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第7单元-立体几何-数学(理科)-人教B版


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第七单元 立体几何

第37讲 第38讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图 空间几何体的表面积与体积

第39讲
第40讲 第41讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
直线、平面平行的判定与性质 直线、平面垂直的判定与性质

第42讲 第43讲

空间向量及其运算 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂

直的证明
第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与 距离的求解

单元网络

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单元网络

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核心导语
一、空间几何体 1.结构特征——通过区分上下底面、侧棱是否平行 或相等以及侧面特点来给不同的几何体定义;组合体是简 单几何体拼接或者截去、挖去一部分而成. 2.三视图问题——关键是三个图中有关线段的长度 关系,并能还原成立体模型.

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核心导语
二、空间点、线、面关系 1.平行关系——实现线线、线面、面面平行互化的 是相关性质定理和判定定理,关键是线线平行. 2.垂直关系——实现线线、线面、面面垂直互化的 是相关性质定理和判定定理,关键是线线垂直. 3.点面距离——可以用定义法构造直角三角形来解, 或者用等体积法. 三、空间向量 1.空间向量及运算——线性运算、坐标运算、数量 积. 2.空间向量的应用——位置关系的证明、空间角与 距离求解.
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使用建议
1.编写意图 根据立体几何在高考中的考查情况和当前立体几何的 教学实际,在编写本单元时考虑到如下几点: (1) 加强基础的复习力度:第 37 讲专门复习空间几何 体的结构、三视图和直观图,第38讲复习空间几何体的表 面积和体积,第39讲复习平面的基本性质和空间点、直线、 平面的位置关系,第42讲复习空间向量及其运算,在这些 基础性问题上我们给予了足够的重视.

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使用建议
(2)强化综合几何的方法在证明空间线面平行、面面 平行、线面垂直、面面垂直中的训练.一般地,高考中立 体几何解答题的证明部分运用综合几何的方法进行证明比 运用空间向量的方法具有简洁明了的特点,我们在第40讲、 第41讲专门解决这个问题,试图通过这两个讲次,提升学 生对综合几何法证明空间位置关系的能力, (3)在强化综合几何方法的同时要注意空间向量在解 决各类立体几何问题中的应用.在第43讲复习总结空间向 量方法证明立体几何问题,第44讲复习总结运用空间向量 方法求解空间角和空间距离,试图通过这样的处理使学生 掌握使用空间向量解决立体几何问题的方法.
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使用建议
2.教学建议 (1) 对学生加强画图的训练:立体几何中画出一个正 确的图形是解决问题的基础,特别在一些不给出图形的立 体几何试题中(如一些选择题、填空题往往就不给出图形), 画出图形问题就解决了一半.在画图中,要求学生有根据 地作图 ( 主要是根据平面的三个公理和线面位置关系的判 定定理和性质定理 ) ,使得作图过程充满理性的思考,教 师在例题讲解中画图时不要随手而画,要给学生展示作图 的过程和作图的原理根据.

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使用建议
(2)注意例题讲解中推理论证的严密性、规范性:运 用综合几何方法证明立体几何问题,在运用各种定理时注 意条件的完备性,在各个层次的证明中注意层次分明,要 通过例题给学生以示范作用,并通过作业规范学生的解 题. (3)注意运算能力训练:使用空间向量方法解决立体 几何问题,特别是求解空间角和距离时运算是较为繁琐的, 由于空间向量具有三个分坐标,在计算时极易出现错误, 在教学中要通过部分典型例题引导学生进行演算,通过练 习固化运算能力.

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使用建议
3.课时安排 本单元共8讲,建议10课时完成;2个45分钟滚动基础 训练卷,建议 2 个课时 ;1 个单元能力检测卷,建议 1 个课 时.本单元共需13课时完成.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第37讲 空间几何体的结构 特征及三视图和直观图

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考试大纲
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示 的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间 图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特 征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

—— 知 识 梳 理 —— 一、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台

图形

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图
名称 棱柱 ①有两个面互 平行 , 相________ 其余各个面都 是___________; 平行四边形 ②每相邻两个 四边形的公共 边都互相 ________
平行

棱锥 有一个面是 ________ 多边形 ,其 余各面是有一 个公共顶点的 ________ 三角形 的多 面体 相交于 ________但不 一定相等 一点 ________ 三角形

棱台 用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥, ________ 和 底面 ________ 之间 截面 的部分 延长线交于 ________ 一点 ________ 梯形

结构 特征

侧棱

____________ 平行且相等 ____________ 平行四边形

侧面 形状

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

二、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球

图形

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

名称

圆柱

圆锥 相交于 一点 ________

圆台 延长线交于 一点 ________



母线

平行、相等 垂直 且________ 于底面

轴截面 侧面展 开图

全等的 矩形 ________ 矩形 ________

全等的 全等的 等腰三角形 等腰梯形 __________ ________ 扇形 ________ 扇环 ________

大圆 ________

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

三、三视图与直观图
三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等 斜二测画法 来画,基本 空间几何体的直观图:常用____________ 步骤是: 1)画几何体的底面:在已知图形中取互相垂直的x轴和 y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应 的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′= °或(135°) _______________45 ,它们确定的平面表示水平面,已知 图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 平行于 ________x′轴与y′轴的线段;已知图形中平行于 x轴的 线段,在直观图中保持原长度________,平行于y轴的 不变 原来的一半 线段,长度为____________ . 2)画几何体的高:在已知图形中过O点作垂直于xOy平 面的z轴,在直观图中对应的z′轴,也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍 平行于 不变 ________ z′轴且长度________ .
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直观图

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

—— 疑 难 辨 析 ——
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (1)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫 棱柱.( ) (2)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何 体叫棱柱.( ) (3)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体叫棱锥.( ) (4)棱台各侧棱的延长线交于一点.( )

[答案] 1.(1)?

(2)?

(3)?

(4)√

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] (1)如果上、下两个面平行,但它们是大小不一样的多 边形,即使各面是四边形,那也不能是棱柱. (2)如图, 图中平面 ABC∥平面 A1B1C1, 但图中的几何体每相 邻两个四边形的公共边并不都互相平行,故不是棱柱.

(3)棱锥是有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点 的三角形的几何体. (4)棱台是由棱锥截得的,故而正确.

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 (1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体 是圆锥.( ) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是 圆台.( ) (3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆.( ) (4) 一 个 平面 截 圆 锥 , 得 到 一 个 圆 锥 和 一 个 圆 台 . ( ) (5)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆 面,则这个几何体一定是球.( )
[答案] (1)? (2)? (3)√ (4)? (5)√

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] (1)因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到 圆锥. (2)这条腰必须是垂直于两底的腰. (3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆是显然成立的. (4)必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. (5)只有球满足任意截面都是圆面.

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

3.三视图、直观图 (1)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时, 若∠A 的两 边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A =90° ,则在直观图中, ∠A=45° .( ) (2)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均 相同.( )

[答案] (1)?

(2)?

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] (1)∠A =45°或∠A =135°. (2)球的三个视图均相同,正方体三个视图不一定相同, 因为与观察的角度有关,圆锥的三个视图中只有正视图与侧 视图相同.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

考点统计 1.空间几何体的结构特 征 点 面 讲 考 向

考频 选择(1)

示例(难度) 2010年天津T10(B), 2012年辽宁T12(C) 2010年辽宁T15(B), 2011年辽宁T15(B), 2012年北京T7(B), 2012年广东T6(B)

2.空间几何体的三视图

填空(2)

3.空间几何体的直观图

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题, 考频分析2009年~2012年辽宁卷情况.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

?

探究点一

空间几何体的结构特征

点 面 讲 考 向

例 1 (1)一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面 积与底面面积之比为 4∶9, 则此棱锥的侧棱被分成上下两部 分之比为( ) A.4∶9 B.2∶1 C.2∶3 D.2∶ 5 (2)[2012· 重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为 1,1, 1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取 值范围是( ) A.(0, 2) B.(0, 3) C.(1, 2) D.(1, 3)
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 需要根据截面面积比与棱长之 比的关系;推理:面积的比等于对应的棱长之比的平方; 结论:简单计算即可. (2)分析:理解四面体的特征;推理:根据四面体六个 棱的关系,借助三角形找到量的不等关系;结论:根据不 等关系求出 a 的取值范围.
[答案] (1)B (2)A

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] (1)截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为 2∶3,故此 棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为 2∶1.
点 面 讲 考 向

(2)如图所示,设 AB=a,CD= 2,BC=BD=AC=AD= 1,则∠ACD=∠BCD=45° ,要构造一个四面体,则平面 ACD 与平面 BCD 不能重合,当△BCD 与△ACD 重合时,a=0;当 A, B, C, D 四点共面, 且 A, B 两点在 DC 的两侧时, 在△ABC 中,∠ACB =∠ACD +∠BCD = 45 °+ 45 °= 90 °, AB = AC2+BC2= 2,所以 a 的取值范围是(0, 2).

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①几种几何体(如正三棱锥和正四面体, 正四棱柱和正方体等)的概念容易混淆,要注意它们的定 义区别. 底面是正三角形 (i) 三棱锥 顶点在底面的射影是底面中心 ――→ 正三棱锥 所有棱长相等 ――→ 正四面体 . (ii) 四棱柱
底面是 ――→ 平行四边形

平行六面体 所 有 面 是 矩 形 , F

长方体 底面是 ――→ 正四棱柱 高与底面 ――→ 正方体 . 正方形 边长相等 3 ②棱长为 a 的正方体的外接球的半径是 2 a,棱长 6 为 a 的正四面体的外接球的半径是 4 a.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 天津二模 ] 如果四棱锥的四条侧棱 都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰, 以下 4 个命题中,假命题是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

[答案] B

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[解析] 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面 的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即 A 正确;底面 四边形必有一个外接圆,即 C 正确;在高线上可以找到一个 点 O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为 外接球的球心,即 D 正确;但四棱锥的侧面与底面所成角不 一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题 B 为假命 题.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

?

探究点二

空间几何体的三视图

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 湖南卷] 某几何体的正视图和侧视 图均如图 7-37-1 所示, 则该几何体的俯视图不可能 是 ... ( )

图 7-37-1

图 7-37-2
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 福建卷] 一个几何体的三视图形状都相同、大小均 相等,那么这个几何体不可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解三视图的概念;推理:根据三视 图定义结合给出图形分析判断;结论:判断为组合体的三视图. (2)分析:理解三视图的定义;推理:根据三视图特征想象几 何体的特征;结论:判断得出几何体为圆柱.

[答案]

(1)C

(2)D

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[解析] (1)选项 A,B,D 都有可能,选项 C 的正视图应该有 看不见的虚线,故 C 项是不可能的. (2)本题考查简单几何体的三视图,大小、形状的判断以及空 间想象能力,球的三视图大小、形状相同.三棱锥的三视图也可 能相同,正方体三种视图也相同,只有圆柱不同.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

归纳总结 由几何体的三视图来判断原物体的形状时 的一般规律为:“长对正,高平齐,宽相等”,由此可见, 正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱体、锥体还是台 体;俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

变式题 (1)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视 图如图 7-37-3 所示,则相应的侧视图可以为( )
点 面 讲 考 向

图 7-37-3

图 7-37-4

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

(2)[2011· 浙江卷] 若某几何体的三视图如图 7-37-5 所 示,则这个几何体的直观图可以是( )
点 面 讲 考 向

图 7-37-5

图 7-37-6
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)D

(2)D

[解析] (1)由几何体的正视图和俯视图可知, 该几何体应为 一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形) 垂直于底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为 D. (2)由正视图可排除 A,B 选项,由俯视图可排除 C 选项.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

?

探究点三

空间几何体的直观图

点 面 讲 考 向

例 3 [2012· 广州二模] 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( ) 3 2 3 2 6 2 6 2 A. 4 a B. 8 a C. 8 a D. 16 a

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[思考流程] 分析:理解斜二测画法原则;推理:画 出正三角形△ABC 的平面直观图△ A′B′C′ ;结论:求 △A′B′C′的高即可.
点 面 讲 考 向

[答案]

D

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] 如图①②所示的实际图形和直观图.

点 面 讲 考 向

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a,在图 ②中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 2 6 则 C′D′= 2 O′C′= 8 a, 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2?a? 8 a= 16 a .

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①用斜二测画法画立体图形的直观图的步 骤是:一画轴,二画底,三画高,四成图. ②关键是要根据图形的特点选取适当的坐标系,尽量 把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上,这样 可以简化作图步骤.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 银川二模] 如图7-37-7,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′ =6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形

图7-37-7

[答案] C
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[ 解析 ] 将直观图还原得 ? OABC, ∵O′D′ = 2 O′C′ = 2 2(cm), ∴OD=2O′D′=4 2(cm), ∵C′D′=O′C′=2(cm), ∴CD=2(cm),OC= CD2+OD2= 22+(4 2)2=6(cm),OA=O′A′=6(cm)=OC,又 OA∥BC,OC∥AB,故原图形为菱形.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

易错究源

15

三视图识图不准致误

例 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 7 -37-8 所示,则该几何体的侧视图为 ( )

图 7-37-8
多 元 提 能 力

图 7-37-9

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

错解 ①B 由几何体知,截去一个四棱锥后有两条 侧棱投影到长方体的侧面上.故选 B. ②C 由几何体知四棱锥中仅一条侧棱投影到长方 体的侧面上,故选 C.

多 元 提 能 力

[错因] 根据提示观测位置确定三视图时,其实质是正投 影,几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线 为虚线.投影过程实质上利用了垂直关系.①或②出现错选 B 或 C 都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影的位置,从而 导致失误.

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[正解] D 由几何体可以看出,四棱锥中剩余的三条 侧棱有两条投影后为长方体的棱,中间一条为对角线,且 是由下到上的,故 D 正确.

多 元 提 能 力

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

自我检评 (1)[2012· 济南一模] 图 7-37-10 是长和宽分 别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正 视图、俯视图如图 7-37-10;②存在四棱柱,其正视图、俯 视图如图 7-37-10;③存在圆柱,其正视图,俯视图如图 7 -37-10.其中真命题的个数是( )

多 元 提 能 力

图 7-37-10

A.3

B.2

C.1

D.0

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1 (2)如图 7-37-11, 某体积为 的几何体的正视图与侧视图都 2 是边长为 1 的正方形,则该几何体的俯视图可以是( )

多 元 提 能 力

图 7-37-11

图 7-37-12

[答案]

(1)A

(2)C
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] (1)如图①②③的正视图和俯视图都与原题相同,故选 A.

多 元 提 能 力

(2)若该几何体的俯视图是选项 A,则该几何体的体积为 1, 不满足题意;若该几何体的俯视图是选项 B,则该几何体的体积 π 为 4 ,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项 C,则该几何体 1 的体积为2,满足题意;若该几何体的俯视图是选项 D,则该几何 π 体的体积为 ,不满足题意. 4

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

【备选理由】 例1考查棱柱的截面问题;这点在前面例题中没有碰 到,是对知识的补充;例2综合考查几何体的性质特征.

教 师 备 用 题
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

例 1 [2012· 南昌模拟] 如图所示,在透明塑料制成的 长方体容器内灌进一些水, 将容器底面一边 BC 固定于地面 上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形 EFGH 的面积不 改变;③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行;④当 E∈AA1 时, AE+BF 是定值.其中正确说法是( )

教 师 备 用 题

A.①②③ C.①②③④

B.①③ D.①③④

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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] D 对于命题①, 由于 BC 固定, 所以在倾斜的过 程中,始终有 AD∥EH∥FG∥BC ,且平面 AEFB∥平面 DHGC,故水的部分始终呈棱柱状,且 BC 为棱柱的一条侧 棱,命题①正确.对于命题②,水面面积可能变大,也可能 变小,故②不正确.③是正确的.④是正确的,由水的体积 的不变性可证得.综上所述,正确命题的序号是①③④.

教 师 备 用 题
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

例 2 给出下列命题:①在正方体上任意选择 4 个不共 面的顶点,它们可能是正四面体的 4 个顶点;②底面是等边 三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③四棱 柱有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④一个 棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;⑤一个棱锥可以有两个侧 面和底面垂直;⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方 体.其中正确命题的序号是________.

[答案] ①⑤
教 师 备 用 题
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第37讲

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[解析] ①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四 面体,如正方形 ABCD-A1B1C1D1 中的四面体 A-CB1D1;② 错误,如图所示,底面△ABC 为等边三角形,可令 AB=VB =VC=BC=AC,则△VBC 为等边三角形,△VAB 和△VCA 均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须 是相邻的两个侧面;④错误,如果有两条侧棱和底面垂直, 则它们平行,不可能;⑤正确,当两个侧面的公共边垂直于 底面时成立;⑥错误,当底面是菱形时,此说法不成立,所 以应填①⑤.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第38讲 空间几何体的表面积 与体积

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考试大纲
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式.

