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江苏省盐城市2013届高三数学考前突击精选模拟试题4苏教版


江苏省盐城市 2013 届高三考前突击精选模拟试卷数学卷 4
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共 70 分. 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 的离心率为 答案: 2 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i (是虚数单位) ,则 z = 答案:1 + 2i 3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 答案:2,1 4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 答案:0.02 5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x 2 ? x ? 2≥ 0,x ? Z ,则 ?U A ? 答案:{0,1} 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2 答案:0 7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则 在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 答案: 2 9 8. 设 P 是函数 y ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角 ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . ▲ . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c Print a,b
(第 3 题)



.

?

?



(用列举法表示).

为 ? ,则 ? 的取值范围是 答案: ? π ,π ?3 2 ? ▲ .

?
1

9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? log x , y ? x2 , y ?

2 2

? ? 的图象上,且矩形
2 2
x

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 答案: 1 ,1 2 4 ▲ .

? ?
1

10.观察下列等式:

13 ? 1 ,
13 ? 23 ? 9 , 13 ? 23 ? 33 ? 36 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 100 ,

?? 猜想: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ? ▲ ( n ? N* ).

? n(n ? 1) ? 答案: ? ? 2 ? ?

2

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形
B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,

面积的最 大值为 答案:12 12 . 若 a1 x≤ sin x≤a2 x 对 任 意 的 x ? ?0,π ? 都 成 立 , 则 a2 ? a1 的 最 小 值 为 ? 2? ? ? ▲ . y B ▲ .

答案: 1 ? 2 π 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆
2 x 2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭圆 2 2 a b

F1

O

F2 D

x

C
(第 13 题)

的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若
cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25



.

答案: 12 25 14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项 依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .

2

答案: 二、解答题

?5,8? 3 7

15.满分 14 分. 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C 解: (1)由正弦定理,得 sin A ? a . sin B b 从 而
2 s i nA c o C ? s s iB n







2a c o sC ? b. ????????????????3 分
2 2 2 由余弦定理,得 2a ? a ? b ? c ? b . 2ab







a?c





a ? 1 . ?????????????????????????7 分 c

(2)在斜三角形 ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin(2 A ? B) ? 3sin B 可化为 sin ? ? ? ? A ? C ? ? ? 3sin ? ? ? ? A ? C ? ? , ? ? ? ? 即

? sin ? A ? C ? ? 3sin ? A ? C ? .??????????????????????10 分
故 ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) . 整
4 s iA n c C? ? os







, n 2 A o s C s i??????????????????12 分 c

因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 0 , 所
t aA ? ? .???????????????????????????14 分 n 1 t a n C 2



16.满分 14 分. 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1 D , AB ? AD .求证: D1 (1) AA1 ? BD ; A1 B1
3

C1

D A

M B
(第 16 题)

C

(2) BB1 // DD1 . 证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1 M , 因为 A1 D ? A1 B , AD ? AB ,





B D? A M



BD ? A1 M .?????????????????????3 分

又 AM ? A1 M ? M , AM 、A1 M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM . 而 AA1 ? 平面 A1 AM , 所
A 1A ?



.????????????????????????????7 分 B D (2)因为 AA1 // CC1 ,
AA1 ? 平面 D1 DCC1 , CC1 ? 平面 D1 DCC1 ,





AA1 //





D1 DCC1 .???????????????????????9 分



AA1 ?





A1 ADD1







A1 ADD1 ?





D1 DCC1 ? DD ,????????11 分 1

所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 , 所
BB1 // DD1 .???????????????????????????14 分



17.满分 14 分. 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆 沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用 5 时 1 小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? 2 (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 小时, 5 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加 3

4

入 B 组继 续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* , 则 A 组 活 动 所 需 时 间

150 ? 2 5 ? 60 ;?????????????????2 分 f ( x) ? x x

B















200 ? 1 2 ? 100 .?????????????????4 分 g ( x) ? 52 ? x 52 ? x

令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x 所以两组同时开始的植树活动所需时间
? 60 , x≤19,x ? N*, ?x F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x

??????????????????

