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安阳一中高一上期第二次阶段考试理科数学


安阳一中 2013—2014 学年第一学期第二次阶段考试

高一数学试题卷

一、选择题(每题有且只有一个正确答案,共 12 题,每题 5 分)
1、 设全集 U ? ?0,1,2,3,4?, 集合 A ? ?0,1,2,3? ,B ? ?2,3,4?,则集合 (痧A) ? ( U B) ? ( U A. ?0? B. ?0,1? C. ?0,1,4? ) B.空间两条直线 D.两条平行直线 ) D. ?0,1,2,3,4? )

2、下列四个条件中,能确定一个平面的是( A. 一条直线和一个点 C. 空间任意三点

3、已知直线 l ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系必定是( A. l 与 a 无公共点 C. l 与 a 相交, B. l 与 a 异面 D. l ∥ a

4、斜二测画法的直观图(如图)所表示的水平放置的平面图形中最长的边是( A.AB C.AC B.BC
B y'

)

D.不能确定 ) B. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b
O' A C x'

5、如果 log a 3 ? log b 3 ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1 C. 0 ? b ? a ? 1

6、对于不重合的两个平面 ? , ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ;②存在平面 ? ,使得 ? , ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ④存在异面直线 l , m ,使得 l ∥ ? , l ∥ ? , m ∥ ? , m ∥ ? 其中,可以确定平面 ? , ? 平行的条件有 A.1 个
x

( C.3 个 )
第1页

) D. 4 个

B.2 个

7、函数 f ( x) ? 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是(
一年级数学试题 共8页

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

8、一个盛满水的三棱锥 P ? ABC 容器中,不久发现三侧棱上各有一个洞 D, E , F ,且

PD : DA ? PE : EB ? CF : FP ? 2 :1,若仍用此容器盛水,最多可保住存水的( ) 23 19 23 31 A. B. C. D. 29 27 27 35
9、一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘 米,则此球的半径为( )厘米 A. 9 B. 10 C. 11 D.12

10、已知函数 y ? f ( x), x ? R 是偶函数.当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数.对于 x1 ? 0, x2 ? 0 , 有 x1 ? x 2 ,则 A. f (? x1 ) ? f (? x2 ) C. f (? x1 ) ? f (? x2 ) ( ) B. f (? x1 ) ? f (? x2 ) D.无法比较

11、空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AD ? BC , AB ? AD , M , N 分别为对角线

AC , BD 的中点,则 MN 与(
A. AC , BD 都垂直 C. AC , BD 都不垂直

) B. AC , BD 之一垂直 D. AC , BD 是否垂直,无法确定 )

12、下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(

一年级数学试题

共8页

第2页

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
13、函数 y ? ( )

1 2

x 2 ?4 x

的单调减区间是 ___________

14、已知三条直线 a, b, c 及平面 ? , ? ,则下列命题中,正确的命题序号是_____________. ①.若 b ? ? , a ∥ b ,则 a ∥ ? ③.若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b 15、若函数 y ? ②.若 a ∥ ? , ? ? ? ? b ,则 a ∥ b ④.若 a ? ? , b ? ? , l ? a , l ? b ,则 l ? ?

2x ? 3 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是 __________ ax 2 ? 4ax ? 5

16、若某几何体的三视图(单位:cm)如上图所示,则此几何体的体积是________ cm3 .

三、解答题(共六题,共 70 分,写出解题过程)
17、证明:二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在区间 ? ? ?,?
2

? ?

b ? 上是增函数。 2a ? ?

18、已知集合 A ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 , B ? x | x ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

C ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1?,且 C ? ?
(1)若 A ? C ? ? ,试求实数 m 的取值范围; (2)若 B ? A ,试求实数 a 的取值范围。 19、如图,已知四边形 ABCD 是空间四边形, E 是 AB 的中点, F , G 分别是 BC , CD 上

一年级数学试题

共8页

第3页

CF CG 1 ? ? .设平面 EFG ? AD ? H , CB CD 3 (1)若 AD ? ? AH . 求 ? 的值; (2)试判断四边形 EFGH 的形状;并给出证明
的点,且 E

A H D G

B

F

C

20、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , DB 平分 ?ADC ,

E 是 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2
(I) 求证: PA ∥平面 BDE ; (II)求证: AC ? 平面 PBD ; (Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正弦值.

21、已知函数 f ( x) ?

a x ?1 , (a ? 0且a ? 1) ax ?1

(1)求函数 f (x) 的定义域和值域。 (2)判断 f (x) 与 f (? x) 的关系。 (3)讨论函数 f (x) 的单调性。 22、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形.已知

AB ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积

一年级数学试题

共8页

第4页

安阳一中 2013—2014 学年第一学期第二次阶段考试

高二理科数学试题参考答案
一.选择题
1-5CDBAB 6-10DACDC 11-12BD
7 7

二.填空题
13.8
? a? 14. ? 0, ? ? 4?

15.

16. 4

三.解答题
17. 解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? ?x | x ? 10, 或x ? ?2 ?

q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ? x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 ?a ? 0 ?
2 1 ? 6 3

而 ?p ? q,? A

18. 解: (1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法,在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ?

