题是有的同学只注意用什么三角公式而忽略了 一些必要的代数变形.本题中, 1-cosα=2sin , 1 + cosα= 2 2cos 2 也是二倍角公式的变形运用. 2α 2α ?思考题 2 化简下列各式. (1) 1+sinθ - 1-sinθ ,θ ∈(0,π ); sin2α cosα sinα (2) ? ? . 1+cos2α 1+cosα 1-cosα 【解析】 2θ 2θ (1) 原 式 = θ θ sin 2 +cos 2 +2sin 2 cos 2 - 2θ 2θ θ θ sin 2 +cos 2 -2sin 2 cos 2 = θ θ 2 (sin 2 +cos 2 ) - θ θ 2 (sin 2 -cos 2 ) θ θ θ θ =|sin +cos |-|sin -cos |. 2 2 2 2 θ π ∵0<θ <π ,∴0< < . 2 2 θ ? θ θ θ θ θ π? ? ①当 ∈?0, ? 时, cos ≥ sin , 此时原式= sin + cos - cos 2 ? 2 2 2 2 2 4? ? θ θ +sin2 =2sin2; θ ? θ θ θ θ θ π? ?π ②当2∈? , ? 时, cos <sin ,此时原式= sin + cos - sin 2 2 2 2 2 2? ?4 ? θ θ +cos2=2cos2 . 2sinα cosα sinα cosα (2)原式= ? ? 2 2cos α 1+cosα 1-cosα sinα sinα cosα = ? ? cosα 1+cosα 1-cosα sinα sinα sin2α = ? = =1. 2 1+cosα 1-cosα 1-cos α

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