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第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

—— 知 识 梳 理 —— 一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
侧 圆柱 圆锥 面 积 体 积

2πrh S 侧=______
S 侧=______ πrl
1 2 S 侧=____________

圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球

π (r +r )l

S 侧=Ch 1 S 侧=2Ch′ 1 S 侧=2(C+C′)h′ S 球面=______ 4πR2

1 V=_______________________ 3(S 上+S 下+ S上S下)h
4 3 V=3πR

V=Sh=πr2h 1 1 2 1π r2 l2-r2 V=3Sh=3πr h= ________ 3 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 1 =3π(r12+r22+r1r2)h V=Sh 1 V=3Sh

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第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

二、几何体的表面积 1 . 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 表 面 积 就 是 各面面积之和 . ______________ 2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇 形 、 扇 环 形 ; 它 们 的 表 面 积 等 于 侧面积与底面面积之和 ________________________ .

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空间几何体的表面积与体积

三、几何体的侧面展开图 1 .圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的长是底面圆的 周长,宽是圆柱的母线长. 2 .圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的 母线长,弧长是圆锥的底面周长. 3.圆台的侧面展开图是扇环,扇环上、下弧长分别 是圆台的上、下底面圆的周长.

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空间几何体的表面积与体积

四、立体几何中的“截、展、拆、拼” 1 .“截”指的是截面,平行于柱、锥底面的截面以 及旋转体的________ 轴截面 ,它们集中反映了几何体的主要元素 的数量关系,是能帮助解题的重要工具. 2 .“展”指的是侧面和某些面的展开图,在有关沿 表面的最短路径问题中,就是求侧面或某些面的展开图上 两点间的距离 . ______________

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空间几何体的表面积与体积

不规则的几何体 3 .“拆”指的是将一个 ________________ 拆成几个 简单的几何体,便于计算. 4.“拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中, 如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱,有时将一个三棱 柱复原成____________ 一个四棱柱 ,有时把一个正方体再拼补成一个 相同的正方体,还台为锥,这些都是拼补的方法.

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空间几何体的表面积与体积

—— 疑 难 辨 析 ——
1.柱体、锥体、台体与球的面积 (1)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方 形,那么这个圆柱的侧面积是 2πS.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点 都在一个球面上,则该球的表面积为 3πa2.( )

[答案] (1)?

(2)?
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空间几何体的表面积与体积

[解析] (1)设圆柱底面圆的半径为 r, 高为 h, 则 r=

S , π

又 h=2π r=2 π S,∴S 圆柱侧=(2 π S)2=4π S. (2)由于长方体的长,宽,高分别为 2a,a,a,则长方体 的体对角线长为 (2a)2+a2+a2 = 6 a. 又长方体外接球的 直径 2R 等于长方体的体对角线, ∴2R= 6a.∴S 球=4π R2=6 π a2.

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空间几何体的表面积与体积

2.柱体、锥体、台体的体积 (1) 若 一 个 球 的 体 积 为 4 3 π , 则 它 的 表 面 积 为 12π.( ) (2)如图 7-38-1 是某几何体的三视图,则该几何体 9 的体积为 π+18.( ) 2

图 7-38-1
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空间几何体的表面积与体积

(3)在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=120° ,使 △ABC 绕直线 BC 旋转一周所形成的几何体的体积为 3π.( )

[答案] (1)√

(2)√

(3)√

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空间几何体的表面积与体积

4π 3 [解析] (1)由 V= 3 R =4 3π ,得 R= 3,∴S=4π R2 =4π ?3=12π . (2)该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球 的直径为 3,长方体的底面是边长为 3 的正方形,高为 2,故 4 ?3?3 9 2 所求体积为 2?3 +3π ?2? =2π +18. ? ? (3)形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分,作 1 1 2 AD⊥BC 于 D,∴AD= 3,∴V=3π AD ?(BC+BD)-3π AD2?BD=3π .

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空间几何体的表面积与体积

3.柱体、锥体、台体的展开与折叠 2π (1)将圆心角为 3 , 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 4π. ( ) (2)圆柱的侧面展开图是一个边长为 6π 和 4π 的矩形, 则圆柱的全面积为 6π(4π+3).( ) (3)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 3 3 使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为 12 a . ( )

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空间几何体的表面积与体积

(4)如图 7-38-2①,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC =90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ABC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC, 如图 7 - 38 - 2②所示.则几何体 D - ABC 的体积为 4 2 ) 3 .(

图 7-38-2

[答案] (1)√

(2)?

(3)?

(4)√
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空间几何体的表面积与体积

1 1 2π 2 [解析] (1)设扇形的半径为 r, 弧长为 l, 则 rl= · ? r 2 2 3 =3π ,∴r=3,l=2π ,∴圆锥的母线长为 3,底面半径为 1. 故圆锥的表面积为 S=3π +π ?12=4π . ? ?2π r=4π , (2)设圆柱的底面半径为 r, 母线长为 l, 则 ? ? ?l=6π ? ? ? ?2π r=6π , ?r=2, ?r=3, 或 ? ∴? 或 ? ? ? ? ?l=4π . ?l=6π ?l=4π . ∴圆柱的全面积为 24π 2 + 8π 或 24π 2 + 18π , 即 8π (3π +1)或 6π (4π +3).

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空间几何体的表面积与体积

(3)设正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 E,沿 AC 折起后,依题意得,当 BD=a 时,BE⊥DE, 2 ∴DE⊥平面 ABC,∴三棱锥 D-ABC 的高为 DE= 2 a. 11 2 2 2 3 ∴VD-ABC=3· a ? a = 2 2 12 a . (4)在图①中, 可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC. 又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC =AC,BC?平面 ABC,∴BC⊥平面 ACD. 可知 BC 为三棱锥 B-ACD 的高. 1 1 又 BC = 2 2 , S △ ACD = 2 ,∴VB - ACD = 3 S △ ACD ? BC = 3 4 2 ?2?2 2= 3 , 由 VD-ABC=VB-ACD 可知几何体 D-ABC 的体 4 2 积为 3 .
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空间几何体的表面积与体积

考点统计

考频

示例(难度) 2009年辽宁T15(B), 2012年辽宁T13(B), 2012年北京T7(B) 2011年辽宁T12(C), 2012年广东T6(B), 2012年浙江T11(A)

点 面 讲 考 向

1.几何体表面积的计算

选择(2)

2.几何体体积的计算

选择(1)

3.几何体中的最值问题
4.几何体的展开与折叠问题

填空(1)
0

2012年辽宁16(C)
2012年北京T16(B), 2012年安徽T18(B)

说明:A表示简单题, B表示中等题, C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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空间几何体的表面积与体积

?

探究点一

几何体表面积的计算

例 1 (1)[2012· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图 7-38 -3 所示,该三棱锥的表面积是( )
点 面 讲 考 向

A.28+6 5

B.30+6 5

C.56+12 5 D.60+12 5

图 7-38-3
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空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 辽宁卷 ] 一个几何体的三视图如图 7 - 38 - 4 所示.则该几何体的表面积为________.
点 面 讲 考 向

图 7-38-4

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 理解三视图的概念与表面积公 式的含义;推理:根据题中三视图弄清三棱锥量的关系; 结论:根据各个量关系求出每个面的面积,表面积是各个 面面积之和. (2)分析:理解三视图、组合体以及表面积的含义;推 理:根据三视图可知几何体是一个组合体,弄清组合体量 的关系;结论:根据表面积求法得出组合体的表面积.

[答案]

(1)B

(2)38

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] (1) 本题考查的三棱锥的三视图与表面积公式. 由 三视图可知,几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥,如图所 1 示,可知 S 底面=2× 5?4=10, 1 S 后=2?5?4=10, 1 S 左=2?6?2 5=6 5, 1 S 右=2?4?5=10, 所以 S 表=10?3+6 5=30+6 5.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)由三视图可知,该几何体为一个长方体中挖去一个圆 柱构成,几何体的表面积 S=长方体表面积+圆柱的侧面积- 圆柱的上下底面面积,由三视图知,长方体的长、宽、高为 4, 3,1,圆柱的底面圆的半径为 1,高为 1,所以 S=2?(4?3 +4?1+3?1)+2π ?1?1-2?π ?12=38.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①以三视图为载体考查几何体的表面积, 关键是能够对给出的三视图进行恰当地分析,从三视图中 发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. ②在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后 再相加,对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. ③圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需 要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底 面圆的面积之和.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 天津二模] 一个空间几何体的三视图 如图 7-38-5 所示,则该几何体的表面积为( ) A.48 B.32+8 17 C.48+8 17 D.80

图 7-38-5
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空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 济南三模] 若一个底面是正三角形的三棱柱的 正视图如图 7-38-6 所示,则其侧面积等于( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.6
点 面 讲 考 向

图 7-38-6

[答案]

(1)C

(2)D

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] (1)换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为 等腰梯形,高为 4 的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为 2,4, 高为 4,故腰长为 17,所以该几何体的表面积为 48+8 17. (2)由正视图可知此三棱柱是一个底面各边长为 2、侧棱 为 1 的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为 2?1?3=6.

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空间几何体的表面积与体积

?

探究点二

几何体体积的计算

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 如图 7-38-7,网格纸上 小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.18

图 7-38-7
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空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 山东卷] 如图 7-38-8 所示,正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的 点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________.
点 面 讲 考 向

图 7-38-8

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解几何体的体积公式;推理:根据 三视图判断出几何体形状以及量的关系; 结论: 根据体积公式求 出几何体体积. (2)分析:理解正方体的特征和三棱锥的体积公式;推理: 根据等积转化思想三棱锥 D1-EDF 的体积转化为三棱锥 F- DED1 的体积或者利用特殊点的位置进行求解;结论:利用三棱 锥的体积公式进行计算求值.
1 (2) 6

[答案]

(1)B

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] (1)根据三视图可知该几何体是三棱锥,其底面是斜边 长为 6 的等腰直角三角形(斜边上的高为 3), 有一条长为 3 的侧棱 1 1 垂直于底面,所以该几何体的体积是 V= ? ?6?3?3=9,故 3 2 选 B. 1 (2)方法一: 因为 E 点在线段 AA1 上, 所以 S△DED1=2?1?1 1 =2, 又因为 F 点在线段 B1C 上, 所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1 1 1 1, 即 h=1, 所以 VD1-EDF=VF-DED1= ?S△DED1?h= ? 3 3 2 1 ?1=6.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

方法二:使用特殊点的位置进行求解,令 E 点在 A 点处,F 1 1 1 点在 C 点处,则 VD1-EDF=VD1-ADC=3?S△ADC?DD1=3?2 1 ?1?1?1=6.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①计算柱、锥、台体的体积,关键是根据 条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的 截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求 解. ②注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转 化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方 法,应熟练掌握. ③等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. (i)求体积时,可选择容易计算的方式来计算.(ii)利用 “等积法”可求“点到面的距离”.
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空间几何体的表面积与体积

变式题 (1)[2012· 南京三模] 如图 7-38-9,某几何 体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则 该几何体的体积为( )
点 面 讲 考 向

图 7-38-9

A.18 3 B.12 3 C.9 3 D.6 3
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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 福州三模] 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点 都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( ) 2 3 2 2 A. 6 B. 6 C. 3 D. 2

[答案]

(1)C

(2)A

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空间几何体的表面积与体积

[解析] (1)该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示, 由题知该几何体的底面是边长为 3 的正方形,高为 3,故 V =3?3? 3=9 3.
点 面 讲 考 向

3 (2)由题意得△ABC 的外接圆的半径 r= 3 ,故球心 O 到 6 面 ABC 的距离 d= R2-r2= 3 , SC 为球 O 的直径?点 S 到 2 6 1 面 ABC 的距离为 2d= 3 , 此棱锥的体积为 V=3S△ABC?2d 1 3 2 6 2 =3? 4 ? 3 = 6 .
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空间几何体的表面积与体积

?

探究点三

关于的问题

点 面 讲 考 向

例3 [2011· 辽宁卷] 已知球的直径SC=4,A,B是该 球球面上的两点,AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30°,则 棱锥S-ABC的体积为( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1

[答案]

C

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] 如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD. 由于 SC 是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90° ,又∠ASC= ∠BSC=30°, 又 SC 为公共边, 所以△SAC≌△SBC.由于 AD⊥ SC, 所以 BD⊥SC.由此得 SC⊥平面 ABD. 1 所以 VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=3S△ABD?SC.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

由于在直角三角形△SAC 中∠ASC=30°,SC=4,所以 AC= SA?CA 2,SA=2 3,由于 AD= SC = 3.同理在直角三角形△BSC 中 SB?CB 也有 BD= SC = 3. 又 AB= 3,所以△ABD 为正三角形, 1 1 1 所以 VS-ABC=3S△ABD?SC=3?2?( 3)2?sin60°?4= 3,所 以选 C.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

归纳总结 球的问题主要就是应用其结构特征:球心 到球面上各个点的距离相等,球心到各截面圆的圆心的连 线与截面垂直;直径所对圆周角是直角等,来证明有关线 面关系,从而可为求解简单几何体的表面积或体积问题提 供工具和方法.

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空间几何体的表面积与体积

变式题 [2012· 辽宁卷] 已知正三棱锥 P-ABC, 点 P, A, B, C 都在半径为 3的球面上.若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则 球心到截面 ABC 的距离为________.
点 面 讲 考 向

[答案]

3 3

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] 本小题主要考查球的概念与性质.解题的突破口为 解决好点 P 到截面 ABC 的距离. 由已知条件可知,以 PA,PB,PC 为棱可以补充成球的内 接正方体,故而 PA2+PB2+PC2=??2R??2, 由已知 PA=PB=PC,
? ?

1 1 得到 PA = PB = PC = 2, 因为 VP - ABC = VA - PBC ? h ? S △ ABC = 3 3 2 PA?S△PBC, 得到 h= 3,故而球心到截面 ABC 的距离为 R-h 3 3 = . 3

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空间几何体的表面积与体积

?

探究点四

几何体的展开与折叠问题

点 面 讲 考 向

例 4 (1)[2012· 浙江卷] 已知矩形 ABCD,AB=1, BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折,在翻折过程中,( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置, 三对直线“AC 与 BD”, “AB 与 CD”, “AD 与 BC”均不垂直

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 郑州一模] 如图 7-38-13 所示,已知一个多面体 的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角 形组成,则该多面体的体积是________.
点 面 讲 考 向

图 7-38-13

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解展开与折叠含义;推理:△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折中弄清哪些量改变了, 哪些量没有变;结论:观察翻折过程得出结论. (2)分析:理解展开图与原几何体之间关系;推理:由多面 体的平面展开图推断出几何体为正四棱锥;结论:根据正四棱 锥的体积公式求解.
2 (2) 6

[答案]

(1)B

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[解析] (1)本题主要考查空间几何体的判定与分析问题.考 查空间想象能力和动手操作能力. 对于 AB⊥CD, 因为 BC⊥CD, 由线面垂直的判定可得 CD⊥ 平面 ACB,则有 CD⊥AC,而 AB=CD=1,BC=AD= 2,可 得 AC=1,那么存在 AC 这样的位置,使得 AB⊥CD 成立,故应 选 B.

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空间几何体的表面积与体积

(2)折起后为正四棱锥, 如图, S 底=1, PO=
点 面 讲 考 向

1 2 1- = , 2 2

1 2 2 ∴V=3?1?1? 2 = 6 .

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[点评] 解决折叠问题时,可以先通过实际操作,找到 可行性后再加以合理判断与分析.实际解决此类问题时可 以通过草稿纸加以折叠分析后直接判断.

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

归纳总结 解决折叠问题时要注意: ①对于翻折前后,线线、线面的位置关系,所成角及 距离加以比较,观察并判断变化情况. ②一般地,分别位于两个半平面内的元素其相对位置 关系和数量关系发生变化,位于同一个半平面的元素,其 相对位置和数量关系不变. ③对于某些翻折不易看清的元素,可结合原图形去分 析、计算,即将空间问题转化为平面问题.

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空间几何体的表面积与体积

变式题 [2012· 济南二模] 如图 7-38-14 是一个正方体的 表面展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形可能是( )
点 面 讲 考 向
图 7-38-14

图 7-38-15

[答案]

B
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空间几何体的表面积与体积

[解析] 在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面 中都有一条直线,当变成正方体后,这三条直线应该互相平行.
点 面 讲 考 向

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空间几何体的表面积与体积

思想方法 16 积中的应用

化归与转化思想在求空间几何体面积和体

例 如图 7-38-16,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三 角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
多 元 提 能 力

图 7-38-16

2 A. 3

3 B. 3

4 C.3

3 D.2

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空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

[ 分析 ] 化归与转化的思想是指在解决问题时采用某种 手段使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略,是数 学学科与其他学科相比一个特有的数学思想方法.化归与转 化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上,解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目 标系统的过程,是未知向熟知转化的过程,因此每解一道题, 无论是难题还是易题,都离不开化归.本题给出的是一个不 规则的几何体,其体积难以直接求得,通过分割,使问题迎 刃而解.分割法要求有较强的空间想象力.