(2)设合格饮料为 1,2,3,4,不合格饮料为 5,6 则 6 听中选 2 听共有(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 15 种 , 有 1 听不合格的有(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6)共 8 种,有 2 听不合格的有(5,6) , 所以所求概率为

8 ?1 3 ? 15 5

19. (1)证明:在△ABC 中,由正弦定理可求得

sin ?ACB ?

∴ AB ? AC .

1 ? ? ?ACB ? 2 6

以 A 为原点, 分别以 AB、 AC、 1 为 x、 z 轴, AA y、 建立空间直角坐标系, A( 0 , 0 , 0 ) 则

A1 ( 0 , 0 , 2 3 )

B( 2 , 0 , 0 )

C( 0 , 2 3 , 0 )

一年级数学试题

共8页

第5页

AB ? ( 2 , 0 , 0 ) , A1C ? ( 0 , 2 3 , ? 2 3 ) , AB ? A1C ? 0 ? AB ? A1C
即 AB ? A1C (2)解:由(1)知 A1 B ? ( 2 , 0 , ? 2 3 ) , A1C ? ( 0 , 2 3 , ? 2 3 )
2 x ?2 3 z ? 0 ? ? 设面 A1 BC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 2 3 y ?2 3 z ? ,不妨设 z ? 1 ,所以 n ? ( 3,1,1) 0

?

?? 显然面 AA1C 的法向量 m ? (2,0,0) ,设二面角 A ? A1C ? B 的平面角为 ? ,

? ? 2 3 15 ? ? n?m ? cos? ? cos ? n, m ?? ? ? ? 5 | n || m | 2? 5
∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

10 5

20. 解: (1)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立 空间直角坐标系 A ? xyz .
z P F D x

??? ? 1 1 1 1 则 A(0, 0, 0) , F (0, , ) ,则 AF ? (0, , ) 2 2 2 2 ? E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) ,
?? 设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z )
[来源:Z,xx,k.Com]

y C

?? ??? ? ?? ?m?EC ? 0 ? x ? y ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,令 x ? 1 得 m ? (1, ?1,1) ?? ? ?m?EP ? 0 ?? x ? z ? 0 ? ??? ?? ? ??? ?? ? 1 1 由 AF ? ? (0, , )? ?1,1) ? 0 ,得 AF ? m m (1, 2 2
又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC

A

E

B

(2)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) , 设 E ? (t , 0, 0) ,设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z )

??? ?

??

?? ??? ? ?? ?m?EC ? 0 ?(2 ? t ) x ? y ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,令 x ? 1 得 m ? (1, t ? 2, t ) ?? ? ?m?EP ? 0 ??tx ? z ? 0 ?
一年级数学试题 共8页 第6页

??? ? ? AP ?n 5 ? ? |? t ? , 由 cos 45 ?| ??? 4 | AP | ? | n |
o

故,要使要使二面角

的大小为

,只需

?3 x 2 ? y 2 ? 1 2 2 21. 解: (1)由方程组 ? ,可得 (3 ? a) x ? 2ax ? 2 ? 0 ,………2 分 ? y ? ax ? 1
由题意方程有两实数根, 则?

?3 ? a 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? (?2a ) ? 4(3 ? a ) ? ( ?2) ? 0 ?

解得 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 ,

故所求 a 的取值范围是 (? 6, ? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 6) .…………………5 分 (2)设交点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

2a ?2 , , x1 x2 ? 2 3? a 3 ? a2 由题意可得, OA ? OB ( O 是坐标原点) ,
由(1)知, x1 ? x2 ? 则有 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

………………………6 分

……………………………………………7 分 ………………………8 分

而 y1 y2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ∴ (a 2 ? 1) x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 于是可得 (a 2 ? 1)

解得 a ? ?1 ,且满足(1)的条件, ………………………………………10 分 所以存在直线 l 使以 AB 为直径的圆恰过原点,直线 l 的方程为 y=x+1 或 y= - x+1. ……………………………12 分 22. (1)由已知可得 b ? 2, a ?
2

?2 2a ? a? ?1 ? 0 2 3? a 3 ? a2

? 2b?

2

x2 y 2 ? 1 .4 分 ? 8 ,所求椭圆方程为 ? 8 4

(2)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 .设 A( x1 , y1 ) ,

B( x 2 , y 2 ) , 由

? x2 y2 ? ? ? 1, ?8 4 ? y ? k x ? m, ?



?1 ? 2k ? x
2

2

? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 则

一年级数学试题

共8页

第7页

4km 2m 2 ? 8 .………6 分 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 已 知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ?8 x1 x2







kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 ? ?8 x1 x2





2k ? ? m ? 2 ?
为 y ? kx ?

x1 ? x2 mk 1 ? 8 .所以 k ? ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 .故直线 AB 的方程 x1 x2 m?2 2

1 1 k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 .…………10 分 2 2 1 所以直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 ,设 2

A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) ,由已知

y0 ? 2 ? y0 ? 2 1 ? ? 8 ,得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x0 x0 2

1 1 .………………11 分 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) 2 2 1 综上,直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .………………12 分 2

一年级数学试题

共8页

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