当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省德州市平原一中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

2014-2015 学年山东省德州市平原一中高三(上)第一次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={x|y=ln(1﹣x)},集合 B={y|y=x },则 A∩B=( A.[0,1] B.[0,1) C. (﹣∞,1] D. (﹣∞,1)
2 2



2.已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣3x+2>0},B={x|x﹣a≤0},若? UB? A,则实数 a 的取值 范围是( ) A. (﹣∞,1) B. (﹣∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( A. B.y=e ﹣e
x ﹣x



C.y=x ﹣x

3

D.y=xlnx

4.若实数 A.x=0 B.

则函数 f(x)=asinx+cosx 的图象的一条对称轴方程为( C. D.



5.下列命题中的假命题是(
x x


x

A.? x>0,3 >2 B.? x∈(0,+∞) ,e >1+x C.? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0 D.? x0∈R,lgx0<0 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(2,+∞)为增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数,则 下列结论不成立的是( ) A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(3) D.f(1)>f(2)

7.函数 A.0 B.1 C.2 D.3

的零点个数为(



8.直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切时,a=( A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2



9.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四 个图象中,y=f(x)的图象可能是( )

A. 10.对于函数 ( A. )

B.

C.

D. ,下列选项中正确的是

内是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称

C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置) 11.已知 , ,则 = .

12.由曲线 y=x 和直线 x=1 以及 y=0 所围成的图形的面积是

2



13.不等式

的解集为



14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x﹣1)=2f(x) ,若当﹣1≤x≤0 时,f(x)=x(1+x) ; 则当 0≤x≤1 时,f(x)= . 15. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x﹣4) =﹣f (x) , 且在区间[0, 2]上是增函数. 若 方程 f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16.是命题 p:函数 f(x)=(a﹣ ) 是 R 上的减函数,命题 q:f(x)=x ﹣3x+3 在[0, a]上的值域为[1,3],若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
x 2

17.已知函数 (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)当 ,求函数 y=f(x)的值域.

18.某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10) ,每小时可获 得的利润是 元.

(Ⅰ)要使生产该产品 1 小时获得的利润不低于 1200 元,求 x 的取值范围; (Ⅱ)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润. 19.设函数 f(x)=(1+x) ﹣21n(1+x) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)试讨论关于 x 的方程:f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上的根的个数. 20.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , ,记 F(x)=2f(x)
2 2

+g(x) (1)求函数 F(x)的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣m=0 在区间[0,1)内有解,求实数 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) . (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) , 求实数 a 的取值范围.
x 2

2014-2015 学年山东省德州市平原一中高三 (上) 第一次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={x|y=ln(1﹣x)},集合 B={y|y=x },则 A∩B=( A.[0,1] B.[0, 1) C. (﹣∞,1] D. (﹣∞,1) 考点: 交集及其运算;对数函数的定义域. 专题: 计算题.
2



分析: 由集合 A={x|y=ln(1﹣x)},表示函数 y=ln(1﹣x)的定义域,集合 B={y|y=x }, 2 表示 y=x 的值域,我们不难求出集合 A,B,再根据集合交集的定义,不难得到答案. 解答: 解:∵A={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1}, B={y|y=x }={y|y≥0}, ∴A∩B=[0,1) . 故选 B 点评: 遇到两个连续数集的运算,其步骤一般是:①求出 M 和 N;②借助数轴分析集合运 算结果,方法是:并集求覆盖的最大范围,交集求覆盖的公共范围. 2.已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣3x+2>0},B={x|x﹣a≤0},若? UB? A,则实数 a 的取值 范围是( ) A. (﹣∞,1) B. (﹣∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 考点: 一元二次不等式的解法;补集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的解法即可化简集合 A,B,再利用集合的运算即可. 解答: 解:对于集合 A: ∵x ﹣3x+2>0,∴(x﹣1) (x﹣2)>0, 解得 x>2 或 x<1, ∴A=(﹣∞,1)∪(2,+∞) . ∵B={x|x﹣a≤0}, ∴CUB=(a,+∞) . ∵? UB? A, ∴a≥2. ∴实数 a 的取值范围是[2,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质,属于基础题. 3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( A. B.y=e ﹣e
x ﹣x 2 2 2