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空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

[解析] A 如图 7-38-17,过 BC 作垂直于 EF 的截面 BNC,作平面 ADM∥平面 BCN, 则多面体的体积可分解为棱柱 BCN-ADM 以及棱锥 F- BCN,棱锥 E-ADM 来求解. 3 取 BC 的中点 O,连接 FO,NO,则由已知得 FO= , 2 1 2 2 2 FN= ,∴NO= FO -FN = . 2 2 1 2 2 2 ∴S△BCN=2× 1× 2 = 4 ,∴VBCN-ADM=S△BCN· AB= 4 , 1 2 1 2 VF-BCN+VE-ADM= × × × 2= . 3 4 2 12 2 2 2 ∴V= + = .故选 A. 4 12 3

图7-38-17
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空间几何体的表面积与体积

自我检评 (1)[2012· 太原二模] 如图 7-38-18, 三棱锥 P -ABC 中,PA⊥BC,PA=BC=l,ED⊥PA,ED⊥BC,且 ED =h,则 VP-ABC 的值为( ) 12 12 12 1 2 A. l h B. l h C. l h D. l h 3 6 9 12

多 元 提 能 力

图 7-38-18

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空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 合肥二模 ] 如图 7 - 38 - 19 ,在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________ cm3.

多 元 提 能 力

图 7-38-19

[答案]

(1)B

(2)6

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空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

[解析] (1)特殊地, 考虑 E, A 重合的情形, 则 PA⊥平面 ABC, 1 11 12 于是 VP-ABC=3S△ABC?PA=3· lh · l = 2 6l h, 故选 B. (2)∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ABD 中,BD=3 2 3 cm , BD 边上的高是 2 2 cm( 它也是四棱锥 A - BB1D1D 中面 BB1D1D 上的高). 1 3 ∴四棱锥 A-BB1D1D 的体积为 ?3 2?2? 2=6. 3 2

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空间几何体的表面积与体积

【备选理由】 例1考查了一个组合体问题,借助球体和正六棱锥的 线面关系,求棱锥的体积;例2考查了空间几何体与函数 知识的综合应用.

教 师 备 用 题
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空间几何体的表面积与体积

例 1 如图, 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P- ABCDEF,则此正六棱锥的体积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.12 3

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[解析] B 球心即为正六边形 ABCDEF 的中心, 故正六边 形的边长即为半径 2,正六边形的面积 S=6 3. 1 1 又正六棱锥的高 h 为 2, 所以体积 V=3Sh=3?6 3?2= 4 3.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

例 2 一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的 阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工 成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数 关系式为________________.

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1 [答案] V= x2 3

1 25- x2(0<x<10) 4
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

1 [解析] 如图.在 Rt△EOF 中, EF=5 cm,OF= x cm, 2 1 1 1 ∴EO= 25-4x2. 于是 V=3x2 25-4x2, 依题意函数的定义域为{x|0<x<10}.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第39讲 空间点、直线、平面 之间的位置关系

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考试大纲
理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可 以作为推理依据的公理和定理. 基本性质1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 基本性质2:过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面. 基本性质3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平 行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行,那么这两个角相等或互补.
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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 知 识 梳 理 —— 一、平面的基本性质及其推论
名称 图示 文字表示 如果一条直线上 的两点在一个平 面内,那么这条 直线在此平面内 过不在一条直线 上的三点,有且 只有一个平面 符号表示 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α,则 ________ l?α

基本性质 1

基本性质 2

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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

名称

图示

文字表示 如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线

符号表示 P∈α,且P∈β, 则

基本性质 3

α∩β=l, _______________ 且 P∈ l

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

注:基本性质2有以下三个推论:
名称 内容 图形 数学语 言表示 若A?l,则点 A和直线l确定 一个平面α 若a∩b=P, 则a与b确定一 个平面α,使 a?α,b?α 若a∥b,则a 与b确定一个 平面α,使 a?α,b?α 作用

经过 一条直线和 推论1 直线外一点 ____________,有 且只有一个平面 经过两条相交 _________直 推论2 线有且只有一个平 面

经过两条平行直线 ________ 推论3 有且只有一个平面

①确 定平 面; ②证 明点、 线共 面

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

二、线线、线面、面面位置关系 1.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? , ? ?平行 ?共面直线? ? W. ? ? 相交 ? 异面直线:不同在任何 一个平面内 ? (2)异面直线所成的角 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角 ____________叫做 π 0, 2 异面直线 a,b 所成的角(或夹角).范围:____________ . 同一条直线 的两条直线互相平 (3)平行公理:平行于__________ 行. (4)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平 相等或互补 行,那么这两个角____________.
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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

2.直线与平面的位置关系
位置关系 直线l在平 面α内 直线l与平 面α相交 直线l与平 面α平行 图示 符号表示 公共点个数

l?α _______

无数个 ________

l ∩α=A ________ l∥ α ________

一个 ________ 0个 ________

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

3.平面与平面的位置关系
位置关系 图示 符号表示 公共点个数

两平面 平行

α ∥β _______

0个 ________

两平面 相交

α∩ β= l _______

无数个 这些 ________( 公共点均在交线 l上)

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 疑 难 辨 析 ——
1.平面的基本性质 (1)空间中不同三点确定一个平面.( ) (2) 空 间 中 两 两 相 交 的 三 条 直 线 确 定 一 个 平 面.( ) (3)一条直线和一个点能确定一个平面.( ) (4)梯形一定是平面图形.( )

[答案] (1)? (2)? (3)? (4)√
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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析] (1)空间中不共线的三点确定一个平面. (2) 空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平 面. (3)经过直线和直线外一点确定一个平面. (4)梯形一定是平面图形显然成立,故正确.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

2.空间直线关系 (1)已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那 么 c 与 b 不可能是平行直线.( ) (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( ) (3)若 a 与 b 相交, b 与 c 相交, 则 a 与 c 相交. ( ) (4)若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. ( )

[答案] (1)√

(2)√

(3)?

(4)?

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析] (1)由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相 交直线,但不可能为平行直线,因为若 b∥c,则 a∥b,与已 知 a,b 为异面直线相矛盾. (2)由平行公理知正确. (3)当 a 与 b 相交, b 与 c 相交时, a 与 c 可以相交、 平行, 也可以异面,故(3)不正确. (4)当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可 以异面,故(4)不正确.

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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

3.基本性质与等角定理 (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行.( ) (2)如果两个角的两边分别对应平行且方向相同,那 么这两个角相等或互补.( ) (3)空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB, BC , CD , DA 的中点,则四边形 EFGH 是平行四边 形.( )

[答案] (1)√

(2)?

(3)√

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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析] (1)由基本性质 4 可推导其正确. (2)当两角两边方向分别相同时,这两个角相等. (3)易证 EF∥AC∥GH,EH∥BD∥FG,故四边形 EFGH 是平行四边形.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

考点统计
点 面 讲 考 向 1.平面的基本性质及其应用

考频
解答(1)

示例(难度)
2009年辽宁T18(B)

2.空间两条直线的位置关系
3.异面直线所成角

0
0

2012年陕西T18(B)
2012年天津T17(B)

说明:A表示简单题, B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点一

平面的基本性质及其应用

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 兰州一模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点,那么,正方体的过 P,Q,R 的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

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空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图 7-39-1,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C?l, 直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( )
点 面 讲 考 向

图 7-39-1

A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解截面含义;推理:过正方 体棱上的点 P,Q,R 的截面要和正方体的每个面有交线; 结论:截面为六边形. (2)分析:理解平面的基本性质;推理:根据三个公理 进行推断;结论:结合公理 3 得出结论.

[答案]

(1)D

(2)D

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[解析] (1)如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 延长线交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E,连接 PE, RE 为截面的部分外形. 同理设 PQ 延长线交 CD 延长线于 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG.∴截面为六边形 PQFGRE.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)∵AB?γ , M∈AB, ∴M∈γ. 又 α∩β=l, M∈l, ∴M∈β. 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上, 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上.
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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①公理1的作用:(i)检验平面.(ii)判断直 线在平面内.(iii)由直线在平面内判断直线上的点在平面 内. ②公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问 题转化为平面问题的条件. ③公理3的作用:(i)判定两平面相交.(ii)作两相交平面 的交线.(iii)证明多点共线. ④画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交 线,此交线只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几 何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的 位置.
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

变式题 (1)不重合的三条直线,若相交于一点,最多能 确定________个平面;若相交于两点,最多能确定________ 个平面;若相交于三点,最多能确定________个平面.
点 面 讲 考 向

(2)如图 7-39-2 所示是正方体和正四面体,P,Q,R, S 分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是________.

图 7-39-2

[答案]

(1)3

2

1

(2)①②③

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析] (1)三条直线相交于一点,最多可确定 3 个平面, 如图①;三条直线相交于两点,最多可确定 2 个平面,如图 ②;三条直线相交于三点,最多可确定 1 个平面,如图③.
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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)在图④中, 可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行, 因此, P, Q,R,S 四点不共面.可证①中四边形 PQRS 为梯形;③中 可证四边形 PQRS 为平行四边形;②中如图所示取 A1A 与 BC 的中点为 M,N 可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点二

空间两条直线的位置关系

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 长春一模] 在图 7-39-3 中,G,N, M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答 案的序号)

图 7-39-3

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 安徽卷] 若四面体 ABCD 的三组对棱分别相 等,即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则________(写出所 有正确结论的编号). ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直;②四面体 ABCD 每个面的面积相等;③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三 条棱两两夹角之和大于 90° 而小于 180° ;④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三 边长.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解空间两条直线的位置;推理:根 据异面直线的定义和判断方法;结论:结合图形得出结论. (2)分析:理解四面体的特征;推理:根据四面体三组对棱 分别相等分析判断;结论:对每种说法做出判断.

[答案]

(1)②④

(2)②④⑤

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[解析] (1)图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点 共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N 共面, 但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②, ④中 GH 与 MN 异面.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)如图,把四面体 ABCD 放入长方体中,由长方体中相对面 中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知①错误;由长方 体中△ABC≌△ABD≌△DCB≌△DCA,可知四面体 ABCD 每个 面的面积相等,同时四面体 ABCD 中过同一顶点的三个角之和为 一个三角形的三个内角之和,即为 180°,故②正确,③错误; 长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂 直,故④正确;从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱可以移到 一个三角形中,作为一个三角形的三条边,故⑤正确.答案为 ②④⑤.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

归纳总结 判断两直线为异面直线的方法: ①定义法(不易操作). ②反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线 平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出 矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

变式题 [2011· 武汉模拟 ] 如果两条异面直线称为 “一对”, 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 ( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对

[答案]

B

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[解析] 如图所示, 与 AB 异面的直线有 B1C1, CC1, A1D1, DD1 四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱, 12?4 排除两棱的重复计算,共有异面直线 2 =24(对).

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空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点三

异面直线所成角的计算

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 四川卷] 如图 7-39-4 所示,在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N 分别是棱 CD, CC1 的中点, 则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

图 7-39-4

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 武汉一模] 如图 7-39-5,矩形 ABCD 中, AB=2,BC=4,将△ABD 沿对角线 BD 折起到△A′BD 的 位置,使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边 上,则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为________.

图 7-39-5

[答案]

(1)90°

(2)90°

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[解析] (1)因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,故 A1 在 平面 CDD1C1 上的射影为 D1, 即 A1M 在平面 CDD1C1 上的射影为 D1M, 而在正方形 CDD1C1 中,由 tan∠DD1M=tan∠CDN 1 =2, 可知 D1M⊥DN, 由三垂线定理可知,A1M⊥DN. (2) 如题图所示,由 A′O⊥平面 ABCD ,可得平面 A′BC⊥平面 ABCD. 又由 DC⊥BC 可得 DC⊥平面 A′BC, DC⊥A′B, 即得 异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为 90°.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

归纳总结 求异面直线所成的角常采用“平移线段 法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行 线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移; 补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进 行.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 郑州一模] 如图 7-39-6 所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90° , 点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角 是 ( ) A.45° B.60° C.90° D.120°

图 7-39-6

[答案]

B

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[解析] 连接 AB1,易知 AB1∥EF,连接 B1C,B1C 与 BC1 交 于点 G,取 AC 的中点 H,连接 GH,则 GH∥AB1∥EF.设 AB= BC=AA1=a,连接 HB,在三角形 GHB 中,易知 GH=HB=GB 2 = a,故所求的两直线所成的角的大小为 60°. 2

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空间点、直线、平面之间的位置关系

易错究源

16

忽视两异面直线夹角范围致误

例 如图 7-39-7,在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,M,N,

多 元 提 能 力

图 7-39-7

P 分别为 A1B1,BB1,CC1 的中点.求异面直线 D1P 与 AM,CN 与 AM 所成的角的余弦值为________.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

多 元 提 能 力

错解 连接 A1N, 由 N, P 为 BB1, CC1 中点, 则 PN∥A1D1, PN=A1D1,从而 A1N∥D1P, 故 AM 和 D1P 所成的角为 AM 和 A1N 所成的角. 易证 Rt△AA1M≌Rt△A1B1N,所以 A1N⊥AM,故 D1P 与 π AM 所成的角为2,其余弦值为 0. 设 AB 的中点为 Q,连接 B1P,B1Q,则 B1Q∥AM,B1Q =AM.又∵CN∥B1P,CN=B1P,从而 CN 与 AM 所成的角就 是∠PB1Q.① 5 6 易求得 B1Q=B1P= 2 ,PQ= 2 . 2 在△PB1Q 中,由余弦定理得 cos∠PB1Q= , 5 2 2 故 CN 与 AM 所成的角的余弦值为5或者-5.②
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
? π? θ∈?0,2?, 从而 ? ?

[错因] ①异面直线所成角的范围是

CN 与

AM 所成的角就是∠PB1Q 或者是其补角; ②在利用余弦定理求异面直线所成角时, 若出现角的余弦 值为负值,错误地得出异面直线所成的角为钝角,此时应转化 为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角.
多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

多 元 提 能 力

[正解] 连接 A1N, 由 N, P 为 BB1, CC1 中点, 则 PN∥A1D1, PN=A1D1,从而 A1N∥D1P, 故 AM 和 D1P 所成的角为 AM 和 A1N 所成的角. 易证 Rt△AA1M≌Rt△A1B1N,所以 A1N⊥AM, π 故 D1P 与 AM 所成的角为2,其余弦值为 0. 又设 AB 的中点为 Q,连接 B1Q,B1P, 则 B1Q∥AM,B1Q=AM. 又∵CN∥B1P,CN=B1P, 从而 CN 与 AM 所成的角就是∠PB1Q(或其补角). 5 6 易求得 B1Q=B1P= 2 ,PQ= 2 . 2 在△PB1Q 中,由余弦定理得 cos∠PB1Q= , 5 2 故 CN 与 AM 所成的角的余弦值为5.
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

自我检评 已知 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

解:(1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共 面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是平面 BCD 外的一点相矛盾,故直线 EF 与 BD 是异面直线.

多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图所示,取 CD 的中点 G,连接 EG,FG,则 EG∥BD, 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角即为异面直线 EF 与 BD 所成的 角.

多 元 提 能 力

由 AC⊥BD,AC=BD 及 E,F,G 分别为各边中点得∠EGF =90°,EG=FG,故得∠FEG=45°, 即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

【备选理由】 例1综合考查了平面的基本性质,对应上面例题形成 补充;例2和例3考查了异面直线的判断与异面直线所成的 角.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例 1 有一矩形纸片 ABCD,AB=5,BC=2,E,F 分 别是 AB,CD 上的点,且 BE=CF=1,如图①.现在把纸片 沿 EF 折成图②形状,且∠CFD=90°. (1)求 BD 的长; (2)求证:AC,BD 交于一点且被该点平分.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

解:(1)将平面 BF 折起后,补成长方体 AEFD-A1BCD1, 则 BD 恰好是长方体的一条对角线. 因为 AE,EF,EB 两两垂直,

教 师 备 用 题

所以 BD 恰好是以 AE,EF,EB 为长,宽,高的长方体的 体对角线. 所以 BD= AE2+EF2+EB2= 42+22+12= 21.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)证明:因为 AD 綊 EF,EF 綊 BC,所以 AD 綊 BC. 所以点 A,D,B,C 在同一平面内,且四边形 ABCD 为 平行四边形. 所以 AC,BD 交于一点且被该点平分.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例 2 已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,且直线 AB 与 CD 成 60°角,点 M,N 分别是 BC,AD 的中点,求直 线 AB 和 MN 所成的角的大小.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

教 师 备 用 题

解:如图,取 AC 的中点 P.连接 PM,PN, 1 则 PM∥AB,且 PM= AB, 2 1 PN∥CD,且 PN=2CD, 所以∠MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角), 则∠MPN=60°或∠MPN=120°. 若∠MPN=60°,因为 PM∥AB, 所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角).
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

又因为 AB=CD,所以 PM=PN, 则△PMN 是等边三角形,所以∠PMN=60°, 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN=120°, 则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30°. 即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 故直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例 3 如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同 一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点. (1)若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求 MN 的长; (2)用反证法证明:直线 AN 与 BE 是异面直线.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

解:(1)取 CD 的中点 G,连接 MG,NG. 因为四边形 ABCD 与四边形 DCEF 为正方形, 且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,所以 MG⊥NG. 所以 MN= MG2+NG2= 6. (2)假设直线 AN 与 BE 共面, 则平面 ABEN 与平面 ADF 交于 AN. 又由已知可得 AB 綊 EF,从而 BE∥AF.
教 师 备 用 题

又 BE?平面 ADF,AF?平面 ADF,∴BE∥平面 ADF, ∴BE∥AN,于是 AN∥AF, 这与 AN∩AF=A 矛盾,故假设不成立. ∴AN 与 BE 不共面,它们是异面直线.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第40讲 直线、平面平行的 判定与性质

