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函数的基本性质


函数的基本性质

内容提要:
? ? ? ? 1、函数的单调性 2、函数的奇偶性 3、函数的对称性 4、函数的周期性

函数的基本性质(1)——单调性
? 1、定义:…(特别地:对“任意”的理 解——即“连续”) ? 2、证明单调性或求单调性常用方法: ? (1)定义法 ? (2)求导法 ? (3)数形结合(图象)法

例:
1、判断f(x)? ? x 3 ? a(a ? R)在(? ?, ? ?)的单调性 2、求证:f(x)? 1 ? x 2 在(? 1 , 0 )上是增函数 a 3、求:f(x)? ? bx,(a ? 0, b ? 0)的单调性 x 4、判断下列函数的单调性: ( 1 )y ? x 2 ? x ( 2 )y ? x ? 1 (x ? 3 ),(p 23例1 ) 5、若函数在?? 1 , 1?是增函数,且f(x ? 1 )? f ( x 2 ? 1)求 : x的取值 6、若函数在?a,b?上为增函数,在?b,c ?上为增函数,则在?a,c ?上为 A、增函数;B、减函数;C、增函数或减函数;D、不能确定
D

3、复合函数的单调区间求法——表解法

例: 1、求y ? 3 ? 2 x ? x 的单调区间
2

2、求:y ? log 3 (x ? x)的单调区间
2

4、较复杂题型 例1 : f ( x) ? 8 ? 2 x ? x 2若g ( x) ? f (2 ? x 2 )求:g ( x)的单调性 练习:y ? f ( x)在R上单调递减则y ? f ( x ? 3 )的单调区间为 _____ 5、带字母参数复合函数 练习 1:y ? log a (2 ? ax)在?0,1?上为减函数,求:a的取值范围
2

例1:y ? log 2 ( x 2 ? ax ? a )在( - ?, 1- 3 )为减函数,求:a的取值范围 2、y ? log 1 ( x 2 ? ax ? 3a )在?2,?? ?上为减函数,求:a的取值范围

作业1:
1、求证:f(x)? 1 ? x 2 在(? 1 , 0 )上是增函数 a 2、求:f(x)? ? bx,(a ? 0, b ? 0)的单调性 x 3、求下列函数的单调区间和值域 ( 1 )y ? log 1(x 2 ? x ? 2 )
2

1 x 2 ?5 x ? 6 ( 2 )y ?( ) 2

函数的基本性质(2)——奇偶性
? 1、定义及类型:…(特别地:(1)f(x) 2 2 ≡0时,为既奇又偶:例: f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ? (2)判断非奇非偶:f(-x)≠-f(x)且 ? f(-x )≠f(x);或定义域不关于原点对称) ? 2、求函数奇偶性注意事项: ? (1)先求定义域,判断其是否关于原点对称 ? (2)注意定义式的变通: f(-x)+f(x)=0 或f(-x)/f(x)=-1为奇函数; f(-x)-f(x) =0或f(-x)/f(x)=1为偶函数。

? ? ? ? ? ? ? ?

3、注意对称性质的应用: 奇函数关于原点对称;偶函数关于y轴对称 4、注意运算性质的应用: (1)奇函数有f(0)=0; (2)奇×奇=偶;奇+(-)奇=奇; 偶×偶=偶;偶+(-)偶=偶; 奇×偶=奇; (3)复合函数的奇偶性只和x有关:如f(x+1)是 奇函数即有f(-x+1)=- f(x+1)

题型训练:
? (1)定义题:(P24例2) ? (2)单调、奇偶性质综合题:(P24例3) ? (3)利用奇偶性质求函数解析式:
例:已知:f(x)在R上为奇函数,且x ? 0时, f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 1 求 : f ( x)的解析式

? ? ? ? ?

步骤: (1)按所求设x∈…; (2)把x化成已知条件取值范围; (3)代入条件; (4)利用奇偶性质求结果。

4、综合训练;
1、( 91全国)奇函数f(x)在区间?3, 7?上是增函数,且最小值为5, 则f(x)在区间?? 7, ? 3?上是 B A、增函数且最小值为 ? 5;B、增函数且最大值为 ? 5 C、减函数且最小值为 ? 5;D、减函数且最大值为 ? 5 2、若f(x)?(m ? 1 )x 2 ? 2mx ? 3为偶函数,则f(x)在区间?? 5, ? 2 ?是 A、增函数;B、减函数;C、非单调函数;D、由m定 3、f(x)是奇函数,则 D、f(x) ? f(? x)? 0; 4、若x、y ? R,f(x)定义域为R,f(x ? y)? f(x) ? f(y)则f(x)是 A A、奇函数;B、偶函数;C、非奇非偶函数;D、既是奇函数又是偶函数 5、函数f(x)的定义域为R且x ? 1 ,已知f(x ? 1 )为奇函数,当x ? 1时, f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1, 则x ? 1时, f ( x)的递减区间是 {x︱x≥7/4}
C A

A、f(x) ? f(? x)? 0; B、f(x) ? f(? x)? 0; C、f(x) ? f(? x)? 0;

对称问题
一、特殊对称:

1、点关于x轴,y轴,O对称;2、线关于x轴,y轴,
O对称;

3、点关于y=x对称;4、线关于y=x对称
二、普通对称: 1、点关于点对称;
注:1、点关于点的问题是对称中 最基本的问题,其实质是中点坐 标公式问题。

2、点关于线对称;
3、线关于点对称;