2



C.y=x ﹣x

3

D.y=xlnx

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可. 解答: 解:A.函数 y=x+ 是奇函数,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴A 不满足条件. B.设 y=f(x)=e ﹣e ,则 f(﹣x)=e ﹣e =﹣f(x) .函数为奇函数,∵y=e 单调递增, ﹣x x ﹣x y=e ,单调递减,∴y=e ﹣e 在区间(0,+∞)上单调递增,∴B 满足条件. C.函数 y=x ﹣x 为奇函数,到 x>0 时,y'=3x ﹣1,由 y'>0,解得 x>
3 2 x ﹣x ﹣x x x

或x



∴f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,∴C 不满足条件. D.函数 y=xlnx 的定义域为(0,+∞) ,关于原点不对称,∴D 不满足条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用,要求熟练掌握常见函数的奇偶性 和单调性.

4.若实数 A.x=0 B.

则函数 f(x)=asinx+cosx 的图象的一条对称轴方程为( C. D.



考点: 定积分;两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性. 专题: 导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析: 利用微积分基本定理可得:实数 a= =sinx+cosx= 得出. 解答: 解:实数 a= ∴函数 f(x)=sinx+cosx= 令 x+ = ,解得 . . , = =lne=1. = , ,即可得到对称轴: = =1.因此函数 f(x) ,令 k=﹣1,即可

令 k=﹣1,可得 x=﹣

故可得函数 f(x)的图象的一条对称轴方程为

故选 B. 点评: 本题考查了微积分基本定理、三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式等基础 知识与基本技能方法,属于基础题. 5.下列命题中的假命题是(
x x


x

A.? x>0,3 >2 B.? x∈(0,+∞) ,e >1+x C.? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0 D.? x0∈R,lgx0<0 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型.

分析: 根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断. 解答: 解:A.根据指数函数的性质可知,当 x>0 时, ∴A 正确. B.设 f(x)=e ﹣(1+x) .则 f'(x)=e ﹣1,当 x≥0 时,f'(x)=e ﹣1≥0,即函数 f(x) x 单调递增,∴f(x)>f(0)=0,即? x∈(0,+∞) ,e >1+x,∴B 正确. C.设 f(x)=x﹣sinx,则 f'(x)=1﹣cosx,当 x≥0 时,f'(x)=1﹣cosx≥0,即函数 f (x)单调递增,∴f(x)>f(0)=0,即? x∈(0,+∞) ,x>sinx,∴C 错误. D.当 0<x<1 时,lgx<0,∴? x0∈R,lgx0<0 成立,∴D 正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的真假判断和命题的否定,比较基础. 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(2,+∞)为增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数,则 下列结论不成立的是( ) A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(3) D.f(1)>f(2) 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 数形结合. 分析: 由定义域为 R 的函数 f(x)在(2,+∞)为增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数, 我们不难判断函数 f(x)在定义域为 R 的单调性,并可以画出其草图,根据草图对四个答 案逐一分析,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)在(2,+∞)为增函数 ∴函数 y=f(x+2)在(0,+∞)为增函数 又∵函数 y=f(x+2)为偶函数, ∴函数 y=f(x+2)在(﹣∞,0)为减函数 即函数 y=f(x)在(﹣∞,2)为减函数 则函数 y=f(x)的图象如下图示: 由图可知:f(0)>f(1) , f(0)>f(2) ,f(1)>f(2)均成立 只有 f(1)与 f(3)无法判断大小 故选 C
x x x

,∴3 >2 成立,

x

x

点评: 本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性,这两个函数综合应用时,要注意: 奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反.

7.函数

的零点个数为(



A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 =0,得 ,分别作出函数

的图象,利用图象的交点确定函数零点的个数. 解答: 解:因为函数 , 分别作出函数 由图象可知两个函数的交点个数有 2 个,即函数 个. 故选 C. 的图象,如图 的零点个数是 2 ,所以由 =0,得

点评: 本题主要考查函数与方程之间的关系,利用数形结合是解决函数交点问题中最基本 的方法,要求熟练掌握. 8.直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切时,a=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程,又曲线切点处的导数值是切线 斜率得第三个方程.三个方程联立即可求出 a 的值. 解答: 解:设切点 P(x0,y0) ,则 y0=x0+1,且 y0=ln(x0+a) , 又∵切线方程 y=x+1 的斜率为 1,即 = =1,

∴x0+a=1, ∴y0=0,x0=﹣1, ∴a=2. 故选 D. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.学生在 解方程时注意利用消元的数学思想.