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考试大纲
1.理解以下判定定理. (1)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 那么该直线与此平面平行. (2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平 行,那么这两个平面平行. 2.理解以下性质定理,并能够证明. (1)如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的 任一个平面与此平面的交线和该直线平行. (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线相互平行. 3 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的位置关系的简单命题.
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第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

—— 知 识 梳 理 —— 一、空间中直线和平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α 内 直线a与 平 面α平行 直线a与 平 面α斜交
直线a与平 面α垂直

图形表示

符号表示

公共点 无数个 有______ 公共点 没有 公共点 ______

a?α ______
a ∥α ______

直 线 在 平 面 外

a∩α=A ________

a⊥ α ________

有且只有 ________ 一个 公共点

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

二、空间中两个平面的位置关系
位置关系 两平面 平行 图形表示 符号表示 公共点

________ α∥ β

没有 公共点 ______

斜交 两平 面 相交 垂直

________ α∩ β = l 有一条公共 直线 ______

α⊥ β 且 ____________ α∩ β = a

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

三、直线与平面平行的判定与性质
类 别 语言表述 图形表示 符号表示 a∩α= ??a∥α 应用

一条直线与一个平面 没有公共点 ,则称 ____________ 这条直线与这个平面 平行 判 定 平面外的 一条直线与 此平面内的一条直线 __________________ 平行,则这条直线平 行于这个平面 一条直线和一个平面 平行,则过这条直线 性 的任一平面与此平面 质 交线 与该直线 的______ 平行 __________

a?α,b?α, 且a∥b?a∥α

证明直 线与平 面平行

a∥α,a?β, α∩β=l?a∥l

证明直 线与直 线平行
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直线、平面平行的判定与性质

四、平面与平面平行的判定与性质
类 别 语言表述 一个平面内的两条 相交直线 __________与另一个 平面平行,则这两个 平面平行
判 定

图形表示

符号表示 a?α,b?α,a∩b =P,a∥β, b∥β?α∥β

应用

如果一个平面内有两 相交直线 条__________分别平 行于另一个平面内的 两条直线 ,那么这 _________ 两个平面平行 同一条直线 垂直于___________ 的两个平面平行

证明 平 a?α,b?α,a∩b 面与 =P,a∥a′, 平 b∥b′a′?β, 面平 b′?β?α∥β 行
a⊥α,a⊥β?α∥β
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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述 两个平面平 行,则其中 一个平面内 的直线必 平行 ________于 另一个平面

图形表示

符号表示

应用 证明直 线与平 面平行

α∥β, a?α?a∥β

性质

如果两个平 行平面同时 和第三个平 面相交,那 么它们的 交线 ________ 平 行

α∥β, α∩γ=a, β∩γ= b?a∥b

证明直 线与直 线平行

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——
1.直线与平面平行 (1) 若 直 线 l 上 有 无 数 个 点 不 在 平 面 α 内 , 则 l∥α.( ) (2)若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内的任意一条 直线都平行.( ) (3)若 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内任何一条直线都 没有公共点.( ) (4)经过平面 α 外两点,作与 α 平行的平面,则这样 的平面可以作 0 个或 1 个.( ) (5)已知直线 m∥n,且 m∥α,则 n 与 α 的位置关系 是 n∥α 或 n? α.( )

[答案]

(1)?

(2)?

(3)√

(4)√

(5)√
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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

[解析] (1)直线 l 与 α 相交时, l 上也有无数个点不在 α 内, 故(1)错. (2)l∥α 时,α 内的直线与 l 平行或异面,故(2)错. (3)l∥α,l 与 α 无公共点,∴l 与 α 内任一直线都无公共 点,(3)正确. (4)如果这两点所在的直线与平面 α 平行,则可作一个平 面与平面 α 平行, 若所在直线与平面 α 相交, 则不能作平面与 平面 α 平行. (5)m∥n,且 m∥α,则 n∥α 或 n?α .

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

2.平面与平面平行 (1)若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行.( ) (2)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.( ) (3)平行于同一直线的两个平面平行.( ) (4)垂直于同一平面的两个平面平行.( )
[答案] (1)? (2)? (3)? (4)?

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

[解析] (1)(2)中两个平面可以相交. (3)两个相交平面的交线与某一条直线平行,则这条直线 平行于这两个平面. (4)两个相交平面可以同时垂直于同一个平面.

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直线、平面平行的判定与性质

考点统计 点 面 讲 考 向 1.线面、面面平行的基本问题

考频 0

示例(难度)

2.线面平行的判定与性质

解答(1)

2012年辽宁T18(B), 2012年福建T18(B), 2012年浙江T20(B)

3.面面平行的判定与性质

0

说明:A表示简单题, B表示中等题, C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点一

线面、面面平行的基本问题

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 四川卷] 下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条 直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这 两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平 行

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 银川质检] 在空间中, 下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a? β,b? β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a? α,则 a∥β

)

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直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解线线平行、线面平行、面 面平行的判断方法; 推理: 根据基本方法依次推断; 结论: 得出正确推断. (2)分析:理解线面与面面平行的判断方法;推理:根 据选项逐一判断;结论:得出正确选项.

[答案]

(1)C

(2)D

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直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

[解析] (1)A 中两直线可能平行,相交,异面,故 A 不正 确;B 中两平面平行或相交;C 正确;D 中这两个平面平行或 相交. (2)若 a∥α,b∥a,则 b∥α 或 b?α ,故 A 错误;由面面 平行的判定定理知,B 错误;若 α∥β,b∥α,则 b∥β 或 b? β ,故 C 错误.选 D.

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直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 平行问题的转化方向如下表. 在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进 行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定 理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线 平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交, 则直线与交线平行.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 昆明一模] 若直线 a⊥b,且直线 a∥ 平面 α,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( ) A.b? α B.b∥α C.b? α 或 b∥α D.b 与 α 相交或 b? α 或 b∥α (2)给出下列关于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α,β, γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α,m∥β,则 α∥β; ②若 α∥β,l? α,m? β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0

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直线、平面平行的判定与性质
(1)D (2)C

[答案]

点 面 讲 考 向

[解析] (1)b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α,都可以. (2)①中当 α 与 β 不平行时,也能存在符合题意的 l,m. ②中 l 与 m 也可能异面. l ∥γ ? ? l ?β ? ?l∥m, ③中, β ∩γ =m? ? 同理 l∥n,则 m∥n,正确.

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直线、平面平行的判定与性质

?

探究点二

线面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

例 2 [2011· 北京卷改编] 如图 7-40-1,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP, AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形.

图 7-40-1

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:(1)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP,PC?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF, 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG, 所以四边形 DEFG 为矩形.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

归纳总结 法:
点 面 讲 考 向

证明直线与平面平行,一般有以下几种方

①若用定义直接判定,一般用反证法. ②用判定定理来证明,关键是在平面内找 (或作 )一条 直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过 程. ③应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时,其 中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.

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直线、平面平行的判定与性质

变式题 如图 7-40-2,若 PA⊥平面 ABCD,四边 形 ABCD 是矩形,E,F 分别是 AB,PD 的中点,求证: AF∥平面 PCE.
点 面 讲 考 向

图 7-40-2

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

解:取 PC 的中点 M,连接 ME,MF, 1 则 FM∥CD 且 FM= CD. 2 1 又∵AE∥CD 且 AE=2CD, ∴FM 綊 AE,∴四边形 AFME 是平行四边形, ∴AF∥ME. 又∵AF?平面 PCE,EM?平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点三

面面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

例 3 如图 7-40-3, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N,P 分别为所在边的中点.求证:平面 MNP∥ 平面 A1C1B.

图 7-40-3

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[思考流程] 条件:M,N,P 为各边中点;目标:平 面 MNP∥平面 A1C1B;方法:根据面面平行的判定定理.
点 面 讲 考 向

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直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:连接 D1C,则 MN 为△DD1C 的中位线, ∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而 MN 与 MP 相交, MN, MP?平面 MNP, A1B, C1B ?平面 A1C1B,∴平面 MNP∥平面 A1C1B.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 证明面面平行的方法有: ①面面平行的定义. ②面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ③利用垂直于同一条直线的两个平面平行. ④两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面 平行. ⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相 互转化.

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直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 南宁一模] 如图 7-40-4,在三棱柱 ABC -A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点. 求证:(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

图 7-40-4

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:(1)由题意,GH 是△A1B1C1 的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

答题模板

8

平行关系证明的规范步骤

例 如图 7-40-5 所示, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是 否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.
多 元 提 能 力

图 7-40-5

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

解:存在点 E,且 E 为 AB 的中点.1 分 下面给出证明:如图 7-40-6,取 BB1 的中点 F,连接 DF,则 DF∥B1C1.2 分 ∵AB 的中点为 E,连接 EF, 则 EF∥AB1.3 分 B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1.5 分 而 DE? 平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1.6 分

图 7-40-6
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[ 方法解读 ] 解决探究性问题一般要采用执果索因的方 法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论 成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存 在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存 在.

多 元 提 能 力

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

自我检评 [2011· 安徽卷] 如图 7-40-7,ABEDFC 为多 面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA =1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角 形. (1)证明:直线 BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.
多 元 提 能 力
图 7-40-7

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解: (1)证明: 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点, 由于△OAB 1 与△ODE 都是正三角形,OA=1,OD=2,所以 OB 綊2DE,OG =OD=2.

多 元 提 能 力

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

1 同理,设 G′是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 OC 綊 DF, 2 OG′=OD=2,又由于 G 和 G′都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G′重合. 1 1 在△GED 和△GFD 中, 由 OB 綊 DE 和 OC 綊 DF, 可知 B 2 2
多 元 提 能 力

和 C 分别是 GE 和 GF 的中点.所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

3 (2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知 S△EOB= 2 . 而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S△OED= 3. 3 3 所以 S 四边形 OBED=S△EOB+S△OED= 2 . 过点 F 作 FQ⊥DG, 交 DG 于点 Q, 由平面 ABED⊥平面 ACFD 知,FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高,且 FQ= 3,所以 VF-OBED 1 3 =3FQ· S 四边形 OBED=2.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

【备选理由】 例1考查了线面平行的判断;例2重点考查了线面平行 的方法,是对线面平行的判断的巩固.

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例 1 如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 E,F,H, K 分别为 AC′, CB′, A′B, B′C′的中点, G 为△ABC 的重心. 从 K,H,G,B′中取一点作为 P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平 面 PEF 平行,则 P 为( ) A.K B.H C .G D.B

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[解析] C 假如平面 PEF 与侧棱 BB′平行则和三条侧棱都 平行,不满足题意,而 FK∥BB′,排除 A;假如 P 为 B′点, 则平面 PEF 即平面 A′B′C,此平面只与一条棱 AB 平行,排除 D. 若 P 为 H 点,则 HF 为△BA′C′的中位线,∴HF∥A′C ′;EF 为△ABC′的中位线,∴EF∥AB,HE 为△AB′C′的中位 线,∴HE∥B′C′,显然不合题意,排除 B.选 C.

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例 2 [2013· 南京期中] 如图所示, 在四棱锥 S-ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形,其中 AD∥BC,∠BAD 2 =90°,SA⊥底面 ABCD,SA=AB=BC=2.tan∠SDA= . 3 (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)在棱 SD 上找一点 E,使 CE∥平面 SAB,并证明.

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

2 解:(1)∵SA⊥底面 ABCD,tan∠SDA= ,SA=2, 3 ∴AD=3. 由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形,且 SA= AB=BC=2, 1 1 ∴VS-ABCD=3· SA· (BC+AD)· AB 2· 1 1 10 = ?2? ?(2+3)?2= . 3 2 3

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

(2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE∥平面 SAB. 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E,取 SA 上靠近点 A 的 三等分点为 F,连接 CE,EF,BF, 2 2 则 EF 綊 AD,BC 綊 AD, 3 3 ∴BC 綊 EF, ∴四边形 BCEF 为平行四边形, ∴CE∥BF. 又∵BF?平面 SAB,CE?平面 SAB, ∴CE∥平面 SAB.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第41讲 直线、平面垂直的 判定与性质

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考试大纲
1.理解以下判定定理. (1)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直. (2)如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个 平面互相垂直. 2.理解以下性质定理,并能够证明. (1)垂直于同一个平面的两条直线平行. (2)如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交 线的直线与另一个平面垂直. 3 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的位置关系的简单命题.
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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 知 识 梳 理 —— 一、直线与直线垂直 90° ,则称两直线垂 定义:两条直线所成的角为 ________ 直. 二、直线与平面垂直 1.定义 任意一条直线 都垂直,就称 如果直线 l和平面 α内的 ______________ 直 线 l 和 平 面 α 互 相 垂 直 , 记 作 l⊥ α. 直 线 l 叫 做 平 面 α 的 垂线 垂面 . ________ ,平面α叫做直线l的________

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

2.直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 根据定义:一条直 线与一个平面内的 任意直线 都垂直, ________ 则该直线与此平面 垂直 一条直线与一个平 _________ 判定 面内的两条相交直线 都垂直,则该直线 与此平面垂直 如果两条平行直线 一条 垂直于 中的______ 一个平面,那么 另一条 也垂直于同 ______ 一个平面 图形表示 符号语言 应用

b ? a? ??a ? a a ? b?
a ? a, b ? a ? a ?b ? O ? ? ??l ?? l?a ? ? l ?b ?

证直 线和 平面 垂直

a b ? ??b ? a a ? a?
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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类 别

语言表述 如果一条直线和 一个平面垂直, 那么这条直线和 这个平面内的 任意一条直线 ______________ 都垂直 垂直于同一个 平面 ________ 的两条 直线平行

图形表示

符号语言

应用

性 质

证两条 a ? a? ? ? a ? b 直线 b ? a? 垂直 证两条 直线 平行

a ? a? ? ?a∥b b ? a?

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

三、直线与平面所成的角 1.定义 射影 平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 ________ 所成的 锐角 ________ ,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图 7 - 41-1所示,∠PAO就是斜线PA和平面α所成的角.

图7-41-1

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

2.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是 直角 ________ ;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成 0° 的角. 的角是______ ? π? 3.直线和平面所成的角的范围是?0,2?.
? ?

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

四、二面角 半平面 所组成的图形 定义:从一条直线出发的两个________ 棱 叫做二面角.这条直线叫做二面角的________ ,这两个半 平面叫做二面角的________ . 面

图7-41-2

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

如图 7-41- 2所示,在二面角 α-l-β的棱l上任取一 点 O ,以点O 为垂足,在半平面 α和 β内分别作 ________ 于 垂直 棱 l 的射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的∠ AOB 叫做 二面角α-l-β的平面角 ________________________ . 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的取 值 范 围 是 [0 , π] , 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直二面角 ____________ .

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

五、两个平面垂直 1.如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又 互相垂直 , 这两个平面与第三个平面相交所得得两条交线 ________ 就称这两个平面互相垂直.平面α,β互相垂直,记作α⊥β.

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

2.两个平面垂直的判定和性质
类别 语言表述 根据定义, 证明两平 面所成的 二面角是 ______ 判定 图形表示 符号表示 应用

∠AOB是二面角α-l -β的平面角,且 ____________,则 ∠AOB=90° α⊥β

一个平面 过另一个 平面的 ______, 垂线 那么这两 个平面垂 直

直二面角

证两 平 面垂 直

l? β ? ________ ??α ⊥β l⊥α ?

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述 如果两个平面 垂直,那么它 们所成 二面角的平面角 ___________ 是直角

图形表示

符号表示 α⊥β,∠AOB 是二面角α-l -β的平面角, 则________
∠AOB=90°

应用

证两条 直线 垂直

性质 两个平面垂直, 则一个平面内 垂直于 交线 ______ 的直线垂直于 ____________
另一个平面

? ?? ? ? ? ??=l ? ? a? ? ?
a ?l )) ? ? ? a ??

证直线 与平面 垂直

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——
1.线面垂直 (1)直线 l 不垂直于平面 α,则 α 内与 l 垂直的直线 有无数条.( ) (2)l 与平面 α 内任意一条直线垂直, 则直线 l⊥平面 α.( ) (3)若两条直线垂直,则这两条直线相交.( ) (4)若一条直线垂直于一平面内的无数条直线, 则这 条直线垂直于这个平面.( ) (5)过一点作已知直线的垂面有且只有一个.( )

[答案]

(1)√

(2)√ (3)?

(4)?

(5)√

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

[解析] (1)可以有无数条. (2)由直线与平面垂直的定义,可知正确. (3)还可能异面垂直. (4)无数条直线可能都是平行直线,此时直线与平面就不 一定垂直. (5)此为直线与平面垂直的性质.

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第41讲
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直线、平面垂直的判定与性质

2. 面面垂直 (1)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条 直线,则 α⊥β.( ) (2)若两平面垂直,则其中一个平面内的任一条直线 垂直于另一个平面.( ) (3)若 α∥β,γ⊥β,则 α⊥γ.( )

[答案] (1)?