2、点关于线对称问题关键是利用 好垂直平分。
3、线关于点对称的关键是:用好 两点式

4、线关于线对称;

函数基本性质(3)对称性
3)对称变换 y轴 ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称. ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称. ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点 对 称. (4)y=f(x)关于y=x对称得_____ (5)y=f(x)关于y=-x对称得_____ (6)y=f(x)关于x=a对称得_____ (7)y=f(x)关于(a,b)对称得_____

对称变换:基础训练3
1、f ( x ) ? 2 x ? 1关于x轴对称的方程是 _____ 2、f ( x ) ? 2 x ? 1关于y轴对称的方程是 _____ 3、f ( x) ? 2 x ? 1关于原点对称的方程是 _____ 4、f ( x ) ? 2 x ? 1关于y ? x对称的方程是 _____ 5、f ( x) ? 2 x ? 1关于y ? ? x对称的方程是 _____ 6、f ( x ) ? 2 x ? 1关于直线x ? 3对称的方程是 _____ 7、f ( x ) ? 2 x ? 1关于点( ? 2,3)对称的方程是 _____ 8、f ( x) ? lg( ? x ? 1)由y ? lg x如何变得? 9、y ? lg x向左平移1单位,再作关于原点对 称后的解析式

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例1

例2 例3

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函数的基本性质(3)——对称性证明
? ? ? ? ? ? ? 例:已知函数f(x)定义在R上,且f(a+x)=f(a-x) 求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称 证明函数y=f(x)的图象关于…对称的思路: (1)先在y=f(x)的图象上任取一点(x0,y0) (2)求出(x0,y0)关于…的对称点(x‵,y‵) (3)证明(x‵,y‵)满足 方程 练:对于定义在R上的函数f(x)若f(x) +f(2a-x)=2b,求证: y=f(x)的图象关 于(a,b)成中心对称

例:(05湖南)设f ( x)的图像关于点(1,2)对称 且存在反函数f ?1 ( x), f (4) ? 0, 则f ?1 (4) ? _______ -2

作业:
1.已知点A(5,8),B(4,1)试求A点关于 B点的对称点。 2.求直线3x-y-4=0关于点P(2,1)对称的直 线l的方程及关于直线x=2对称方程 3、求:点P(2,1)关于直线3x-y-4=0对称的对
称点的坐标。
4、求直线3x-y-4=0关于直线x-y+4=0对称的直 线l的方程。 ?5、一光线从A(3,2)出发,经x轴反射通 过B(-1,6),求:入射光线所在的直线方程。

? 函数的基本性质(4)——周期性 ? (一) 主要知识: ? 周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使 x) 得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f (具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期, ? 则KT ( k ? Z , k ? 0 )也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最 小正周期. 几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数: ? 函数满足对定义域内任一实数(其中为常数), ? ① f ? x ? ? f ? x ? a ? 则 y ? f ? x ? 是以T=a为周期的周期函数; ? ② f ? x ? a ? ? ? f ? x ? 则y ? f ? x ? 是以T=2a为周期的周期函数; 1 ? ③ f ? x ? a? ? ? 则 y ? f ? x ? 是以T=2a为周期的周期函数;
f ? x?

? ④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? 则 y ? f ? x ? 是 T=2a 以为周期的周期函数;

1 ? f ( x) f ( x ? a) ? 1 ? f ( x) 则 y ? f ? x ? 是以T=2a 为周期的周期函数. ? ⑤

1 ? f ( x) f ( x ? a ) ? ? ⑥ 1 ? f ( x) ,

则f(x)是以为T=4a周期的周期函数.

1 ? f ( x) f ( x ? a) ? ⑦ 1 ? f ( x)

,则f(x)是以为T=4a周期的周期函数.

⑧函数y=f(x)满足 f (a ? x) ? f (a ? x) (a>0),若f(x) 为奇 函数,则其周期为T=4a,若f(x)为偶函数,则其周期为 T=2a. ⑨函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b都对称,(a<b)则函 数是以2(b-a)为周期的周期函数; ⑩函数y=f(x)的图象关于A(a,y0), B(b,y0),两点都对称, (a<b)则函数是以 2(b-a) 为周期的周期函数; ⑾函数y=f(x)的图象关于A(a,y0)和直线x=b对称, (a<b)则 函数是以 4(b-a)为周期的周期函数; (12)函数y=f(x)的图象满足f(a+x)+f(b+x)=0, (a<b)则函数 是以 2(b-a)为周期的周期函数;

例题:
例1:(09全国理)函数f ( x)的定义域为R,若 f ( x ? 1)与f ( x ? 1)都是奇函数则 A、f ( x)为偶函数 B、f ( x)为奇函数 C、f ( x) ? f ( x ? 2) D、f ( x ? 3)为奇函数

函数的基本性质(4)——周期性
? 例2:f(x)为偶函数且是定义在实数集 上的周期函数,周期为2,当2≤x≤3时, f(x)=x,则当x∈〔-2,0〕时, 求:f(x)=
? 例3:(05广东19题,本小题满分14分)
? 设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. ? (Ⅰ)试判断函数的奇偶性; ? (Ⅱ)试求方程在闭区间[-2005,2005]上的根的个数, 并证明你的结论.


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