9.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四 个图象中,y=f(x)的图象可能是( )

A. B. C. D. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数 y=﹣xf′(x)的图象,依次判断 f(x)在区间(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) , (0,1) , (1,+∞)上的单调性即可. 解答: 解:由函数 y=﹣xf′(x)的图象可知: 当 x<﹣1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)增; 当﹣1<x<0 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 0<x<1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 x>1 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)>0,此时 f(x)增. 综上所述,y=f(x)的图象可能是 B, 故选:B. 点评: 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,同时考查了分类讨论的思想,属于基 础题.

10.对于函数 ( A. )

,下列选项中正确的是

内是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称

C.f(x)的最小正周期为 2π D.f(x)的最大值为 1 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求 法;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 函数 f(x)解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后得到一个角的正 弦函数,利用正弦函数的单调性,对称性,周期性,以及值域,即可做出判断. 解答: 解:函数 f(x)= [1+cos(2x﹣ = ( cos2x+ sin2x﹣ )+1﹣cos(2x+ )]﹣1

cos2x+ sin2x)

= sin2x,

令﹣

+2kπ≤2x≤

+2kπ,k∈Z,得到﹣ +kπ,

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,

∴f(x)的递增区间为[﹣ 当 x∈( ,

+kπ],k∈Z,

)时,2x∈(

,π) ,此时函数为减函数,选项 A 错误;

当 x=0 时,f(x)=0,且正弦函数关于原点对称,选项 B 正确; ∵ω=2,∴最小正周期 T= ∵﹣1≤sin2x≤1, ∴f(x)= sin2x 的最大值为 ,选项 D 错误, 故选:B. 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期 性及其求法,正弦函数的单调性,以及正弦函数的对称性,熟练掌握公式是解本题的关键. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置) 11.已知 , ,则 = ﹣1 . =π,选项 C 错误;

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由α的范围,根据 sinα的值,求出 cosα的值,进而确定出 tanα的值,原式利用 两角和与差的正切函数公式化简,将 tanα的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵α∈( ∴cosα=﹣ ∴tanα=﹣ , ,π) ,sinα= , =﹣ ,

则 tan(α﹣

)=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌 握公式是解本题的关键.
2

12.由曲线 y=x 和直线 x=1 以及 y=0 所围成的图形的面积是



考点: 定积分. 分析: 关键定积分的几何意义,所求图形的面积等于定积分 dx 的值.

解答: 解:由题意, 的图形的面积是 ; 故答案为: .

=

= ,所以由曲线 y=x 和直线 x=1 以及 y=0 所围成

2

点评: 本题考查利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积;明确意义后确定积分的上限和 下限是关键.

13.不等式

的解集为 (



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 由两数相除商为负数,得到两数异号,将原不等式转化为两个不等式组,求出不等 式组的解集,即可确定出原不等式的解集. 解答: 解: ≤0,

可化为





解得:﹣ <x≤1, 则原不等式的解集为(﹣ ,1]. 故答案为: (﹣ ,1] 点评: 此题考查了其他不等式的解法,利用了转化的思想,其转化的依据为两数相除的取 符合法则. 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x﹣1)=2f(x) ,若当﹣1≤x≤0 时,f(x)=x(1+x) ; 则当 0≤x≤1 时,f(x)= .

考点: 抽象函数及其应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 0≤x≤1,则﹣1≤x﹣1≤0,根据当﹣1≤x≤0 时,f(x)=x(1+x) ,可得 f(x ﹣1)的表达式,再利用 f(x﹣1)=2f(x) ,即可得到 f(x)的表达式. 解答: 解:设 0≤x≤1,则﹣1≤x﹣1≤0, ∵当﹣1≤x≤0 时,f(x)=x(1+x) , ∴f(x﹣1)=(x﹣1)x, ∵f(x﹣1)=2f(x) , ∴2f(x)=(x﹣1)x,

∴f(x)= 故答案为:

(﹣1≤x≤0) . .

点评: 本题考查了抽象函数及其应用,涉及了求函数解析式,对于求函数解析式的方法, 一般有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等.解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化. 15. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x﹣4) =﹣f (x) , 且在区间[0, 2]上是增函数. 若 方程 f(x)=m(m>0)在区间[﹣8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= ﹣8 . 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的周期性. 专题: 数形结合. 分析: 由条件“f(x﹣4)=﹣f(x) ”得 f(x+8)=f(x) ,说明此函数是周期函数,又是 奇函数,且在[0,2]上为增函数, 由这些画出示意图,由图可解决问题. 解答: 解:此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数, 综合条件得函数的示意图,由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为 2×(﹣6) , 另两个交点的横坐标之和为 2×2,所以 x1+x2+x3+x4=﹣8. 故答案为﹣8.

