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(全国通用版)2019-2020高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2【优品

2.3.1 圆的标准方程
1 圆(x-3)2+(y+2)2=13 的周长是( )

A. π

B.2 π C.2π

D.2 π

解析:该圆的半径为 ,故周长为 2π · =2 π . 答案:B
2 圆(x-2)2+(y+3) 2=2 上的点与点(0,-5)的最大距离为( )

A.

B.2

C.4

D.3

解析:圆心为(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为

=2 ,又圆的半径为 ,

故所求最大距离为 2 答案:D

=3 .

3 从点 P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1 作切线,则切线长的最小值为( )

A.5

B.4

C.5.5

D.2

解析:切线长 d=

,故当 b=-2

时,d 取最小值 2 . 答案:D

4 三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为 x2+y2=R2(R 为地球半

径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )

A.x2+y2=2R2

B.x2+y2=4R2

C.x2+y2=8R2

D.x2+y2=9R2

解析:由题意知卫星距地面高度为 R,则方程为 x2+y2=4R2.故选 B.

答案:B

5 方程 y=-

表示的曲线是( )

1

A.一条射线

B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆

解析:由方程可得 y2=12-x2,于是 x2+y2=12,但 y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆

x2+y2=12 位于 x 轴下方的部分.

答案:D

6 圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),则圆 C 的方程



.

解析:设圆心 C(a,b),则



且|AC|=|BC|=r=

.

故(x-2)2+(y+3)2=5 为所求. 答案:(x-2)2+(y+3)2=5

7 圆(x-3)2+(y+1)2=1 关于直线 x+2y-3=0 对称的圆的方程是

.

解析:关于直线 x+2y-3=0 对称的两圆半径相等,圆心连线被直线 x+2y-3=0 垂直平分.设所求圆 的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.

由题意得

解得

故所求圆的方程为

=1.

答案:

=1

8 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(4,0),端点 A 在圆 x2+y2=1 上运动,则线段 AB 的中点的轨

迹方程为

.

答案:(x-2)2+y2=

2

9 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y= x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程. 解由题意可设圆的圆心为(1,b)(b>0).根据该圆与直线 y= x 相切,得

=1?

? b=

,故所求圆的方程为(x-1)2+(y- )2=1.

10 已知点 A(0,2)和圆 C:(x-6)2+(y-4)2= ,一条光线从点 A 出发射到 x 轴上后沿圆的切线 方向反射,求这条光线从点 A 到切点所经过的路程. 解设反射光线与圆相切于点 D,点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为 A1(0,-2),则光线从点 A 到切点 所走的路程为|A1D|.

在 Rt△A1CD 中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-

.

所以|A1D|=

,即光线从 A 点到切点所经过的路程是

.

11 已知点 P 是圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 上的任意一点,点 A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2 的
最大值和最小值. 分析:利用数形结合,转化为求圆 C 上的点与原点距离的最值. 解设 P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-

1)2+y2=2x2+2y2+2=2(

)2+2=2[

]2+2=2|OP|2+2,

由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4. 所以|PA|2+|PB|2 的最大值是 2×62+2=74,最小值是 2×42+2=34.

★ 12 有一种大型商品,A,B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回
运的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A,B 两地距离 10 千米,顾客选 A 或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求 A,B 两地售货区域的分界线的曲 线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

3

解如图,以 A,B 所确定的直线为 x 轴,A,B 中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系,则 A(5,0),B(5,0).

设某地 P 的坐标为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜并设 A 地的运费为 3a 元/千 米,B 地的运费为 a 元/千米.
价格+每单位距离运费×到 A 地的距离≤价格+每单位距离运费×到 B 地的距离,

即 3a

≤a

,

∵a>0,∴3

,



+y2≤

.

∴以点 C

为圆心,

为半径的圆是这两地购货的分界线.

圆 C 内的居民从 A 地购货便宜. 圆 C 外的居民从 B 地购货便宜. 圆 C 上的居民从 A,B 两地购货的总费用相等,因此,可随意从 A,B 两地之一购货.

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