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2011级数学分析第1学期期中考试2011-11-9


上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2011 至 2012 班级号_________________ 课程名称 题 号 满 分 得 分 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1 “函数 f ( x) 在区间 I 上不一致连续”的肯定叙述是 __________________________.
(1 ? sin x) x ? 1 ? 2 极限 lim x ?0 _____. x2

学年 第 1 学期 2011 年 11 月 9 日 ) 姓名 成绩 七 6 总 分 100

学号

《数学分析》 (电院、管院期中考试) 一 20 二 12 三 10 四 34 五 8 六 10

3 设 f ( x) ?

x2 ? x ,则 f ( x) 的间断点是(需说明间断点的类型) x ? ( x2 ?1)

__________________________. 4 设 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim
h ?0

h ? f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ) _____.

5 设 f ( x) ?

1 ,则 f (100) ( x) ? ________________. x ( x ? 2)

二、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1 考虑下列函数 1 1 1 ① x sin x ; ② sin ; ③ sin x ; x x x 上述函数在 (0, 1) 内必一致连续的是 (A) ①,②,③. (C) ③,④,①. (B) ②,③,④.

1 ④ x sin . x





(D) 前面结论都不对.

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2 设 f ( x) ? ( x2 ? a2 ) g ( x) ,其中 g ( x) 在 x ? a 处连续,则 f ?(a) 之值为【 (A) 0 . (B) 2a ? g (a) . (C) [2 x ? g ( x) ? ( x 2 ? a 2 ) g ?( x)] x ?a . (D)不存在.



3 设函数 f ( x) 在 [0, ??) 上可导,考虑下列断语 (I) 若 lim f ( x) 存在,则必有 lim f ?( x) ? 0 .
x ??? x ???

(II) 若 lim f ?( x) ? 0 ,则必有 lim f ( x) 存在.
x ??? x ???

(A)Ⅰ正确,而Ⅱ不正确. (C)Ⅰ和Ⅱ都正确.

(B)Ⅰ不正确,而Ⅱ正确. (D)Ⅰ和Ⅱ都不正确. 【 】

? x 2 sin(1/ x) , 三、(本题共 10 分) 设函数 f ( x) ? ? 0, ?
(1) 试计算 f ?( x) , x ? R ; (2) 判断 f ?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

x ? 0, x ? 0,

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四、解答下列各题(前三小题每题 8 分,最后一小题 10 分,共 34 分)
1 1? 2x 1 设 y ? arctan ,试求 y? , y?? . 2 1? 2x

? dy ? x ? ln(t ? 1 ? t 2 ) 2 设? y ,试计算 dx ? ? te ? sin t ? y ? 1

.
t ?0

x 3 设 f ( x) 在 x ? 0 处可导且 f ?(0) ? a ,令 F (x) ? f (sin (?))

,其中 ? ( x) 在 x ? 0

处也可导,且 ? (0) ? 0 , ? ?(0) ? b (b ? 0) ,试求 F ?(0) .

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4 设 y ? ln x ? 1 ? x 2 . (1) 证明: (1 ? x2 ) y?? ? xy? ? 0 ; (2) 试求 y( n) (0) , n ? N

?

?

五、 (本题共 8 分) 设 f ( x) 是定义在 [ a, b] 上的无界函数. 证明: ?x0 ? [ a, b] , 使 得 f ( x) 在点 x0 的任意邻域内均无界 (说明:用有限覆盖定理或闭区间套定理证明).

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六、(本题共 10 分) (1) 设 f ? C (R ) ,且 lim f ( x) ? A , lim f ( x) ? B ( A ? B) ,证明 f ?U .C (R) ;
x??? x???

(2) 在上述条件下, f ( x) 在 R 上是否必有最大值或最小值?请给出证明或举 反例并进行说明.

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七、(本题共 6 分) 设 f ( x) 在 [a, ??) 上可导,又 {xn } 是 f ( x) 的零点集合且各点 互异,若对 ?n ? N ,都有 f ?( xn ) ? 0 ,证明: lim xn ? ?? .
n ??

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