点评: 数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握 数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 16.是命题 p:函数 f(x)=(a﹣ ) 是 R 上的减函数,命题 q:f(x)=x ﹣3x+3 在[0, a]上的值域为[1,3],若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑.
菁优网版权所有

x

2

分析: 根据指数函数的单调性, 二次函数的值域求出命题 p,q 下的 a 的取值范围, 因为“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,所以 p,q 中一真一假,求 p 真 q 假,p 假 q 真时的 a 的取值范围,再求并集即可. 解答: 解:命题 p:函数 f(x)=(a﹣ ) 是 R 上的减函数; ∴0<
2 x

,∴



命题 q:令 x ﹣3x+3=1 得,x=1,或 2; 2 令 x ﹣3x+3=3 得,x=0,或 3; ∴a=1; 若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,则 p,q 一真一假; 若 p 真 q 假, ,解得 a ;

若 p 假 q 真,

,解得 a=1;

∴实数 a 的取值范围为{a|

,或 a=1}.

点评: 考查指数函数的单调性,二次函数的值域,p 或 q,p 且 q 的真假和 p,q 真假的关 系.

17.已知函数 (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)当 ,求函数 y=f(x)的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数 的形式,利用正弦函数的单调增区间,求 f(x)的单调递增区间; (2)通过 域. 解答: 解:函数 = = = ,求出相位的范围,利用正弦函数的值域即可求函数 y=f(x)的值

由 可得 ∴函数的单调增区间: (2)∵ ∴ ∴ ∴函数的值域是: , , , .

,k∈Z ,k∈Z. k∈Z.

点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用,三角函数的单调区间以及 函数的值域的求法,考查计算能力. 18.某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10) ,每小时可获 得的利润是 元.

(Ⅰ)要使生产该产品 1 小时获得的利润不低于 1200 元,求 x 的取值范围; (Ⅱ)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)求出生产该产品 1 小时获得的利润,建立不等式,然后解一元二次不等式即 可求 x 的取值范围; (Ⅱ)确定生产 120 千克该产品获得的利润函数,利用配方法,从而可求出最大利润. 解答: 解: (Ⅰ)生产该产品 1 小时获得的利润为 100(4x+1﹣ )×1=100(4x+1﹣ ) , 根据题意,100(4x+1﹣ )≥1200,即 4x ﹣11x﹣3≥0 ∴x≥3 或 x≤﹣1, ∵1≤x≤10,∴3≤x≤10, 即 x 的取值范围是 3≤x≤10; (Ⅱ) 设生产 120 千克该产品获得的利润为 y 元, 则生产 900 千克该产品获得的利润为 y=100 (4x+1﹣ )× =12000[﹣3( ﹣ ) +
2 2

],

∵1≤x≤10, ∴x=6 时,取得最大利润为 49000 元, 故该厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 49000 元.

点评: 本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函数的模型是关 键.属于中档题. 19.设函数 f(x)=(1+x) ﹣21n(1+x) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)试讨论关于 x 的方程:f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上的根的个数. 考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,即可求 f(x)的单调区间; (2) 利用参数分离法, 转化为 a=1+x﹣21n (1+x) , 然后利用导数求出 g (x) =1+x﹣21n (1+x) 在区间[0, 2]上的极值和最值即可得到结论. 解答: 解: (1)函数的定义域为(﹣1,+∞) , 则函数的导数 f′(x)=2(x+1)﹣ = ,
2 2

若 f′(x)>0,则 x>0,此时函数单调递增, 若 f′(x)<0,则﹣1<x<0,此时函数单调递减, 即 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ; f(x)的单调减区间为(﹣1,0) ; (2)由 f(x)=x +x+a, 2 2 得(1+x) ﹣21n(1+x)=x +x+a, 则 a=1+x﹣21n(1+x) , 设 g(x)=1+x﹣21n(1+x) , 则 g′(x)=1﹣ = ,
2