(2)? (3)√

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

[解析] (1)若这无数条直线都平行,则得不到 α 内的这条 直线垂直于 β,从而得不到 α⊥β. (2)若两平面垂直,则其中一个平面内垂直于两平面交线 的直线才垂直于另一个平面. (3)一个平面与两个平行平面中的一个垂直,那么也垂直 于另一个平面.

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

3.空间角 (1) 异 面 直 线 所 成 的 角 、 二 面 角 的 取 值 范 围 均 为 ? π? ?0, ?.( ) 2? ? (2)二面角是指两个相交平面构成的图形.( ) (3)边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二 面角, 则 AC 的长为 a.( ) (4)设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直,且 AB =BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120° ,则 AD 与平面 BCD 所成角的大小为 45° .( )

[答案] (1)?

(2)?

(3)√

(4)√

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

[解析] (1)二面角的取值范围是[0,π ]. (2)二面角是指两个相交的半平面构成的图形. (3)取 BD 的中点 E,连接 AE,EC,则 BD⊥AE, BD⊥EC, ∠AEC 是直二面角的平面角, 即∠AEC=90°, 2a 在 Rt△AEC 中, AE=EC= , 于是 AC= AE2+EC2= 2 a. (4)作 AO⊥CB 交 CB 的延长线于 O,连接 OD,则 ∠AOD=90°,OD 即为 AD 在平面 BCD 内的射影, 3 ∠ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角.∵AO=OD= 2 a,∴∠ADO=45°.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

考点统计
点 面 讲 考 向 1.线面、面面垂直的基 本问题

考频
0

示例(难度)

2.线面垂直的判定与性 质

解答(1)

2010年辽宁T18(B), 2012年北京T16(B), 2012年山东T15(B), 2012年浙江T20(B) 2009年辽宁T18(B), 2011年辽宁T18(B), 2012年北京T16(B)

3.面面垂直的判定与性 质

解答(2)

说明:A表示简单题, B表示中等题, C表示难题, 考频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点一

线面、面面垂直的基本问题

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 浙江卷] 设 l 是直线,α,β 是两个不同 的平面( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 天津二模] 下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平 行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存 在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么 l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直 于平面β

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 理解线面、 面面垂直的判断方 法;推理:根据判断方法逐一判断;结论:得出结论. (2)分析:理解面面垂直的性质;推理:根据面面垂直 的性质逐一判断;结论:得出正确结论.

[答案]

(1)B

(2)D

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[解析] (1)对于选项 A,若 l∥α,l∥β ,则 α∥β 或平面 α 与 β 相交;对于选项 B,若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β;对于选项 C, 若α ⊥β , l⊥α, 则 l∥β 或 l 在平面 β 内; 对于选项 D, 若 α⊥ β , l∥α,则 l 与 β 平行、相交或 l 在平面 β 内. (2)对于 A,在平面 α 内存在直线 l 平行于平面 α 与平面 β 的交线,则 l 平行于平面 β,故 A 正确. 对于 B,若平面 α 内存在直线垂直于平面 β,则平面 α 与 平面 β 垂直,故 B 正确. 对于 C,设 α∩γ=m,β∩γ=n,在平面 γ 内取一点 P 不 在 l 上,过 P 作直线 a,b,使 a⊥m,b⊥n.∵γ⊥α,a⊥m,则 a⊥α, ∴a⊥l, 同理有 b⊥l.又 a∩b=P, a?γ , b?γ , ∴l⊥γ. 故 C 正确. 对于 D,设α ∩β =l,则 l?α ,但 l?β .故在 α 内存在 直线不垂直于平面 β,即 D 错误.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 解决此类问题时,一要注意依据定理条件 才能得出结论,二是否定时只需举一个反例,三要会寻找 恰当的特殊模型(如构造长方体、正方体)进行筛选.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 郑州模拟] 设 a,b 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b?α,则 b∥α; ②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a? α; ④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[答案]
点 面 讲 考 向

D

[解析] 通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理,可 以判断四个命题都正确.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点二
例2

线面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[2012· 课程标准卷改编] 如图 7-41-3,直三棱 1 柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点, DC1⊥BD.证明:DC1⊥BC.

图 7-41-3

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

1 证明:连接 DC,在 Rt△DAC 中,由 AC= AA1,D 为 AA1 2 中点,得 AD=AC, ∴∠ADC=45°, 同理∠A1DC1=45°, ∴∠CDC1=90°,∴DC1⊥DC. 又 DC1⊥BD, ∴DC1⊥面 BCD. ∵BC?面 BCD, ∴DC1⊥BC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 证明直线和平面垂直的常用方法有: ①利用判定定理. ②利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α?b⊥α). ③利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β). ④利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时,在一个平 面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

变式题 如图 7-41-4,三棱锥 D-ABC 中,已知 BD⊥平面 ABC,AC=BC,N 是棱 AB 的中点.求证: CN⊥AD.
点 面 讲 考 向

图 7-41-4

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:∵BD⊥平面 ABC,CN?平面 ABC, ∴BD⊥CN. 又∵AC=BC,N 是 AB 的中点.∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB=B,∴CN⊥平面 ABD. 而 AD?平面 ABD,∴CN⊥AD.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点三

面面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

例 3 [2012· 杭州二模] 如图 7-41-5 所示,在四棱 锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,已知 BD=2AD = 8 , AB = 2DC= 4 5.M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

图 7-41-5

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:如题干;目标:证明面 MBD⊥面 PAD;方法:根据面面垂直的判定定理证明.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明: 在△ABD 中, 由于 AD=4, BD=8, AB=4 5, 所以 AD2+BD2=AB2,故 AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD= AD,BD?平面 ABCD,所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD?平面 MBD,故平面 MBD⊥平面 PAD.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的 证明方法主要有:判定定理法、平行线法(若两条平行线 中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、 面面垂直性质定理法,本题用的就是面面垂直性质定理法, 这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心 方法.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

变式题 如图 7-41-6 所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. 证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.
点 面 讲 考 向

图 7-41-6

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:∵A1B1⊥平面 B1C1CB, BM?平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BM. 由已知易得 B1M= 2,BM= 2,B1B=2, ∴B1M2+BM2=B1B2, ∴B1M⊥BM. 又∵A1B1∩B1M=B1, ∴BM⊥平面 A1B1M. 而 BM?平面 ABM, ∴平面 ABM⊥平面 A1B1M.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

答题模板

8

垂直关系证明的规范步骤

例 如图 7-41-7,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中, D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD, AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.
多 元 提 能 力
图 7-41-7

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:(1)因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD, 所以 D1D⊥BD.2 分 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° ,在△ABD 中,由余弦定 理得 BD= 3AD,所以 AD2+BD2=AB2, 即 AD⊥BD.4 分 又 AD∩D1D=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1? 平面 ADD1A1,所以 AA1⊥BD.5 分
多 元 提 能 力
图 7-41-8

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)连接 AC,A1C1.6 分 设 AC∩BD=E,连接 EA1, 1 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 EC=2AC.8 分 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知,A1C1∥EC 且 A1C1= EC, 所以四边形 A1ECC1 为平行四边形,因此 CC1∥EA1.10 分 又因为 EA1? 平面 A1BD,CC1?平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD.12 分

多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[方法解读] 在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行 转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进 一步转化为线线垂直.
多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

自我检评 [2012· 海口二模] 如图 7-41-9 所示,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, EF∥AC, AB= 2, CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.

多 元 提 能 力

图 7-41-9

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:(1)设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG=2AC=1, 所以四边形 AGEF 为平行四边形, 所以 AF∥EG. 因为 EG?平面 BDE, AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE.

多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

多 元 提 能 力

(2)如图,连接 FG. 因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1, 所以四边形 CEFG 为菱形, 所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BD⊥AC. 又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD, 且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC, 所以 BD⊥平面 ACEF. 所以 CF⊥BD. 又 BD∩EG=G. 所以 CF⊥平面 BDE.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

【备选理由】 例1考查了线线垂直的判断方法;例2考查了线面垂直 的判断方法;例3考查了面面垂直的判断方法.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例 1 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 DD1,DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 B1-EFC 的体积.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

解: (1)证明: 连接 BD1, 在△DD1B 中, E, F 分别为 D1D, DB 的中点,则 EF∥D1B. 又 EF?平面 ABC1D1,D1B?平面 ABC1D1, ∴EF∥平面 ABC1D1. (2)证明:由题易得 B1C⊥AB, B1C⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴B1C⊥平面 ABC1D1. 又 BD1?平面 ABC1D1, ∴B1C⊥BD1. 又 EF∥BD1, ∴EF⊥B1C.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

(3)∵CF⊥BD,CF⊥BB1,BD∩BB1=B, ∴CF⊥平面 BDD1B1, 即 CF⊥平面 EFB1. 又易得 CF=BF= 2,BD1=2 3, 1 ∴EF= BD1= 3. 2 又 B1F= BF2+BB12= ( 2)2+22= 6, B1E= B1D12+D1E2= 12+(2 2)2=3, ∴EF2+B1F2=B1E2, 故∠EFB1=90°, 1 1 3 2 S△B EF= EF· B1F= ? 3? 6= , 2 2 2 1 1 3 2 ∴VB -EFC=VC-B1EF=3· S△B EF?CF=3? 2 ? 2=1.
1 1 1

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例 2 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是 正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°, BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B-DEF 的体积.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中 点,连接 EG,GH.

由于 H 为 BC 的中点, 1 1 故 GH 綊2AB.又 EF 綊2AB,∴EF 綊 GH, ∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG∥FH.而 EG?平面 EDB,FH?平面 EDB, ∴FH∥平面 EDB.

教 师 备 用 题

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

(2)证明:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC, 又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 又 EF⊥FB,BC∩FB=B, ∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点, ∴FH⊥BC, ∴FH⊥平面 ABCD, ∴FH⊥AC. 又 FH∥EG,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴AC⊥平面 EDB.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高, 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2,△DEF 的高等于 CF = 2. 1 1 1 ∴VB-DEF=3?2?1? 2? 2=3.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例 3 在直平行六面体 AC1 中,四边形 ABCD 是菱形, AC∩BD=O. (1)求证:C1O∥平面 AB1D1; (2)求证:平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:(1)连接 A1C1 交 B1D1 于 O1,连接 AO1. 在平行四边形 AA1C1C 中,C1O1∥AO,C1O1=AO, ∴四边形 AOC1O1 为平行四边形,∴C1O∥AO1. ∵C1O?平面 AB1D1, AO1?平面 AB1D1, ∴C1O∥平面 AB1D1.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)在直平行六面体 AC1 中,A1A⊥平面 A1B1C1D1, ∴A1A⊥B1D1. ∵四边形 A1B1C1D1 为菱形,∴B1D1⊥A1C1. ∵ A1C1 ∩ AA1 = A1 , A1C1 ? 平面 ACC1A1 , AA1 ? 平面 ACC1A1, ∴B1D1⊥平面 ACC1A1. ∵B1D1?平面 AB1D1,∴平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第42讲 空间向量及其运算

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考试大纲
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理 及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向 量的数量积判断向量的共线与垂直.

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

—— 知 识 梳 理 —— 一、空间向量及其有关概念
共线向量 (平行向量) 共面向量 共线向 量定理 共面向 量定理 语言描述 表示空间向量的有向线段所在的直 平行或重合 线________

同一平面的向量 平行于________
对空间任意两个向量 a,b(b≠0), a=λb a∥b?存在 λ∈R,使________ 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序 实数对(x,y),使 p=xa+yb

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

语言描述 (1)定理:如果三个向量 a,b,c 不共 面,那么对空间任一向量 p,存在有 序实数组(x,y,z)使得 p= xa+yb+zc ________________ . (2)推论:设 O,A,B,C 是不共面 的四点, 则对空间一点 P 都存在唯一 → =xOA → 的三个有序实数 x,y,z 使OP → +zOC → 且 x+y+z=________ +yOB 1

空间向 量基本 定理

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

二、向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a∥b? ______________________________( λ∈R) a1b1+a2b2+a3b3=0 a⊥b?_________________________________

向量和 向量差 向量积 共线 垂直 夹角 公式

a1b1+a2b2+a3b3 cos〈a,b〉= a12+a22+a32 b12+b22+b32

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

三、两个向量的数量积
1.a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . a· b= 0 2.a⊥b?____________ . a2 3.|a|2=________ ,|a|= x2+y2+z2.

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.空间向量的线性运算 → + BC → (1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 AB → +DA → =0.( +CD ) (2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( ) (3)若a,b共线,则a与b所在直线平行.( ) (4)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若 → =x OA → +y OB → +z OC → (其中x,y,z∈R),则P,A, OP B,C四点共面.( ) →′ , (5)在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,向量 AB → ′,BD → 是共面向量.( AD )

[答案]

(1)√

(2)?

(3)?

(4)?

(5)√
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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

[解析] (1)中四点恰好围成一封闭图形,正确. (2)当 a,b 同向时,应有|a|+|b|=|a+b|. (3)a,b 所在直线可能重合. (4)需满足 x+y+z=1,才有 P,A,B,C 四点共面. → ′-AB →′=B → → ,∴AB →′,AD → ′,BD → 共面. (5)∵AD ′D′=BD

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

2.共线、共面与垂直 (1)已知向量 a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R, 若 ka-b 与 b 垂直,则 k=7.( ) (2)已知 a=(2, 4, x) , b=(2, y, 2), 若|a|=6, 且 a⊥b, 则 x+y 的值为 1 或-3. ( ) (3)与向量 a=(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标 ? 1 3 ? 的是?-2,2,-1?.( ) ? ? (4)已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7, 65 5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于 7 .( )

[答案] (1)√

(2)√

(3)√

(4)√

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

[解析] (1)∵(ka-b)⊥b, ∴(ka-b)· b=0, ∴ka· b-b2=0, 12+22+32 b2 ∴k= = =7. a· b (-1)?1+1?3 ? ? ?2?2+4y+2x=0, ?x=4, (2)∵a⊥b 且 |a| = 6 ,∴ ? 2 ?? 2 2 ? ? ?y=-3 ? 2 +4 +x =6 ? ?x=-4, 或? ∴x+y=1 或 x+y=-3. ? y = 1. ? (3)由两向量垂直的充要条件可得. (4)∵a,b,c 三向量共面,所以存在实数 m,n,使得 c ?7=2m-n, ? =ma+nb,即?5=-m+4n, ?λ=3m-2n, ? 65 ∴λ = 7 .
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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

3.空间向量的数量积 (1)已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则 (a+b)· (a-b)的值为-13.( ) (2)已知 a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则 a,b 夹 2 5 角的余弦值为- .( ) 15

[答案] (1)√

(2)√

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第42讲
双 向 固 基 础

空间向量及其运算

[解析] (1) a+b=(10,-5,-2), a-b=(-2,1,- 6),∴(a+b)· (a-b)=-13. 2 5 a· b (2)cos〈a,b〉= =- 15 . |a|· |b|

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第42讲

空间向量及其运算

考点统计 点 面 讲 考 向 1.空间向量的线性运算 2.空间向量基本定理的应用 3.空间直角坐标系与空间向量的 坐标运算 4.空间向量数量积的应用

考频 0 0 0 0

示例(难度) 2008年课标T13(A)

2008年课标T13(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题, 考频分析2009年~2012年辽宁卷情况.

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第42讲

空间向量及其运算

?

探究点一

线面、面面垂直的基本问题

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 海 口 二 模 ] 在 平 行 六 面 体 ABCD - →′=xAB → +2yBC → +3zCC → ′, A′B′C′D′中, 设AC 则 x+y+z 的值为 ( ) 11 5 2 7 A. B. C. D. 6 6 3 6 →+ (2)已知空间四边形 ABCD 中, G 为 CD 的中点, 则AB 1 → → (BD+BC)等于( ) 2 1 → 1 → → → A. AG B. AG C. BC D. BC 2 2

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 理解向量的加法, 减法和数乘 运算;推理:正确运用空间向量的加法运算用已知向量表 示出未知向量; 结论: 根据对应系数相等求 x+y+z 的值. (2)分析: 理解向量的线性运算; 推理: 利用向量的加、 减法运算;结论:计算得出结论.

[答案]

(1)A

(2)A

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第42讲

空间向量及其运算

→′=AB → +BC → +CC → ′, 又 [解析] (1)∵在平行六面体中, AC →′=xAB → +2yBC → +3zCC → ′, AC
点 面 讲 考 向

? x = 1, ? ?x=1, ?y=1, ? 11 2 y = 1 , 2 ? ? ∴ ∴ ∴x+y+z= 6 . ?3z=1 ? 1 ? ? z= , ? 3 1 → → → )= AB → + BG → = AG →. (2) 依题意有AB+2 (BD+ BC

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 对于两个向量的问题,由于其一定在同一 个平面上,空间向量和平面向量中的结论是完全一致的, 其中加减法、数乘向量的定义、向量的数量积在定义上、 运算律和性质上与平面向量完全一致,要把平面向量和空 间向量统一起来.

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第42讲

空间向量及其运算

?

探究点二

空间向量基本定理的应用

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 南宁一模] 已知{a,b,c}是空间一个基 底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量 p,q 构成空间另 一基底的是( ) A.a B.b C.c D.无法确定

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第42讲

空间向量及其运算

(2)[2012· 西宁一模] 如图 7-42-1,已知 ABCD 为正方形, P 是 ABCD 所在平面外一点,P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正 → =xPO → +yPQ → +PD → ,则 x 方形的中心 O,Q 是 CD 的中点,若PA
点 面 讲 考 向

+y=________.