???6 分 而 F (19) ? 60 , (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . F 19 8 所 以 当 A 、 B 两 组 人 数 分 别 为 20, 时 , 使 植 树 活 动 持 续 时 间 最 32 短.??????8 分
150 ? 2 ? 20 ? 1 5 ? 3 6(小时)?????????????? (2) 组所需时间为 1+ A , 20 ? 6 7

10 分
200 ? 2 ? 32 ? 1 3 1? ?32 32 ? 6 3

B

















时) ?????????????12 分 , 所 以 植 树 活 动 所 持 续 的 时 间 为
36 7



时. ?????????????????14 分 18.满分 16 分. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 , 圆 C2 :

( x ? 3)2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 .
5

(1)若过点 C1 (?1, 的直线被圆 C2 截得的弦长为 0)
6 ,求直线的方程; 5

y
l1
C2

l2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上 运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的
(第 18 题)

C

C1

O



x

坐标;若不经过,请说明理由. 解: (1)设直线的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 因为直线被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5 所
4k ? 4
2







C2 (3, 4)





kx ? y ? k ? 0









? 4 .??????????3 分 k ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所 以 直 线 的 方 程 为
4x ? 3y ? 4 ? 0



3x ? 4 y ? 3 ? 0 .?????????????6 分

(2)①证明:设圆心 C ( x, ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , y 即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 , 即 动 圆 圆 心

C







线

x? y ?3?0





动.????????????????10 分 ②圆 C 过定点,设 C (m,3 ? m) , 则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1) 2 ? (3 ? m) 2 . 于是动圆 C 的方程为 ( x ? m) 2 ? ( y ? 3 ? m) 2 ? 1 ? (m ? 1) 2 ? (3 ? m) 2 . 整 理 , 得

x 2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .????????????????14 分

6

? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? ? 2 ? 2

















?1 ? 3 2

2, ? 3 2 2 2

?



?1 ? 3 2

2, ? 3 2 .?????????16 分 2 2

?

19.满分 16 分. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2? 解: (1)由题意,得 f ?( x) ? 1 ? cos x≥0 . 所以函数 f ( x) ? x ? sin x 在 R 上单调递增. 设
P( x1,1 ) y



Q( x2, 2 ) y







y1 ? y2 ?0 x1 ? x2





k PQ ? 0 . ????????????6 分



2





a≤0





f ( x) ? x ? sin x 0 ax cos x ≥≥





立.???????????????8 分 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? f ( x) ? ax cos x ? x ? sin x ? ax cos x ,
g' ( x) ? 1 ? cos x ? a(cos x ? x sin x) ? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x .

①当 1 ? a≥0 ,即 0 ? a≤1 时, g' ( x) ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所 以
g ( x)≥ g (0)? 0? sin 0? a ? 0? cos 0 0 ?









意. ???????????10 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,令 h( x) ? g' ( x) ? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x , 于是 h' ( x) ? (2a ? 1)sin x ? ax cos x . 因为 a ? 1 ,所以 2a ? 1 ? 0 ,从而 h' ( x)≥0 . 所以 h( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 h(0)≤h( x)≤h π ,即 2 ? a≤h( x)≤ π a ? 1 , 2 2
7

??


2 ? a≤ g (≤ π) x ? .???????????????????????12 分 ' a1 2



(i)当 2 ? a≥0 ,即 1 ? a≤2 时, g' ( x)≥0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. 于是 g ( x)≥g (0) ? 0 , 符合题意. ???? ? 2? 14 分 (ii)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,存在 x0 ? 0,π ,使得 2 当 x ? (0,0 ) 时,有 g' ( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在 (0,x0 ) 上为单调减函数, x 从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 恒成立. 综 上 所 述 , 实 数
a

? ?













a≤2 .????????????????????16 分

20.满分 16 分. 设数列{ an }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* , 存在 k ? N* , 使得 an ? k 2 ? an ? an ? 2 k 成立, 则称 数列{ an }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ an }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ an }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ an }是等比数列.
a 解: (1)由题意,得 a2 , a4 , a6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 8 a2

? ?

1 3

?1, 2




n?4

a2 n ? a2 q n ?1 ? 1 2

??