当 1<x<2 时,g′(x)>0,此时函数 g(x)单调递增, 当 0<x<1 时,g′(x)<0,此时函数 g(x)单调递减, 即当 x=1 时,函数 g(x)取得极小值,同时也是最小值 g(1)=2﹣2ln2, ∵g(0)=1,g(2)=3﹣2ln3<1, ∴若 a<2﹣2ln2,则方程 a=1+x﹣21n(1+x)在区间[0,2]无解, 若 a=2﹣2ln2,则方程 a=1+x﹣21n(1+x)在区间[0,2]有 1 解, 若 2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3,则方程 a=1+x﹣21n(1+x)在区间[0,2]有 2 解, 若 3﹣2ln3<a≤1,则方程 a=1+x﹣21n(1+x)在区间[0,2]有 1 解, 若 a>1 则方程 a=1+x﹣21n(1+x)在区间[0,2]无解.

点评: 本题主要考查函数的单调性和导数的关系,以及方程根的个数的判断,考查学生的 推理能力. 20.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , ,记 F(x)=2f(x)

+g(x) (1)求函数 F(x)的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣m=0 在区间[0,1)内有解,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数的零点与方程根的关系;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)可得 F(x)的解析式,由 的性质可解得 x 的值,注意验证即可; (2)方程可化为 性和最值,进而可得吗的范围. 解答: 解: (1)F(x)=2f(x)+g(x)= (a>0 且 a≠1) ,设 1﹣x=t∈(0,1],构造函数 ,可得单调 可得定义域,令 F(x)=0,由对数函数



,可解得﹣1<x<1,

所以函数 F(x)的定义域为(﹣1,1) 令 F(x)=0,则 方程变为 …(*) ,即(x+1) =1﹣x,即 x +3x=0
2 2

解得 x1=0,x2=﹣3,经检验 x=﹣3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x=0 即函数 F(x)的零点为 0. (2)方程可化为

=



故 函数

,设 1﹣x=t∈(0,1] 在区间(0,1]上是减函数
m

当 t=1 时,此时 x=0,ymin=5,所以 a ≥1 m ①若 a>1,由 a ≥1 可解得 m≥0, m ②若 0<a<1,由 a ≥1 可解得 m≤0, 故当 a>1 时,实数 m 的取值范围为:m≥0, 当 0<a<1 时,实数 m 的取值范围为:m≤0

点评: 本题考查函数的零点与方程的跟的关系,属中档题. 21.已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) . (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) , 求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的导函数 f′(x) ,再求所求切线的斜率即 f′(0) ,由于切点为(0, 0) ,故由点斜式即可得所求切线的方程; (2)先求原函数的导数得:f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna,再对 a 进行讨论, 得到 f'(x)>0,从而函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)f(x)的最大值减去 f(x)的最小值大于或等于 e﹣1,由单调性知,f(x)的最大值 是 f(1)或 f(﹣1) ,最小值 f(0)=1,由 f(1)﹣f(﹣1)的单调性,判断 f(1)与 f (﹣1)的大小关系,再由 f(x)的最大值减去最小值 f(0)大于或等于 e﹣1 求出 a 的取 值范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=a +x ﹣xlna, x ∴f′(x)=a lna+2x﹣lna, ∴f′(0)=0,f(0)=1 即函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为 0, ∴图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=1; (3 分) (2)由于 f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna>0 x x ①当 a>1,y=2x 单调递增,lna>0,所以 y=(a ﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(a ﹣1)lna 单调递增, ∴2x+(a ﹣1)lna>2×0+(a ﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0) ,所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 0<a<1,y=2x 单调递增,lna<0,所以 y=(a ﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(a ﹣1) lna 单调递增, ∴2x+(a ﹣1)lna>2×0+(a ﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0) ,所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 综上,函数 f(x)单调增区间(0,+∞) ; (8 分) (3)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当 x∈[﹣1,1]时,|(f(x) )max﹣(f(x) )min| =(f(x) )max﹣(f(x) )min≥e﹣1, (12 分) 由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当 x∈[﹣1,1]时, (f(x) )min=f(0)=1, (f(x) )max=max{f(﹣1) ,f(1)}, 而 f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣( 记 g(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>0) , +1+lna)=a﹣ ﹣2lna,
x 0 x x x 0 x x x 2 x x x 2

因为 g′(t)=1+

﹣ =(

﹣1) ≥0(当 t=1 时取等号) ,

2

所以 g(t)=t﹣ ﹣2lnt 在 t∈(0,+∞)上单调递增,而 g(1)=0, 所以当 t>1 时,g(t)>0;当 0<t<1 时,g(t)<0, 也就是当 a>1 时,f(1)>f(﹣1) ; 当 0<a<1 时,f(1)<f(﹣1) (14 分) ①当 a>1 时,由 f(1)﹣f(0)≥e﹣1? a﹣lna≥e﹣1? a≥e, ②当 0<a<1 时,由 f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1? +lna≥e﹣1? 0<a≤ , 综上知,所求 a 的取值范围为 a∈(0, ]∪[e,+∞) . (16 分) 点评: 本题考查了基本函数导数公式,导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性及利 用导数求闭区间上函数的最值.属于中档题.