图 7-42-1

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解空间向量基本定理;推理:根据空 间向量基底不共线;结论:可得向量 c. (2)分析:理解空间向量基本定理和共面定理;推理:根据共 → 与PO → 不共线;结论:求出 x,y,得出 x+y 的值. 面定理, PQ

[答案]

(1)C

(2)0

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)∵a,b,c 不共面,∴p,q,c 不共面.若存在 x, y∈R,使 c=xp+yq=(x+y)a+(x-y)b, 则 a,b,c 共面,矛盾,故 p,q,c 不共面. → -PD → =DA → =OA → -OD → =-OC → -OD → =-(OC → +OD → )= (2)PA → =-2(PQ → -PO → )=2PO → -2PQ → ,∵PA → =xPO → +yPQ → +PD →, -2OQ → -PD → =xPO → +yPQ →, → -2PQ → =xPO → +yPQ →, → 与PO →不 ∴PA ∴2PO ∵PQ 共线,∴x=2,y=-2,∴x+y=0.

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 空间向量基本定理是空间向量最重要的定 理,这个定理说明只要给出了空间三个不共面的向量,以 这组向量为基底,空间的任何向量都可以使用这组基底唯 一地线性表示.

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第42讲

空间向量及其运算

?

探究点三

空间直角坐标系与空间向量的坐标运算

点 面 讲 考 向

例 3 (1)已知在空间直角坐标系 O-xyz 中, 点 A(-3, → 5,-2),a=(-1,1,1),在 yOz 面上找一点 B,使得AB ∥a,则点 B 的坐标为________. (2)已知空间中三点 A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0, -1,2),则点 C 到直线 AB 的距离为________.

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程 ] (1)分析:理解空间坐标系和空间坐标运 算;推理:根据共线向量坐标之间关系做题;结论:求出 对应点 B 坐标. (2)分析:理解向量的夹角公式坐标表示;推理:求出 → ,AC → 〉 ;结论:根据 d=|AC → |· → ,AC → 〉得 cos〈AB sin〈AB 出结论. [答案] (1)(0,2,-5) 6 (2) 3

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第42讲

空间向量及其运算

→ =(3,y-5,z+2). ∵AB → ∥a, [解析] (1)设 B(0,y,z),则AB → =λa, ∴存在一个实数 λ,使得AB
点 面 讲 考 向

?3=-λ, ? 即(3,y-5,z+2)=λ(-1,1,1),∴?y-5=λ, 解得 λ ?z+2=λ, ? =-3,y=2,z=-5,∴点 B 的坐标为(0,2,-5). → =(1,1,-1),AC → =(-1,-1,2),cos〈AB → ,AC →〉 (2)AB →· → -4 AB AC 2 2 = = =- , 3 → |· →| 3· 6 |AB |AC 1 → → ∴sin〈AB,AC〉= , 3 6 → → → ∴点 C 到直线 AB 的距离 d=|AC|· sin〈AB,AC〉= . 3

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、 垂直、向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要我 们建立适当的坐标系,把空间几何体中涉及的直线和平面 使用向量表示,就可以使得几何证明通过代数运算得到解 决,这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想.

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 郑州一模] 已知 a=(-2,1,3),b=(- 1,2,1),若 a⊥(a-λb),则实数 λ 的值为( ) 14 14 A.-2 B.- 3 C. 5 D.2 (2)[2012· 长沙一模] 已知向量 a=(1,2,3),b=(-2,-4, -6),|c|= 14,若(a+b)· c=7,则 a 与 c 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

[答案] (1)D

(2)C

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)a-λb=(λ-2,1-2λ,3-λ),由 a⊥(a-λb),得 -2(λ-2)+1-2λ+9-3λ=0,解得 λ=2. (2)a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)· c=-a· c=7,得 a· c=-7,而|a|= 12+22+32= 14, 1 a· c 所以 cos〈a,c〉= =-2, 〈a,c〉=120°. |a||c|

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第42讲

空间向量及其运算

?

探究点四

空间向量的数量积的应用

点 面 讲 考 向

例4 [2012· 贵阳一模] 如图 7-42-2 所示, 在四棱 锥 M-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 AM 的长为 b,且 AM 和 AB,AD 的夹角都等于 60° ,N 是 CM 的中点. →, →, → 为基向量表示出向量CM →, (1)以AB AD AM 并求 CM 的长; (2)求 BN 的长.

图 7-42-2
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第42讲

空间向量及其运算

→ =AM → -AC → 解:(1)CM → -(AB → +AD → )=AM → -AB → -AD →, =AM
点 面 讲 考 向

→ |2=(AM → -AB → -AD → )2 |CM → 2+AB → 2+AD → 2-2AM →· → -2AM →· → +2AB →· → =AM AB AD AD =b2+a2+a2-2bacos60°-2bacos60°+2a2cos90°=2a2 -2ab+b2. → |= 2a2-2ab+b2. ∴CM=|CM 1 → → → 1 → → → → → → (2) BN = BC + CN = BC + 2 ( AM - AB - AD ) = 2 ( AM - AB + → ), AD 1 → 2 →2 → 2 2 → →· → +2AM →· → -2AB →· →) ∴|BN| =4(AM +AB +AD -2AM AB AD AD 1 → |=1 2a2+b2. =4(2a2+b2),∴BN=|BN 2
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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①应用数量积解决问题时一般有两种方法: 一是取相互之间夹角已知,模已知的基向量为基底表示题 中的向量再计算,二是建立空间直角坐标系利用坐标运算 来解决,后者更为简捷. ②在求立体几何中线段的长度时,转化为求a·a=|a|2, 或利用空间两点间的距离公式.

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第42讲

空间向量及其运算

变式题 (1)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠ACB=90° , ∠BAC =30° ,BC=1,AA1= 6,M 是 CC1 的中点,求异面直线 AB1 与 A1M 所成的角大小;
点 面 讲 考 向

图 7-42-3 (2)如图 7-42-3 所示, 已知空间四边形 ABCD 的各边和对 角线的长都等于 a,点 M,N 分别是 AB,CD 的中点. ①求证:MN⊥AB,MN⊥CD; ②求 MN 的长.
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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

解:(1)由条件知 AC,BC,CC1 两两垂直,以 C 为原点, CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 6 B(1,0,0),A(0, 3,0),B1(1,0, 6),M0,0, ,A1(0, 2 3, 6), 6 → → ∴AB1=(1,- 3, 6),A1M=0,- 3,- 2 , →1?A → AB π 1M → → → → cos〈AB1,A1M〉= =0,∴〈AB1,A1M〉= , 2 → → |AB1|?|A1M| π 即直线 AB1 与 A1M 所成角为 . 2

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

→ =p,AC → =q,AD → =r. (2)①证明:设AB 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p,q,r 三向量两两夹角 均为 60°. 1 → → 1→ 1 → → → MN=AN-AM=2(AC+AD)-2AB=2(q+r-p), 1 1 → → ∴MN· AB=2(q+r-p)· p=2(q· p+r· p-p2) 1 = (a2cos60°+a2cos60°-a2)=0. 2 ∴MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.

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第42讲

空间向量及其运算

点 面 讲 考 向

1 → ②由(1)可知MN= (q+r-p), 2 → |2=MN → 2=1(q+r-p)2 ∴|MN 4 1 2 2 =4(q +r +p2+2q· r-2q· p-2r· p) 2 1 2 a =4(a +a2+a2+a2-a2-a2)= 2 , 2 → ∴|MN|= a, 2 2 ∴MN 的长为 2 a.

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第42讲

空间向量及其运算

易错究源

17

共面向量定理使用不当致误

例 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1 → → → 和 A1D1 的中点.证明:向量A 1B,B1C,EF是共面向量.

多 元 提 能 力

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第42讲

空间向量及其运算

1→ → → → → → 错解 在正方体 AC1 中,A1B=A1F+FE+EB=FE+2B1C 1→ → → → → → + B1C=B 1C+FE,∴A1B,EF,B1C共面. 2
1→ → [错因] 错误使用了向量的相等关系,实际上A F ≠ 1 2B1C,
多 元 提 能 力

1→ 1→ → 1→ → → EB≠2B1C.由于误认为A1F=2B1C,EB=2B1C,虽然三个向量 → → → A 1B,B1C,EF之间符合共面向量定理的条件,但论证过程是 错误的.

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第42讲

空间向量及其运算

多 元 提 能 力

[正解] 证法一:如图 7-42-4 所示: → =EB → +BA →1+A → EF 1F 1→ 1 → → =2B1B-A1B+2A1D1 1 → → → =2(B 1B+BC)-A1B 1→ → = B1C-A 1B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知,A 1B,B1C,EF是共面向量.

图 7-42-4
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第42讲

空间向量及其运算

证法二:如图 7-42-5,连接 A1D,BD,取 A1D 中点 G, 1 1 连接 FG,BG,则有 FG 2DD1,BE 2DD1, ∴FG BE.

多 元 提 能 力

图 7-42-5

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. ∴EF 平面 A1BD. 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面 A1BD. → → → ∴A 1B,B1C,EF都与平面 A1BD 平行. → → → ∴A 1B,B1C,EF共面.
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第42讲

空间向量及其运算

→ =a, → =b, 自我检评 已知斜三棱柱 ABC-A′B′C′, 设AB AC →′=c, → =kAC → ′, AA 在面对角线 AC′和棱 BC 上分别取点 M, N, 使AM → =kBC → (0≤k≤1),求证:三向量MN → ,a,c 共面. BN

多 元 提 能 力

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第42讲

空间向量及其运算

→ =AB → +BN → =AB → +kBC → =AB → +k(AC → -AB →) 证明:∵AN =a+k(b-a)=(1-k)a+kb, → =kAC → ′=k(AA →′+AC → )=kb+kc, AM → =AN → -AM → =(1-k)a-kc. ∴MN → ,a,c 共面. ∵向量 a 和 c 不共线,∴MN
多 元 提 能 力

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第42讲

空间向量及其运算

【备选理由】 例1考查了空间向量坐标运算,目的在于直接考查空 间向量运算;例2考查空间向量的线性运算和共面定理的 应用,考查空间向量在线面平行中的应用.

教 师 备 用 题
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第42讲

空间向量及其运算

例 1 已知 a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,1, -1),p=(3,-5,4). (1)将 p 用 a,b,c 表示; (2)求 a· (b+c); (3)求〈b,c〉 .

教 师 备 用 题
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第42讲

空间向量及其运算

解:(1)设 p=xa+yb+zc,则(3,-5,4)=(x,y+z,- z) , ?x=3, ?x=3, ? ? ∴?y+z=-5,∴?y=-1,∴p=3a-b-4c. ?-z=4, ?z=-4, ? ? (2)a· (b+c)=(1,0,0)· (0,2,-1)=0. 1 2 b· c (3)∵cos〈b,c〉= = = , |b|· |c| 1? 2 2 π ∴〈b,c〉= . 4
教 师 备 用 题
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第42讲

空间向量及其运算

例 2 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 BC 边上的中点, 试证 A1B∥平面 AC1D.

教 师 备 用 题
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第42讲

空间向量及其运算

→ =a, →1=c, → =b, →1=BA → +AA →1=BA → 证明: 设BA BB BC 则BA →1=a+c, +BB 1→ 1 → → → → AD=AB+BD=AB+ BC=-a+ b, 2 2 →1=AC → +CC →1=BC → -BA → +BB →1=b-a+c, AC →1=AC →1-2AD → ,∵A1B?平面 AC1D, ∴BA 因此 A1B∥平面 AC1D.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第43讲 立体几何中的向量方 法(一)——平行与垂直的证明

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考试大纲
1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平 面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一 些定理(包括三垂线定理).

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 —— 一、直线的方向向量与平面的法向量的确定
1.直线的方向向量 → l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB 平行的任意非零向量 → ______________________ 为直线 l 的方向向量, 与AB 也是 直线 l 的方向向量. 2.平面的法向量可利用方程组求出 设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法

? a=0, ?n· ? ?n· b=0 ? 向量,则求法向量的方程组为____________ .

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

二、用向量证明空间中的平行关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1 v1∥ v2 . 与l2重合) ?________ 2.设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共 线 向 量 v1 和 v2 , 则 l∥α 或 l?α? 存 在 两 个 实 数 x , y , 使 v=xv1+yv2 ________________ . 3 .设直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 u ,则 v⊥ u . l∥α或l?α?________ 4 . 设 平 面 α 和 β 的 法 向 量 分 别 为 u1 , u2 , 则 α∥β u 1∥ u 2 . ?______

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

三、用向量证明空间中的垂直关系 1 . 设 直 线 l1 和 l2 的 方 向 向 量 分 别 为 v1 和 v2 , 则 v1· v2=0 . l1⊥l2?v1⊥v2?________ 2 .设直线 l 的方向向量为 v ,平面 α 的法向量为 u ,则 v∥ u . l⊥α?________ 3 . 设 平 面 α 和 β 的 法 向 量 分 别 为 u1 和 u2 , 则 u1· u2=0 . α⊥β?u1⊥u2?____________

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1, 0,-1),v2=(-2,0,2),则 l1 与 l2 的位置关系是平 行.( )

[答案]

(1) ?

(2)√

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

[解析] (1)只要是与直线平行的非零向量都是直线的方向 向量. (2)∵v2=-2v1,∴v1∥v2,l1∥l2.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

2.垂直关系 (1)平面的单位法向量是唯一的.( ) → =(2,2,1),AC → =(4,5,3),则平面 ABC (2)已知AB ?1 2 2? ? 的单位法向量是 n0=±? ,- , ? ) ?.( 3 3 3 ? ?

[答案] (1)?

(2)√

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
双 向 固 基 础

[解析] (1)平面的单位法向量有两个,它们的方向相反. →· ? n=0, ?AB (2)设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z).则? 即 →· ? n=0, ?AC 1 ? ? ?x = , ?2x+2y+z=0, ? 令 z=1,得? 2 ? ?4x+5y+3z=0. ? ?y=-1, ?1 ? ∴n=?2,-1,1?, ? ? ?1 2 2? n ? ,- , ?. ∴平面 ABC 的单位法向量为± =± 3 3? |n| ?3

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

考点统计
点 面 讲 考 向

考频
解答(1) 解答(2)

示例(难度)
2012年辽宁T18(B), 2012年浙江T20(B)

1.利用空间向量证明 平行问题 2.利用空间向量证明 垂直问题

2009年辽宁T19(B), 2011年辽宁T18(B), 2012年山东T18(B) 2012年北京T16(B)

3.利用空间向量解决 探索性问题

0

说明:A表示简单题, B表示中等题, C表示难题, 考频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

?

探究点一

利用空间向量证明平行问题

点 面 讲 考 向

例 1 [2012· 福州二模] 如图 7-43-1, 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,

图 7-43-1

B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
证明:方法一:如下图所示,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方 ? ?1 ? 1? 体的棱长为 1,则可求得 M?0,1,2?,N?2,1,1?,A1(1,0,1), ? ? ? ? B(1,1,0),

点 面 讲 考 向

?1 1? → 于是MN=?2,0,2?, ? ?

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
→1=0, → 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x, y, z). 则 n· DA 且 n· DB ? ?x+z=0, =0,∴? ? ?x+y=0, 取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). ?1 1? → 又MN· n=?2,0,2?· (1,-1,-1)=0, ? ? → ⊥n,又∵MN?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD. ∴MN

点 面 讲 考 向

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
1 → 1→ 1 → → =C → → → 方法二: ∵MN N - C M = C 1 1 1B1- C1C= (D1A1-D1D) 2 2 2
点 面 讲 考 向

1→ = DA1, 2 → ∥DA →1,又∵MN?平面 A1BD. ∴MN ∴MN∥平面 A1BD.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
归纳总结 ①证明直线 l1∥l2 时,分别取 l1,l2 的一个 方向向量 a,b,则 a∥b 存在实数 k,使 a=kb 或利用其坐 标 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3(其中 a=(a1,a2,a3),b=(b1, b2,b3)). ②证明直线 l∥平面 α 时,(i)可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n,证明 a· n=0.(ii)可在平面 α 内取基向 量{e1,e2},证明直线 l 的方向向量 a=λ1e1+λ2e2,然后说明 l 不在平面 α 内即可.(iii)在平面 α 内找两点 A,B,证明直 →. 线 l 的方向向量 n∥AB ③证明平面 α∥平面 β 时,设 α,β 的法向量分别为 a, b,则只需证明 a∥b.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

变式题 如图 7-43-2, 两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 有公共边 AB,∠EBC=90° ,M,N 分别是 BD,AE 上的点,且 AN=DM.求证:MN∥平面 EBC.
点 面 讲 考 向

图 7-43-2

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

点 面 讲 考 向

→ ,BC → ,BE → 为单位正交基底建立直角坐标系, 证明:以BA AN 则 A(1,0,0),D(1,1,0),E(0,0,1),B(0,0,0).设AE DM = BD =λ, → =MD → +DA → +AN → 则MN → +DA → +λAE → =λ(1,1,0)+(0,-1,0)+λ(-1, =λBD 0,1) → +λBE →. =(0,λ-1,λ)=(λ-1)BC → ∥平面 EBC, ∴MN ∵MN?平面 EBC,∴MN∥平面 EBC.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

?

