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浙江省杭州学军中学10-11学年高一下期中考试数学卷(精)


浙江省杭州学军中学 2010/2011 学年 高一下期中考试数学卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的,请将正确答案的代号填在题后的括号内。 )

1.已知 sin ? ? A.

4 3 3 2

3 ? , 且? ? ( , ? ), 则 tan ? 等于 5 2 3 4 3 B. C.— D.— 4 3 4

( )

2.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? ? cos ? , ? , 且 a ∥ b ,则锐角 ? 为 A、 30 ? B、 60 ? C、 45 ? D、 75 ?

?

?

? ?

1? 3?

?

?

( )

3.若将函数 y ? tan( ?x ? 与函数 y ? tan( ?x ? A、

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

?

? 个单位长度后, 6
( D、 )

6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为 1 4
C、

1 6

B、
0

1 3
C.4

1 2
( D.12 )

4.平面向量 a, b 的夹角为 60 , a ? (2.0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | ? A. 3 B. 2 3

5.如图,在△ABC 中,D、E、F 分别是各边的中点,AD

A ???? 交 EF 于点 G,则下列各式能表示向量 DG 的有 ( ▲ ) ? ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? F ① ( DE ? DF ) , ② (CF ? BE ) , 2 2 ? ??? ? ? ???? 1 ??? 1 ??? ③ ( BF ? CE ) , ④ ? ( AB ? AC ) B 2 4
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

G

E C

D

? ? 6.已知 ? ? ? ? ,且 sin ? ? cos? ? a, 其中 a ? ? 0,1? ,则关于 tan ? 的值, 2 2
在以下四个答案中,可能正确的是 A.-3 B.3 或 1
3


3



C. ? 1

D.-3 或 ?

1 3

7.如图为一半径是 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水 轮上的点 P 到水面的距离 y (米)与时间 x (秒)满足函数关系 P y ? A sin(?x ? ? ) ? 2 ,则有 ( ▲ )

5? , A?3 12 5? , A?5 C、 ? ? 12
A、 ? ?

B、 ? ?

2? , A?3 15 2? , A?5 D、 ? ? 15

y

O 2m

8.已知函数 f ( x) ? ?4 sin 2 x ? 4 cos x ? 1 ? a ,若关于 x 的方程在区间 [? 则 a 的取值范围是 A.[-8,0] B.[-3,5] C.[-4,5]

? 2? 上有解, , ]
4 3
( ▲ )

D. [?3, 2 2 ? 1]

9.已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 A.[0,

?

?

?

? ?

?

?

( ▲ C. [



? ] 6

B. [

?
3

,? ]

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

10.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为切点, 那么 PA ? PB 的最小值为 A. ?3 ? 2 2 B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?4 ? 2

??? ? ??? ?

( ▲ )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在答卷题中横线上。 ) 11.已知 sin(

?

? 1 ? ) ? ,则 cos ? ? 2 2 3
.

12.定义:|a×b|=|a|· |b|· sin θ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角, 若| a |=2,| b |=5,a·b=-6,则| a×b |等于

13. y ? lg(2sin x ?1) ? 1 ? 2cos x 的定义域是________________. 14.设 OA ? (t,1)(t ? Z ) ,OB ? (2,4) ,满足 OA ? 3 ,则当 ?OAB 是直角三角形时 t 的值 为 ; 15.如图(15) ,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭 曲线 C ,各段弧所在的圆经过同一点 P (点 P 不在 C 上)且半 径相等. 设第 i 段弧所对的圆心角为 ?i (i ? 1, 2,3) ,

? ____________ . 3 3 3 ? sin x,sin x ? cos x 16,对于函数 f ? x ? ? ? ,给出下列四个命题: ?cos x,sin x ? cos x
则 cos

?1
3

cos

? 2 ? ?3

? sin

?1

sin

? 2 ? ?3

①该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x ? ? ? k? (k ? Z ) 时,该函数取得最小值 ?1 ; ③该函数的图像关于 x ? ④当且仅当 2k? ? x ?

5? ? 2k? (k ? Z ) 对称; 4 ? 2k? (k ? Z ) 时, 0 ? f ? x ? ?

?
2

2 ; 2

其中正确命题的序号是

(写出所有正确命题的序号).

三、解答题(本大题共 5 小题,8+8+10+10+10 共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知向量 a ? (cos

? 3x 3x x x ? ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , x ? [ ? , ] , 2 2 2 2 3 2 ? ? 1 ? ? ? ? (1)求证: (a ? b) ⊥ (a ? b) ; (2) a ? b ? ,求 cos x 的值. 3

?

18.已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , tan

?
2

?

(1)求 sin ? 的值; (2)求 ? 的值。

1 2 , , cos(? ? ? ) ? 2 10

???? ??? ? ???? ??? ? 19. 如图,在 ?OAB 中, OC ? 1 OA, OD ? 1 OB, AD 与 BC 交于点 M , 3 2

??? ? ? ??? ? ? 设 OA ? a, OB ? b ,
(1)试用向量 a 和 b 表示 OM ; (2)在线段 AC 上取一点 E ,线段 BD 上取一点 F , 使 EF 过 M 点, OE ? ?OA, OF ? ?OB ,求证: 1 ? 2 ? 5 .

?

?

???? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

?

?

20. 如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,?ABC 的外面种草,?ABC

B C 的 的内接正方形 PQRS 为一水池, 其余的地方种花, 若 BC ? a, ?ABC ? ? , 设 ?A
面积为 S1 ,正方形的面积为 S 2 . (1)用 a,? 表示 S1 和 S 2 ; (2)当 a 固定, ? 变化时,求 A P S

S1 取最小值时的角 ? . S2

B

Q

R

C

21.向量 m=(sin ωx+cos ωx, 3cos ωx)(ω>0),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx), 3π 函数 f(x)=m· n+t,若 f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为 ,且当 x∈[0,π]时, 2 函数 f(x)的最小值为 0. (1)求函数 f(x)的表达式,并求 f(x)的增区间; (2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cos B+cos(A-C),求 sin A 的值.
2

杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试 高一年级数学答卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 24 分。 ) 11. ; 12. ;

13.



14.



15.



16.



三、解答题(本大题共 5 小题,8+8+10+10+10 共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:

18.解:

19. 解:

20. 解: P

A S

B

Q

R

C

21.解:

杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试 高一年级数学答案
一、选择题 DCDBD 二、填空题 11. 13. 15. CBCBA

?

7 9



12. 14. 16.

8

; ; ;

5? ?? ? ; ? 2k? , ? 2k? , ? ? 6 ?3 ? 1 ? ; 2

? 2 或 ?1


三、解答题 17. (1)略; (2) cos x ? (2) ? ? (2)略

4 ; 5 ???? ? 1? 2? 19.(1) OM ? a ? b ; 5 5
18.(1) sin ? ?

3? 4

1 6

1 2 20.(1) S1 ? a sin ? cos ? , 2
(2) ? ?

? co ?s ? ? sin S2 ? a ? ? n c? o? s ? 1? s i ?
2

2

?
4

21. (1) f ? x ? ? 2sin ?

?? ?? ?2 ? x ? ? ? 1 ; ?3k? ? ? ,3k? ? ? 6? 2? ?3 ?

(2) sin A ?

5 ?1 2


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