相关文章:
【解析】山东省德州市平原一中2015届高三上学期第一次....doc
【解析】山东省德州市平原一中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Wor
...2019学年高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版....doc
山东省德州市平原一中2018-2019学年高三上学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2018-2019 学年山东省德州市平原一中高三(上)第一...
...一中2019年高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word....doc
山东省德州市平原一中2019年高三上学期第一次月考数学()试卷 Word版含解
山东省2015年高考(理)一轮专题复习特训:集合【含答案】.doc
. (山东省日照市第一中学 2014 届高三上学期第一次月考 数学(理)试题)已知.... (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考数学(理) U ?R 试题)已...
山东省德州市平原一中2019年高二上学期第一次月考数学....doc
山东省德州市平原一中2019年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析 -
山东省德州市平原一中2019届高三上学期第一次月考生物....doc
山东省德州市平原一中2019届高三上学期第一次月考生物试卷 Word版含解析 - 山东省德州市平原一中 2018-2019 学年高三上学期第一次月考生 金 榜题名,高考必胜!...
山东省德州市平原一中2019年高三上学期第一次月考生物....doc
山东省德州市平原一中2019年高三上学期第一次月考生物试卷 Word版含解析 -
山东省高考数学一轮复习专题特训 集合 理.doc
山东省 2015 年高考数学一轮专题复习特训 集合一、...届高三上学期第一次月考数学(理)试题) 设集合 M.... (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考...
山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷(理科) Wo....doc
山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析 - 流过多
山东省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10 方....doc
15. (山东省郯城一中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数 f...() 2 x C.(2,e) D.(0,1) 26. (山东省德州市平原一中 2014 届高三 ...
山东省德州市平原一中2018-2019学年高二上学期期中数学....doc
山东省德州市平原一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析 - 2018-2019 学年山东省德州市平原一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 最新试卷...
2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训:三角函数【含答....doc
2015年山东省高考(理)一轮专题复习特训:三角函数【含答案】 - 山东省 2015 年高考数学一轮专题复习特训 三角函数 一、选择题 1 1. (山东省德州市平原一中 ...
山东省德州市平原一中2016-2017学年高二上学期期中数学....doc
山东省德州市平原一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析 - 2016-2017 学年山东省德州市平原一中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题...
【解析】山东省德州市平原一中2016届高三上学期月考物....doc
2 珍贵文档 专业文档 2015-2016 学年山东省德州市平原一中高三(上)月考理试卷(10 月份)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,...
2015届高考数学(理)一轮专题复习特训:三角函数(人教A版).doc
2015 届高考数学(理)一轮专题复习特训:三角函数 一、选择题 错误! 未指定书签。 1. (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考数学 (理) 试题)点 P(...
山东省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编7 指数....doc
山东省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 7:指数函数 的图像及性质 一、选择题 1 . (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考数学(理)...
山东省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编8 对数....doc
17. (山东省日照市第一中学 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题)...【答案】②③④ 26. (山东省德州市平原一中 2014 届高三 9 月月考数学(理...
德州市平原一中高三物理上学期9月月考试题.doc
山东省德州市平原一中 2014 届高三物理上学期 9 月月考试题新人教版第Ⅰ卷(
山东省德州市平原一中2014-2015学年高二上10月月考文科....doc
山东省德州市平原一中2014-2015学年高二上10月月考文科数学(文)试题及答案 山东省德州市平原县第一中学 2014-2015 学 年高二上学期 10 月月考文科试卷数学(文...
山东省德州市平原一中2014届高三物理上学期9月月考试题....doc
山东省德州市平原一中2014届高三物理上学期9月月考试题新人教版 - 山东省德州市平原一中 2014 届高三物理上学期 9 月月考试题新人教 版第Ⅰ卷(选择题,共 42 ...