探究点二

利用空间向量证明垂直问题

点 面 讲 考 向

例 2 如图 7-43-3,在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,

图 7-43-3

E, F 分别为棱 AB 和 BC 的中点, 试在棱 B1B 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
解:分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立 空间直角坐标系 D-xyz, ? ? 1 1 则 B1(1,1,1),D1(0,0,1),E?1,2,0?,F2,1,0,设 ? ? M(1,1,m), ? 1 1 ? ? ? 1 → → → 则EF=?-2,2,0?, B1E=?0,-2,-1?,D 1M=(1,1, ? ? ? ? m-1), → → ∵D1M⊥平面 FEB1,∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. 即D EF 1M? → → =0,且D 1M?B1E=0. ? 1 1 0=0, ?-2+2+(m-1)· 1 ∴? ∴m= . 2 1 ?0- +1-m=0, 2 ? 故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.
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点 面 讲 考 向

第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①证明直线 l1与l2垂直时,取l1,l2的方向 向量a,b,证明a·b=0. ②证明直线l与平面α垂直时,取α的法向量n,l的方向向 量a,证明a∥n.或取平面α内的两相交直线的方向向量 a, b与直线l的方向向量e,证明a·e=0,b·e=0. ③证明平面α与β垂直时,取α,β的法向量n1,n2,证明 n1·n2=0.或取一个平面 α的法向量 n,在另一个平面 β内取 基向量{e1,e2},证明n=λe1+μe2. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向 量和平面的法向量表示出来 ( 用已知向量表示或用坐标表 示 ).
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
变式题 如图 7-43-4 所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC, E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

点 面 讲 考 向

图 7-43-4

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
证明:∵AB,AD,AP 两两垂直,建立如下图所示的空间直 角坐标系,设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
点 面 讲 考 向

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
1 3 (1)∵∠ABC=60°,∴△ABC 为正三角形.∴C , ,0, 2 2 1 3 1 E , , . 4 4 2 →· → =0, 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC CD 2 3 2 3 → =-1, 3,0. ∴y= 3 ,即 D0, 3 ,0,∴CD 2 6 → =1, 3,1,∴AE →· → =-1?1+ 3? 3=0, 又AE CD 4 4 2 2 4 6 4 → ⊥CD → ,即 AE⊥CD. ∴AE

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), → =(1,0,0),AE → =1, 3,1, ∵AB 4 4 2 ?x=0, → ? ? n · AB = 0 , ? ∴? 即? 1 3 1 → x + ?n· AE=0, ? ? 4 y+2z=0, ?4 令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). → =0,2 3,-1,显然PD → = 3n. ∵PD 3 3 → ∥n,∴PD → ⊥平面 ABE. ∴PD 即 PD⊥平面 ABE.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

?

探究点三

利用空间向量解决探索性问题

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例 3 [2012· 北京卷] 如图 7-43-5(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上 的点, 且 DE∥BC, DE=2, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 7-43-5(2).

图 7-43-5

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(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点, 求 CM 与平面 A1BE 所成角的 大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P, 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

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解:(1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC, 所以 DE⊥AC, 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD, 所以 DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 A1C⊥CD, 所以 A1C⊥平面 BCDE.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明 (2)如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0), E(2,2,0). → →= 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· A BE 1B=0,n· 0. → → 又A 1B=(3,0,-2 3),BE=(-1,2,0), ? ?3x-2 3z=0, 所以? ? ?-x+2y=0. 令 y=1,则 x=2,z= 3,所以 n=(2,1, 3). 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ, → =(0,1, 3), 因为CM → ? ? n· CM 4 2 → 〉|=? ?= 所以 sinθ =|cos〈n,CM =2. → |? 8? 4 ?|n||CM π 所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 . 4
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明 (3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直, 理由如下: 假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3]. 设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则 → → =0. m· A DP 1D=0,m· → → 又A 1D=(0,2,-2 3),DP=(p,-2,0), ? ?2y-2 3z=0, 所以? ? ?px-2y=0. p 令 x=2,则 y=p,z= . 3 ? p? ? 所以 m=?2,p, ? . 3? ? ? 平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m· n=0, 即 4+p+p=0. 解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾. 所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

点 面 讲 考 向

归纳总结 探索性问题只要根据设问把问题确定下来 就变为了普通问题,解题的关键是如何把要探索的问题确 定下来.解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路: 一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量;二是 首先假设其存在,然后通过推理论证或是计算,如果得出 了一个合理的结果,就说明其存在;如果得出了一个矛盾 的结果,就说明其不存在.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

思想方法

17

建立空间直角坐标系简化运算

例 如图 7-43-6,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,△PAD 是等边三角形,底面 ABCD 是 边长为 2 的菱形,∠BAD=60° ,E 是 AD 的中点,F 是 PC 的中点.
多 元 提 能 力

图 7-43-6

(1)求证:BE⊥平面 PAD; (2)求证:EF∥平面 PAB; (3)求直线 EF 与平面 PBE 所成角的余弦值.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
[分析] (1)分析条件,证明 EP,EA,EB 两两垂直,建立 空间直角坐标系 E-xyz, 借助向量垂直的条件验证线线垂直, 由线线垂直验证线面垂直;(2)借助向量共线证明线线平行, 推出线面平行;(3)借助 EF 与平面 PBE 的法向量求线面角.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
解:EP,EA,EB 两两垂直,建立空间直角坐标系 E-xyz 如图 7-43-7.

多 元 提 能 力

图 7-43-7

易求 BE=PE= 3,则 E(0,0,0),A(1,0,0), B(0, 3,0),C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3), ? 3 3? ? 因为 F 是 PC 的中点,则 F?-1, , ? ?. 2 2 ? ?

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
→· → =0× (1)∵EB EA 1+ 3× 0+0× 0=0, → ⊥EA → ,即 EB⊥EA, ∴EB →· → =0× ∵EB EP 0+ 3× 0+0× 3=0, → ⊥EP → ,即 EB⊥EP, ∴EB ∵EA,EP 是平面 PAD 内的两相交直线, ∴EB⊥平面 PAD.
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? 3 (2)取 PB 中点为 H,连接 FH,AH,则 H? ?0, 2 , ? ? ? 3 3? 3 3? ? ? ? → → ∵EF=?-1, , ?,AH=?-1, , ? ?, 2 2 2 2 ? ? ? ?

3? ? , 2? ?

→ ∥AH →, ∴EF ∵又 EF?平面 PAB,AH? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
(3)∵y 轴? 平面 PBE,z 轴? 平面 PBE, ∴平面 PBE 的法向量为 n=(1,0,0), ? 3 3? ? → ∵EF=?-1, , ? , 2 2? ? ? 设直线 EF 与平面 PBE 所成角为 θ, ? → n? 10 15 ? EF· ? ∴sinθ=? → = ,∴ cos θ = , ? 5 5 |n|? ?|EF|·
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15 故直线 EF 与平面 PBE 所成角的余弦值为 5 .

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

多 元 提 能 力

[方法解读] 巧妙建系途径一:利用图形中现成的垂直 关系建立坐标系,当图形中有明显互相垂直且交于一点的 互相垂直的三条直线,可以利用这三条直线直接建系. 途径二:利用图形中的对称关系建立坐标系. 图形中虽没有明显交于一点的互相垂直的三条直线,但 有一定对称关系 (如正三棱柱、正四棱柱等 ),利用自身对 称性可建立空间直角坐标系. 途径三:利用面面垂直的性质建立坐标系. 图形中有两个互相垂直的平面,可以利用面面垂直的性 质定理,作出互相垂直且交于一点的三条直线,建立坐标 系.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
自我检评 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC,D,E 分别为 BB1,AC1 的中点. (1)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (2)设 AA1=AC= 2AB,求二面角 A1-AD-C1 的大小.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
解:(1)证明:如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点,设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c), → =(0, →1=(0, →· →1=0, 则ED b, 0), BB 0, 2c), ED BB 即 ED⊥BB1. 同理 ED⊥AC1. 因此 ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
→ =(-1, (2)由 AA1=AC= 2AB,不妨令 a=b=c=1,则BC -1,0), → =(-1,1,0),AA →1=(0,0,2), AB →· → =0,BC →· →1=0.即 BC⊥AB,BC⊥AA1, BC AB AA 又∵AB∩AA1=A, ∴BC⊥面 A1AD. → =(-1,0,-1),AE → =(-1,0,1),ED → =(0,1,0), 又EC →· → =0,EC →· → =0, EC AE ED 即 EC⊥AE,EC⊥ED,又∵AE∩ED=E,∴EC⊥面 C1AD. →· → 1 EC BC → → → 和BC → 的夹角为 60°.所 ∴cos〈EC,BC〉= =2,即得EC → ||BC →| |EC 以,结合图形得二面角 A1-AD-C1 为 60°.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

[点评] 二面角的求法,传统方法与向量解法各有千秋, 对于,两个法向量,若其中一个方向选择相反,求出夹角 为钝角,还需要依据图形的实际情况加以取舍或转化.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明

【备选理由】 例1考查利用空间向量证面面垂直,证明的关键可以 借助对应法向量的垂直来验证面面垂直;例2与例3也是考 查了空间向量的应用,建立恰当的空间坐标系是问题的关 键.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
例 1 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB = 2BC,E,F,E1 分别是棱 AA1,BB1,A1B1 的中点. 求证:平面 C1E1F⊥平面 CEF.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
证明:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设 BC=1,则 C(0,1,0), 1 E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11, ,2. 2 设平面 C1E1F 的法向量 n=(x,y,z). 1 → → 1=(-1,0,1), ∵C1E1=1,- ,0,FC 2 1 ? → ? ? C1E1=0, ?n· x-2y=0, ∴? 即? →1=0, ?n· ? FC ? ?-x+z=0,

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
令 x=1,则 y=2,z=1,∴n=(1,2,1). 设平面 EFC 的法向量为 m=(a,b,c), → =(0,1,0),FC → =(-1,0,-1), 由EF → =0, ? ? EF ?m · ?b=0, ∴? 即? → =0, ? ?-a-c=0. ? FC ?m· 令 a=-1,则 m=(-1,0,1). ∵m · n=1?(-1)+2?0+1?1=0, ∴平面 C1E1F⊥平面 CEF.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD,E,F 分别为棱 AD,PB 的中点,PD= AD. 求证:平面 CEF⊥平面 PBC.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
证明:以 D 为原点,直线 DA,DC,DP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图空间直角坐标系. 设 PD=1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0), 1 1 1 1 C(0,1,0),∴E2,0,0,F2,2,2,

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
设平面 CEF 的一个法向量为 n=(x,y,z), → =0, ? EF ?n· 1 1 → 则? ∵EF=0, , , 2 2 → ? EC=0, ?n· ?1 1 ? ?2y+2z=0, ?z=-y, 1 → EC=- ,1,0,∴? ∴? 2 ?x=2y, ?-1x+y=0, ? ? 2 令 y=1,则 n=(2,1,-1).

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
设平面 PBC 的一个法向量 u=(a,b,c), → =0, ? BC ?u· → =(-1,0,0), 则? ∵BC → =0, ? BP ?u· → =(-1,-1,1), BP
? ? ?-a=0, ?a=0, ∴? ∴? ? ?-a-b+c=0, ? ?b=c,

令 c=1,则 u=(0,1,1), ∵u?n=0, ∴u⊥n, ∴平面 CEF⊥平面 PBC.
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
例 3 如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所 在的平面互相垂直,AB= 2, AF=1,M 是线段 EF 的中 点. 求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
证明:(1)以 C 为原点,直线 CD,CB,CE 分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 设 AC∩BD=N,连接 NE. 2 2 则点 N,E 的坐标分别为 , ,0,(0,0,1). 2 2 2 2 → ∴NE=- 2 ,- 2 ,1. 2 2 又点 A,M 的坐标分别是( 2, 2,0), 2 , 2 ,1, 2 2 → ∴AM=- ,- ,1. 2 2
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第43讲 立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直 的证明
→ =AM → 且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. ∴NE 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. 2 2 → (2)由(1)知AM=- ,- ,1, 2 2 ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → =(0, 2,1). ∴DF →· → =0.∴AM → ⊥DF →. ∴AM DF → ⊥BF → .又 DF∩BF=F, 同理AM ∴AM⊥平面 BDF.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第44讲

立体几何中的向量 方法(二) ——空间角与距离的求解

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考试大纲
能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 —— 一、用向量法求空间的角
1.求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线,a,b 分别为 l1,l2 的方向向 量,l1,l2 所成的角为 θ,则〈a,b〉与 θ 相等或互补,
|a· b| |a||b| . ∴cosθ=________

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

2.求直线与平面所成的角 如图7-44-1,设l为平面α的斜线,l∩α=A, a为l的方 向向量,n为平面α的法向量,φ为l与α所成的角,则
|a· n| |a||n| . sinφ=|cos〈a,n〉|=________

图7-44-1
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

3.求二面角 平面α与β相交于直线l,平面α的法向量为n1,平面β的 法向量为n2,〈n1,n2〉=θ,则二面角α-l-β为θ或π-θ. 设二面角大小为φ,则|cosφ|=|cosθ|=
|n1?n2| |n1|?|n2|. ________

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

二、用向量法求空间距离

图7-44-2

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

1.求点到平面的距离 如图 7-44-2 所示,已知点 B(x0,y0,z0),平面 α 内一点 A(x1,y1,z1),平面 α 的一个法向量 n,直线 AB →〉 与平面 α 所成的角为 φ, θ= 〈n, AB , 则 sinφ=|cos 〈n, → 〉|=|cosθ|.由数量积的定义知,n· → =|n||AB → |cosθ,∴ AB AB →| | n · AB → |· → |· 点 B 到平面 α 的距离 d=|AB sinφ=|AB |cosθ|= . |n|

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双 向 固 基 础

2.求直线到平面的距离 如图 7-44-3 所示, 设直线 a∥平面 α, A∈a, B∈α, → n 是平面 α 的法向量,过 A 作 AC⊥α,垂足为 C,则AC ∥n, →· → +CB → )· →· ∵AB n=(AC n=AC n, →· → |· ∴|AB n|=|AC |n|, →· | AB n| → ∴直线 a 到平面 α 的距离 d=|AC|= . |n|

图 7-44-3
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

3.求两平行平面间的距离 →· |AB n| (1)用公式 d= 求, n 为两平行平面的一个法向 |n| 量,A,B 分别为两平面上的任意两点,如图 7-44-4 所示. (2)转化为点面距或线面距求解.

图 7-44-4

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.法向量 (1) 若 n1 , n2 分 别 是 平 面 α , β 的 法 向 量 , 则 n1∥n2?α∥β.( ) (2)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则 平 面 ABC 的 一 个 单 位 法 向 量 是 ? 3 3 3? ? ? ) - ,- ,- ? ?.( 3 3 3 ? ? (3)已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb +(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分 别为-1,2.( ) (4)已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4, -6,2),则 a∥c,a⊥b.( )
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

[答案]

(1)?

(2)√

(3)√

(4)√

[解析] (1)中平面 α,β 可能平行,也可能重合. →, (2)设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n⊥AB → , 于是 n· → =0,n· → =0, ∵AB → =(-1,1,0),AC →= n⊥AC AB AC ? ?-x+y=0, (-1,0,1),∴? 取 z=1,则 x=y=z=1.∴n ? ?-x+z=0. n =(1,1,1),故所求平面 ABC 的一个单位法向量为± =± |n| (1,1,1) 3 3 3 =± 3 , 3 , 3 . 3

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双 向 固 基 础

(3)c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4, ? a=0, ?c· m+2n-4,m-n+1),由? ∴m=-1,n=2. ? c· b = 0 , ? (4)∵c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,∴a∥c, 又 a?b=-2?2+(-3)?0+1?4=0,∴a⊥b.

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双 向 固 基 础

2.空间角
? π? (1)两异面直线夹角的范围是?0,2?, 直线与平面所成 ? ? ? π? 角的范围是?0,2?,二面角的范围是[0,π].( ) ? ?

(2)如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的 方向向量分别是 a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这 条斜线与平面所成的角是 60° .( ) (3)已知两平面的法向量分别为 m=(0, 1, 0), n=(0, 1,1),则两平面所成的二面角的大小为 45° .( ) (4)已知向量 m, n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、 1 法向量,若 cos〈m,n〉=-2,则 l 与 α 所成的角为 150° .( )
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双 向 固 基 础

[答案]

(1)√

(2)√ (3)?

(4)?

