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高中数学北师大版选修2-3 6.1连续型随机变量课件(35张)

§6 正态分布 1 工厂制造的某机械零件的长度 X 服从正态分布 N(4, 900), 问在一次正常的试验中,取 1000 个零件时,长度不属于区间 (3.9,4.1)的零件大约有多少个? 提示: ? 1 ? 1 ? ? ∵X~N 4,900 ,∴μ=4,σ=30. ? ? ∴不属于区间 (3.9,4.1) 的概率为 P(X≤3.9) +P(X≥4.1) =1 -P(3.9<X<4.1)=1-P(4-0.1<X<4+0.1) =1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.997=0.003, ∴1 000×0.003=3(个), 即长度不属于区间(3.9,4.1)的零件大约有 3 个. 1.连续型随机变量 一切值 随机变量可以取某一区间中的__________ ,这种随机变量 称为连续型随机变量. 2.正态分布 σ2(σ>0) 正态分布由参数 ________ 和 ____________ 确定,通常用 μ X~N(μ,σ2) ________________ 表示 X 服从参数为 __________ 和 σ 的正态分 μ 布. 3.正态分布密度函数满足的性质 μ (1)函数图象关于直线x=_______ 对称. (2)σ(σ>0)的大小决定函数图象的“胖”、“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ-σ<X<μ+σ)=__________ , 68.3% 95.4% P(μ-2σ<X<μ+2σ)=__________ , 99.7% P(μ-3σ<X<μ+3σ)=__________. 正态曲线的理解 1.定义 注重理解μ,σ的含义:X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2. 2.性质 性质(1)说明函数的值域为正实数的子集,且以x轴为渐近 线;性质 (2) 是曲线的对称性,关于 x = μ 对称;性质 (3) 说明函 数x=μ时取得最大值;性质(4)说明正态变量在(-∞,+∞)内 取值的概率为1;性质(6)说明当均值一定,σ变化时,总体分布 的集中、离散程度. 3.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以 用样本均值去估计; σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征 数,可以用样本标准差去估计. 4.一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、 不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态 分布. 1.关于正态曲线性质的叙述: (1)曲线关于直线x=μ对称,整条曲线在x轴上方; (2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数; (3) 曲线在 x = μ 处处于最高点,由这一点向左右两边延伸 时,曲线逐渐降低; (4)曲线的对称位置由μ确定,曲线的形状由σ确定,σ越大 曲线越“矮胖”,反之,曲线越“高瘦”. 其中正确的是( A.(1)(2)(3) ) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) 解析: D.(1)(2)(3)(4) 根据正态曲线的性质,当x∈(-∞,+∞)时,正 态曲线全在 x 轴上方,只有当 μ = 0 时,正态曲线才关于 y 轴对 称,所以(2)不正确,选B. 答案: B 2.设随机变量 ξ~N(2,2),则 A.1 1 C. 2 ? ∴D? ? ? D? ? 1 ? ?的值为( ξ 2 ? ) B.2 D.4 解析: ∵ξ~N(2,2),∴Dξ=2. 1 ? 1 1 1 ? 2ξ?= 22Dξ= 4×2= 2. 答案: C 3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=__________. 解析: X~N(μ,σ2),则其密度曲线关于直线 x=μ 对称, 1 故 P(X≤μ)= 2. 答案: 1 2 4.如图所示,是一个正态曲线.试根据图像写出其正态 分布的概率密度函数的解析式,并求出总体随机变量的期望和 方差. 解析: 从正态曲线的图像,可知:该正态曲线关于直线 1 1 1 x=20 对称,最大值为 ,所以 μ=20, = ,解得 σ 2 π 2π· σ 2 π = 2.于是概率密度函数的解析式为 -?x-20?2 φμ,σ(x)= e ,x∈(-∞,+∞). 4 2 π 1 总体随机变量的期望是 μ=20,方差是 σ2=( 2)2=2. 课堂互动讲义 求正态分布密度函数 如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线 图,试根据图像写出其正态分布密度函数,并求出随机变量的 期望与方差. [思路导引] 利用图像求正态密度函数的解析式, 应抓住图 1 像的两个实质性特点:一是对称轴 x=μ,另一个是最值 . 2πσ 这两点确定以后,相应参数 μ,σ 便确定了,代入 f(x)中便可求 出相应的解析式. 解析: 为 1 10 2π 由图易知,该正态曲线关于 x=72 对称,最大值 ,所以 μ=72. 1 1 再 = 得 σ=10,于是概率密度函数的解析式是 2πσ 10 2π f ( x) = 10 2π 1 ?x-72?2 e- 200 ,x∈(-∞,+∞), 总体随机变量的期望是 μ=72,方差是 σ2=100. 利用图像求正态密度函数解析式要注意两点: 1 一是对称轴 x=μ;二是最值 求出 μ、σ 两个参数,代入正 σ 2π 态密度函数解析式即可. 1.如图所示,是一个正态曲线.试根据该图像写出其正 态分布的密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方 差. 解析: 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x 1 2 π ,所以 μ=20. =20 对称,最大值是 1 1 = ,解得 σ= 2. 2π· σ 2 π 于是概率密度函数的解析式是 f ( x) = 2 π 1 -?x-20?2 · e ,x∈(-∞,+∞). 4 总体随机变量的期望是 μ=20,方差是 σ2=( 2)2=2. 利用正态分布求概率 在某项测量中,测量结果服从正态分布 N(1,4) , 求正态总体X在(-1,1)