. ????????????????????????4 分

(2)证明:由{ an }是“ J 4 型”数列,得 ?成等比数列, 设公比为. ?????????? a1 ,a5 ,a9 ,a13 ,a17 ,a21 , 6分 由{ an }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a4 , a7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ?1 ;

8

a2 , a5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a6 , a9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ? 3 ;

则 所
4

a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ? 2 4 ? t 3 , 21 ? ? 34 ? t 3 . a1 a5 a9


?1 ? ? 2 ? ? 3









? ? ?1 ? ?2 ? ?3





t ? ? 3 . ???????????12 分
于是 a3k ? 2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ? 2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1?

k?2 3

? a1

? ??
3

(3 k ?1) ?1



a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k ?1 3

? a1

? ??
3

3 k ?1


an





an ? a1

? ??
3

n ?1





{

}









列.?????????????????16 分 数学Ⅱ附加题 21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 满分 10 分. 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC ? 3 ,CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB, 垂足 为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. 解:连接 AD、DO、DB. 由 AE∶EB ? 3∶1,得 DO ∶ OE ? 2∶1. 又 DE⊥AB,所以 ?DOE ? 60? . 故△ ODB 为正三角形.???????????5 分 于是 ?DAC ? 30? ? ?BDC . 而 ?ABD ? 60? ,故 ?C ? 30? ? ?BDC . 所以 DB ? BC ? 3 . 在 △
OBD

D

A

· O

E

B

C

(第 21-A 题)





DE ? 3 DB ? 3 .???????????????????????10 分 2 2
9

B.选修 4—2:矩阵与变换 满分 10 分.
?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 ?1 0 ?

P(4, 1) ,

求实数 k 的值.
? x ? ? x? ? ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? x? ? y, 解: 设变换 T: ? ? ? ? , ? ? ? ? 则 即 ?y ? ? y ? ? ? x ? , ? y ? ? x. ?????????? ? ? ? y ?? ? y ?? ?1 0 ? ? ? ? ? ?

5分 代入直线 y ? kx ,得 x? ? ky ? . 将 点
P( 4,1)













k ? 4.???????????????????????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 满分 10 分. 在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1 相切,求实数 a 的值. ? 解:将圆 ? ? a sin ? 化成普通方程为 x 2 ? y 2 ? ay ,整理,得 x 2 ? y ? a 2 将 直 线

?

?

?

? cos ? ? ? ? 1
?

?

?

? ? a4 .
2 2















x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????6 分
?a ? 2 由题意, 得 2 解得 a ? 4 ? 2 2 . ????????????????? ?a. 2 2

10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 满分 10 分. 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 . 证明:

10

(a ? 2)(b ? 2)(c ? 2) ? (a ? 1 ? 1)(b ? 1 ? 1)(c ? 1 ? 1)
≥3 ? 3 a ? 3 ? 3 b ? 3 ? 3 c
? 27 ? 3 abc
? 27

????????????????4分











a ? b ? c ?1









立). ?????????????????10 分

22. 【必做题】满分 10 分.

2an ( n ? N* ) . 已知数列{ an }满足: a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 1 2
(1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立. ( 1 ) 解 : 由 题 意 , 得

a2 ? 2 , 3 ? 4 . ???????????????????????2 分 a 3 5

(2) 证明: ①当 n ? 1 时, (1) 知 0 ? a1 ? a2 , 由 , 不等式成立. ??????????? 4分 ② 设 当

n ? k ( k ? N* )





0 ? ak ? ak ?1



立,???????????????6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 . 而
ak ? 2 ? ak ?1 ? 2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2ak 2(ak ?1 ? ak ) ? ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 , 即当 n ? k ? 1 时,不等式成立. 由 ① ② , 得 不 等 式 0 ? an ? an ?1 对 于 任 意 n ? N* 成 立.??????????10 分

23. 【必做题】满分 10 分.
11

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线 在 x 轴上 方的不同两点 A 、B 作抛物线的切线 AC 、BD ,与 x 轴分别交于 C 、D 两点,且 AC 与
BD 交

于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , 求证:直线 AB 过定点.

解: 设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , (1) 由题意,得 所 以

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2
抛 物 线 的 标 准 方 程 为

y 2 ? 4 x .????????????????????3 分
(2)设 A( x1,1 ) , B( x2, 2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y y 由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y ? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) , 且 C 点坐标为 (? x1, . 0) 同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,② 且 D 点坐标为 (? x2, . 0) 由 ① ② 消 去
y







xM ?

x1 y 2 ? x 2y 1 .????????????????????5 分 y1 ? y2
又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ?

y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2

12

由③④消去 y ,得 xN ? 所 以

x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2
, 即
MN

xM ? xN

?

x

轴. ??????????????????????7 分 (3)由题意,设 M (1, 0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y 所以 A( x1,1 ), ( x2, 2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . y B y 所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) . 故 直 线
AB







(?1, .????????????????????????10 分 0)

13


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