[解析] (1)根据各个角的定义判断. 1 1 (2)∵cos〈a,b〉= =2,又∵〈a,b〉∈(0,π ), 2· 2 ∴〈a,b〉=60°. 1 2 m· n (3)cos〈m,n〉= = = 2 ,即〈m,n〉=45 |m||n| 1? 2 °,其补角为 135°,∴两平面所成的二面角的大小为 45° 或 135°. 1 (4)设 l 与 α 所成的角为 θ,则 sinθ =|cos〈m,n〉|=2, ∴θ =30°.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

3.空间距离 (1)求点 P 到直线 l 的距离时,先在直线上找一点 Q, → 在直线 l 上投影的绝对值.( 然后求向量PQ ) (2)求点 P 到平面 α 的距离时,先在平面 α 上找一点 → 在平面的法向量方向上投影的绝对 Q ,然后求向量 PQ 值.( ) (3)与 A(-1,2,3),B(0,0,5)两点距离相等的点 的坐标(x,y,z)满足的等式为 2x-4y+4z-11=0. ( )

[答案]

(1)?

(2)√ (3)√

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
双 向 固 基 础

[解析] (1)如果点 P 在直线 l 上的射影为 R, 则 PR 是点 → 在直线 l 上投影的绝对值是 QR. 到直线的距离,向量PQ (2)根据点面距离的求法知正确. (3)设到 A,B 两点距离相等的点为 P(x,y,z),由|PA| =|PB|, 即(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=x2+y2+(z-5)2, 整理得 2x-4y+4z-11=0.

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考点统计
点 面 讲 考 向

考频 0

示例(难度)
2012年陕西T5(B)

1.利用空间向量求异面 直线所成的角

2010年辽宁T19(B), 2.利用空间向量求线面 解答(1) 2012年北京T16(B) 所成的角
2011年辽宁T18(B), 3.利用空间向量求二面 解答(2) 2012年辽宁T18(B) 角

4.利用空间向量求空间 距离

0

2012年湖南T18(B), 2012年江西T19(B)

说明: A表示简单题,B表示中等题, C表示难题, 考频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

?

探究点一

利用空间向量求异面直线所成的角

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 陕西卷] 如图 7-44-5,在空间直角坐 标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( ) 5 5 2 5 3 A. B. C. D. 5 3 5 5

图 7-44-5
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(2)[2013· 太原期中检测] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已 知 AB=4,AD=3,AA1=2,E,F 分别是线段 AB,BC 上的点, 且 EB=BF=1, 则直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值为________.
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
[思考流程] (1)分析:理解异面直线所成的角;推理:利用 →1,BC →1求异面直线所成角;结论:借助 cos〈AB →1,BC →1〉 向量AB
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→1?BC →1 AB = 得到异面直线所成角. → → |AB1||BC1| (2)分析:异面直线所成角和两个向量夹角的概念;推理: →1与FD →1所成角的余弦值;结论:根据|cos〈EC →1,FD →1 〉| 求出EC 得到直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值.
[答案] (1)A 21 (2) 14

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
[解析] (1)设 CB=1, 则 CA=CC1=2, 故 B(0, 0, 1), C1(0, →1 2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),则直线 BC1 的方向向量为BC →1=(-2,2,1),则 BC1 =(0,2,-1),AB1 的方向向量为AB →1?AB →1? ? ?BC ? 5 ? 3 ? ?=? 与 AB1 夹角的余弦值为? ?= 5 ,故选 A. 3 5 → → ? ? ? |BC1||AB1| ?

点 面 讲 考 向

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

点 面 讲 考 向

→ ,DC → ,DD → 1分别为 x 轴,y 轴,z (2)以 D 为坐标原点,DA 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则有 D1(0,0, 2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2), →1=(-3,1,2),FD →1=(-2,-4,2), 于是EC →1?FD → 1| |EC 21 设 EC1 与 FD1 所成的角为 β, 则 cosβ = = 14 , →1||FD → 1| |EC 所以直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 21 . 14
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

归纳总结
点 面 讲 考 向

? π? 异面直线所成角的范围是?0,2?,若异面直 ? ?

线 a,b 的方向向量为 m,n,异面直线 a,b 所成角为 θ, 则 cos θ=|cos〈m,n〉|.解题过程是: ①建系. ②求点坐标. ③表示向量. ④计算.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

?

探究点二

利用空间向量求线面所成的角

点 面 讲 考 向

例 2 [2012· 南昌三模] 如图 7-44-6 所示,已知点 P 在正方体 ABCD-A′B′C′D′的体对角线 BD′上, ∠PDA=60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小.

图 7-44-6

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:如图所示,以 D 为原点,DA,DC,DD′为 x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz. → =(1,0,0),CC → ′=(0,0,1). 设 DA=1,则DA
点 面 讲 考 向

连接 BD,B′D′. 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H. → =(m, →, →〉 →· → 设DH m, 1)(m>0), 由已知 〈DH DA =60°, 即DA DH → ||DH → |cos〈DH → ,DA →〉 =|DA , 可得 2m= 2m2+1. ? 2 ? 2 2 ? → 解得 m= 2 ,所以DH=? , ,1? ?. 2 ? 2 ?

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
2 2 ?0+ ?0+1?1 2 2 2 → → (1)因为 cos〈DH,CC′〉= =2, 1? 2 → ,CC → ′〉=45°,即 DP 与 CC′所成的角为 45°. 所以〈DH
点 面 讲 考 向

→ =(0,1,0). (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是DC 2 2 ? 0 + ?1+1?0 2 2 1 → ,DC → 〉= 因为 cos〈DH = , 2 1? 2 → ,DC → 〉=60°, 所以〈DH 可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30°.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①异面直线的夹角与向量的夹角有所不同, 应注意思考它们的区别与联系. ②直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面 的法向量的夹角,由于向量方向的变化,所以要注意它们 的区别与联系.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
[2012· 福州三模] 如图 7-44-7,已知三棱锥 P- 1 ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N 为 AB 上 一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 变式题

点 面 讲 考 向

图 7-44-7

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x, y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图.
点 面 讲 考 向
? ? 1? ?1 则 P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(2, 0, 0), M?1,0,2?, N?2,0,0?, ? ? ? ? ? ? 1 S?1,2,0?. ? ? ? 1 1 → ? 1 → ? (1)证明:CM=1,-1,2,SN= -2,-2,0?, ? ?

1 1 → → 因为CM?SN=-2+2+0=0,所以 CM⊥SN.
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
? 1 ? → (2)NC=?-2,1,0?, ? ?

点 面 讲 考 向

→· ? a=0, ?CM ? 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则 →· ? a=0, ?NC 1 ? x - y + ? 2z = 0, ∴? ?-1x+y=0, ? 2 1? ? ?-1-2? → 〉|=? ? 取 x=2,得 a=(2,1,-2).因为|cos〈a,SN 2 ? 3? ? 2 ? ? 2 =2, 所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45°.
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

?

探究点三

利用空间向量求二面角

点 面 讲 考 向

例 3 [ 2012· 成都三模] 如图 7-44-8 所示, 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° , AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

图 7-44-8

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解: (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余 弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD.又 AD∩PD=D. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD.

点 面 讲 考 向

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(2)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1).

点 面 讲 考 向

→ =(-1, 3,0),PB → =(0, 3,-1),BC → =(-1,0,0). AB

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点 面 讲 考 向

第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解 → =0, ? AB ?n· 设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z) ,则 ? 即 → ? PB=0, ?n· ? ?-x+ 3y=0, ? ? ? 3y-z=0. 因此可取 n=( 3,1, 3).设平面 PBC 的法向量为 m,则 → =0, ? PB ?m · ? → =0. ? BC ?m· -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3),则 cos〈m,n〉= =- 7 . 2 7 2 7 故结合图形知二面角 A-PB-C 的余弦值为- 7 .

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

点 面 讲 考 向

归纳总结 求二面角最常用的方法就是分别求出二面 角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向 量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断 所求角是锐角还是钝角.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
变式题 [2012· 济南三模] 如图 7-44-9 所示,在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2, BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

点 面 讲 考 向

图 7-44-9

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:(1)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形, ∴A,B,C,D,P 的坐标分别为 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2 2,0),D(0,2 2,0),P(0,0,2). 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点,∴E(0, 2,0),F(1, 2, 1). → =(2,2 2,-2),BF → =(-1, 2,1),EF → =(1,0,1). ∴PC →· → =-2+4-2=0,PC →· → =2+0-2=0. ∴PC BF EF → ⊥BF → ,PC → ⊥EF →, ∴PC ∴PC⊥BF,PC⊥EF.又 BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF.

点 面 讲 考 向

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
→ =(2,2 2,-2), (2)由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1=PC → =(0,2 2,0),∴n1?n2=8. 平面 BAP 的一个法向量 n2=AD
点 面 讲 考 向

设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ, |n1?n2| 8 2 则 cos θ =|cos〈n1,n2〉|= = = , |n1||n2| 4?2 2 2 ∴θ =45°. ∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

?

探究点四

利用空间向量求空间距离

点 面 讲 考 向

例 4 在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正 三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 3,M,N 分 别为 AB,SB 的中点,如图 7-44-10 所示,求点 B 到平 面 CMN 的距离.

图 7-44-10

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
[思考流程] 条件:如已知;目标:求点 B 到平面 CMN 的距 →| |n· MB 离;方法:适当建系,用 d= 求距离. |n|
点 面 讲 考 向

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:取 AC 的中点 O,连接 OS,OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO,AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC,∴SO⊥BO. 以 OA,OB,OS 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系 O-xyz,则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2). → =(3, 3,0),MN → =(-1,0, 2),MB → =(-1, 3, ∴CM 0). 设 n = (x , y , z) 为 平 面 CMN 的 一 个 法 向 量 , 则 →· ? n=3x+ 3y=0, ?CM ? 取 z=1, → ? n=-x+ 2z=0, ?MN· 则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1). →| 4 2 | n· MB ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d= = 3 . |n|
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点 面 讲 考 向

第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
归纳总结 点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它 的理论基础仍出于几何法.如本题,事实上,作 BH⊥平面 CMN → =BM → +MH → 及BH →· → ,得|BH →· → |=|BH → 于 H.由BH n=n· BM n|=|n· BM →| →| |n· BM |n· BM → |· |n|,所以|BH|= ,即 d= . |n| |n|

点 面 讲 考 向

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

答题模板10 空间向量方法解答立体几何试题的规范步骤
例 如图 7-44-11,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心, AA1=2 2, C1H⊥平面 AA1B1B, 且 C1H= 5. (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的平面角的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内, 且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长.

多 元 提 能 力

图 7-44-11
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:如图 7-44-12 所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点,依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2, - 2, 5),A1(2 2,2 2,0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2, 5).2 分 → =(- 2,- 2, 5),A→ (1)易得AC 1B1=(-2 2,0,0), 3分 →· AC A→ 4 2 1B1 → → 于是 cos〈AC,A1B1〉= → → = = 3 .4 分 3× 2 2 |AC|· |A1B1| 2 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 3 .5 分

多 元 提 能 力

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解 →1=(0,2 2,0),A→ (2)易知AA 1C1=(- 2,- 2, 5). ?m · A→ 1C1=0, 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),则? 即 → AA1=0, ?m ·
? ?- 2x- ? ? ?2 2y=0.

2y+ 5z=0,

多 元 提 能 力

不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2).6 分 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n = (x1 , y1 , z1) ,则 ? ?n· A→ ?- 2x1- 2y1+ 5z1=0, 1C1=0, ? 即? ? ?-2 2x1=0. A→ ?n· 1B1=0, 不妨令 y1= 5,可得 n=(0, 5, 2). m· n 2 2 于是 cos〈m,n〉= = = ,7 分 |m|· |n| 7· 7 7 3 5 从而 sin〈m,n〉= 7 .8 分 3 5 所以二面角 A-A1C1-B1 的平面角的正弦值为 7 .9 分
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多 元 提 能 力

第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解 ? 2 3 2 5? ? ? (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N? , , ?. 2 2 2 ? ? ? 2 ? 3 2 5 ? ? → =? -a, 设 M(a,b,0),则MN .10 分 - b , 2 2? ? 2 ? →· ?MN A→ 1B1=0, 由 MN⊥平面 A1B1C1,得? 即 → → A1C1=0, ?MN· ? ? ? ?? 2-a?· ? (-2 2)=0, 2 ?? ? ? ?? ? ?3 2 ? 5 ?? 2 ? ? ? · (- 2 )+ · (- 2 )+ × 5=0, - a - b ? ? 2 ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? ?a= 2 , ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? → 解得? 故 M? , ,0?.因此BM=? , ,0? ?, 2 4 2 4 ? ? ? ? 2 ?b= . 4 ? 11 分 10 → 所以线段 BM 的长|BM|= 4 .12 分

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
[方法解读] ①本题中易忽略的步骤为(2)中求出 cos〈m, n〉而直接下结论,本题是求其正弦值. ②本题易错点是在建立坐标系时,不能明确指出坐标原 点和坐标轴,导致建系不规范.同时,将向量的夹角转化成 空间角时,要注意根据角的概念和图形特征进行转化,否则 易错.

多 元 提 能 力

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
自我检评 [2012· 郑州二模 ] 如图 7 - 44 - 13 ,正方形 ADEF 和等腰梯形 ABCD 垂直,已知 AD∥BC,BC=2AD=4, ∠ABC=60° ,BF⊥AC. (1)求证:AC⊥平面 ABF; (2)求异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值.

多 元 提 能 力

图 7-44-13

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:(1)证明:因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩ 平面 ABCD=AD, AF⊥AD,AF?平面 ADEF,所以 AF⊥平面 ABCD. 故 AF⊥AC,又 BF⊥AC,AF∩BF=F,所以 AC⊥平面 ABF.

多 元 提 能 力

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(2)由(1)得 AF,AB,AC 两两垂直,则以 A 点为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 3,0),E(-1, 3, →· → 2). AC BE → =(0, → =(-3, 3, →, →〉 AC 2 3, 0), BE 2), cos 〈AC BE = → |· →| |AC |BE 6 3 = = , 2 3?4 4
多 元 提 能 力

3 即异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为 4 .

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解

【备选理由】 例1与例2考查了直线与直线、直线与平面的位置关系 及二面角等基础知识,另外考查了空间向量的应用,特别 是在求二面角中的应用.

教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
例 1 [2012· 福建卷] 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE? 若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由; (3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
→ ,AD → ,AA →1的方向分别为 x 轴,y 解:(1)以 A 为原点,AB 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设 AB=a,则 ?a ? A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E?2,1,0?,B1(a,0, ? ? ? a ? → →1=(a,0, 1),故 AD1=(0,1,1),B1E=?-2,1,-1?,AB ? ? ?a ? → 1),AE=?2,1,0?. ? ? a → → ∵AD1?B1E=- ?0+1?1+(-1)?1=0, 2 ∴B1E⊥AD1.
教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), → =(0,-1,z0). 使得 DP∥平面 B1AE.此时DP 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z). ? ?ax+z=0, →1,n⊥AE → ,得?ax ∵n⊥平面 B1AE,∴n⊥AB +y=0. ? ?2 ? ? a 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n=?1,-2,-a?. ? ? → ,有a-az0=0,解得 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP 2 1 z0=2. 又 DP?平面 B1AE,∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE, 1 此时 AP=2.
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教 师 备 用 题

第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(3)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1= AD=1,得 AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1, →1是平面 A1B1E 的一个法向量, ∴AD1⊥平面 DCB1A1.∴AD →1=(0,1,1). 此时AD →1与 n 所成的角为 θ, 设AD a -2-a →1 n· AD 则 cosθ = = . 2 → a |n||AD1| 2 1+ 4 +a2
教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°, 3a 2 3 ∴|cosθ |=cos30°,即 = , 5a2 2 2 1+ 4 解得 a=2,即 AB 的长为 2.

教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相 π 垂直,BE∥CF 且 BE<CF,∠BCF= 2 ,AD= 3,EF=2. (1)求证:AE∥平面 DCF; AB (2)设BE=λ, 当 λ 取何值时, 二面角 A-EF-C 的大小 π 为3? 例2

教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥DC. 又 BE∥CF,AB∩BE=B,DC∩CF=C, ∴平面 ABE∥平面 DCF. 又 AE?平面 ABE,∴AE∥平面 DCF.

教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
(2)过点 E 作 GE⊥CF 交 CF 于点 G, 由已知可得 EG∥BC∥AD,且 EG=BC=AD, ∴EG=AD= 3.又 EF=2,∴GF=1. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴DC⊥BC. π ∵∠BCF= 2 ,∴FC⊥BC. 又平面 ABCD⊥平面 BEFC, 平面 ABCD∩平面 BEFC= BC,∴FC⊥平面 ABCD.∴FC⊥CD. ∴以 C 为原点,CB,CD,CF 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.
教 师 备 用 题
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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
AB 设 BE=m,由BE=λ,得 AB=λm. ∴A( 3,λm,0),E( 3,0,m),F(0,0,m+1), → =(0,-λ m,m), ∴AE → =(- 3,0,1). EF 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z), → · → · 由 AE n = 0, EF n = 0 , 得
? ?-λy+z=0, ∴? ? ?- 3x+z=0, ? ?-λmy+mz=0, ? ? ?- 3x+z=0,

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第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距 离的求解
令 y= 3,可得平面 AEF 的一个法向量 n=(λ, 3, 3 λ). → =(0,λm,0)是平面 CEF 的一个法向量, 又CD →· π |CD n| 3λm 1 ∴cos = ,即 = . 2 3 |CD → ||n| 4λ +3· λm 2 3 解得 λ=2, π 3 ∴当 λ=2时,二面角 A-EF-C 的大小为 3 .

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