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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第五节事件与概率 理

第五节

事件与概率

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了 解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

知识梳理 一、随机事件的概念 在一定的条件 S 下所出现的某种结果叫做事件. 1.随机事件:在一定条件 S 下________________的事件. 2.必然事件:在一定条件 S 下________________的事件. 3.不可能事件:在一定条件 S 下____________ ____的事件. 答案:1.可能发生也可能不发生 2.必然要发生 3.不可能发生 二、随机事件的概率 事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率____总接近于某个常 数,在它附近摆动,这时就把____叫做事件 A 的概率,记作 P(A). 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0. 频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这 种摆动幅度越来越小. 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 答案:

nA n

n 这个常数 m

三、事件间的运算 1.事件的包含: 一般地,对于事件 A 与事件 B,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包 含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B),记作 B? A(或 A? B).不可能事件记作?,任何事件都 包含不可能事件. 2 .相等事件:如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,反过来事件 B 发生,则事件 A 一 定发生,即 B? A 且 A? B,这时则称这两个事件相等,记作 A=B. 3 .并事件:若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则 称此事件为 ____________(或和事件),记作________. 4 .交事件:若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为 ________________(或积事件),记作__________. 以上概念可分别与集合的包含、相等、并、交等概念相类比. 答案: 3.事件 A 与事件 B 的并事件 A∪B (或 A+B) 4.事件 A 与事件 B 的 交事件 A∩B

1

(或 AB)
四、事件间的关系 1.互斥事件: (1)定义:若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=?,那么称事件 A 与事件 B 互斥.也就是说, 如果事件 A 与 B______发生 ,那么称事件 A,B 为______. 如果事件 A1,A2,…,An 中任何两个都是互斥 事件,那么称事件 A1,A2,…,An 彼此互 斥. (2)互斥事件的概率加法公式: 如果事件 A,B 互斥,那么____________. 如果事件 A1,A2,…,An 彼此互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 2.对立事件: (1)若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件. 也 就是说,如果事件 A 与 B 不能同时发生,且事件 A 与 B 必有一个发生,则称事件 A 与 B 互为 - 对立事件.事件 A 的对立事件通常记作 A . - - - (2)对立事件 A 与 A 的概率和等于 1,即 P(A)+P( A )=P(A+ A )=1; 于是有 P(A)=1—P(B)=____________. 答案:1.不能同时 互斥事件 P(A+B)=P(A)+P(B) - 2.1-P( A ) 基础自测 1.从 12 个同类产品中(其中有 10 个正品,2 个次品),任意抽取 3 个,给出下列事件, 其中的必然事件的是( ) ①3 个都是正品 ②至少有一个是次品 ③3 个 都是次品 ④至少有一个是正品 A.①② B.②④ C.①③ D.④ 解析:①②是随机事件,③是不可能事件,故选 D. 答案:D 2.某人将一枚质地均匀硬币连掷了 1 000 次,正面朝上的情形出现了 600 次,若用 A 表示正面朝上这一事件,则事件 A 发生的( ) 3 A.概率为 5 3 B.频率为 5 C.频率为 60 D.概率接近 0.6 解析:根据频率和概率的概念知选项 B 正确. 答案:B 3.某班有 60 名学生,其中女生 24 人,现任选 1 人 ,则选中男生的概率为( 1 1 2 3 A. B. C. D. 36 60 5 5 36 3 解析:由题意知男生有 60-24=36(人),故男生选中的概率为 = .故选 D. 60 5
2

)

答案:D 4.某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布如下表: 分 [0,80) [80,90) [90,100) 数段 人数 2 5 6 分 [110,120) [120,130) [130,140) 数段 人数 12 6 4 则分数不满 110 分的概率为________. 21 答案: 43

[100,110) 8

1. (2012·江苏卷)现有 10 个数, 它们能构成一个以 1 为首项, -3 为公比的等比数列, 若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率为________. 解析:将 10 个数排成一个以 1 为首项,- 3 为公比的等比数列,则 an = ( - 3) 3 1 (1≤n≤10),当 n=1,2,4,6,8,10 时,an<8,所以抽到小于 8 的概率为 . 5 3 答案: 5
n-

2. 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 解析: 记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 ; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D = C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,
2 P(E)=C1 3×0.2×0.8 =0.384.

,
1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的 正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为 a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率 是( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 6 3 2 4

3

解析:要使△ABC 有两个解,需满足的条件是 ?
? ?b<2a, ? ?b>a. ?

?a>bsin ? ?b>a, ?

A,

因为 A =30°,所以

满足此条件的 a,b 的值有 b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;b=5,a=

6 1 4;b=6,a=4;b=6,a=5,共 6 种情况,所以满足条件的三角形有两个解的概率是 = . 36 6 故选 A. 答案:A 2 2.(2013·韶关二模改编)甲、乙两人在罚球线互不影响地投球,命中的概率分别为 与 3 3 ,投中得 1 分,投不中得 0 分.甲、乙两人在罚球线各投球二次,则甲恰好比乙多得分的 4 概率是________. 解析:设甲恰好比乙多得分为事件 C,甲得分且乙得 0 分为事件 C1,甲得 2 分且乙得分 为事件 C2,则 C=C1+C2,且 C1 与 C2 为互斥事件. 2 1 1 1 2 1 3 1 7 P(C)=P(C1)+P(C2)=C1 . 2× × × × + ×C2× × = 3 3 4 4 3 4 4 36 7 答案: 36

4


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