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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.1 数列的概念与简单表示法


§ 6.1

数列的概念及简单表示法

1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 按其他标准 分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数 列的通项公式.
? S1 ? 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=? ? ?Sn-Sn-1

类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

满足条件 项数有限 项数无限 an+1__>__an an+1__<__an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起,有些项大于它的前一 项,有些项小于它的前一项的数列 其中 n∈N*

?n=1?, ?n≥2?.

-1-

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达.( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ 1+?-1?n 1 (3)数列:1,0,1,0,1,0,?,通项公式只能是 an= .( × ) 2


)

(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对?n∈N*,都有 an+1=Sn+1-Sn.( √

) )

(5)在数列{an}中,对于任意正整数 m,n,am+n=amn+1,若 a1=1,则 a2=2.( √ (6) 若已知数列 {an} 的递推公式为 an + 1 = 项.( √ )

1 ,且 a2 = 1 ,则可以写出数列 {an} 的任何一 2an-1

1.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),而数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的值 为( )

A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 解析 ∵an+1-an=-3, ∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n. ∵a7=22-21=1>0,a8=22-24=-2<0, ∴n=7 时,数列{an}的前 n 项和最大. 2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64 答案 A 解析 ∵Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当 n=1 时符合上式, ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 2 1 3.(2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 答案 (-2)n
-1

)

解析 当 n=1 时,a1=1; 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1, 3 3

-2-



an - =-2,故 an=(-2)n 1. an-1


当 n=1 时,也符合 an=(-2)n 1. 综上,an=(-2)n 1.


4.(2013· 安徽)如图,互不相同的点 A1,A2,?,An,?和 B1,B2,?,Bn?分别在角 O 的两 条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1, a2=2,则数列{an}的通项公式是________.

答案 an= 3n-2 解析 由已知 S 梯形 An Bn Bn+1 An+1

=S梯形An+1Bn+1Bn+2 An+2=S?OBn+1An+1-S?OBn An

=S? OBn+2 An+2-S? OBn+1An+1,

即S? OBn An+S?OBn+2 An+2 =2S? OBn+1An+1
2 2 2 2 2 由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA2 n+OAn+2=2OAn+1,即 an+an+2=2an+1, 2 2 因此{a2 n}为等差数列且 an=a1+3(n-1)=3n-2,

故 an= 3n-2.

题型一 由数列的前几项求数列的通项 例 1 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. 2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所以 an= n . 2 (3) 奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子 ( - 1)n ;各项绝对值的分母组成数列

-3-

1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1, 2+?-1?n 偶数项为 2+1,所以 an=(-1)n· . n

?-n,n为正奇数, 也可写为 a =? 3 ?n,n为正偶数.
n

1

9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103- 3 3 3 3 1,104-1,?, 1 所以 an= (10n-1). 3 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分

式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征,应多进 行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想. (1)数列-1,7,-13,19,?的一个通项公式是 an=________. 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公式是 an=________. 2 10 17 2n+1 答案 (1)(-1)n· (6n-5) (2) 2 n +1 解析 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n
+1

表示,其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝

对值总比前面的数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 2×1+1 2×2+1 2×3+1 2×4+1 2n+1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 2 ,故 an= 2 . 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 n +1 题型二 由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项 例 2 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b. 解 (1)a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3 n 1.
- -

当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式.
-4-

∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1;


? ?3+b,n=1, 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?2· 3 ,n≥2. ? ?S1,n=1, ? 思维升华 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适 ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则 用分段函数的形式表示. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________________.
? ?2,n=1, 答案 an=? ?6n-5,n≥2 ?

解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
? ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?

题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 例 3 (1)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________. (2)数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则它的一个通项公式为 an=________. n+2 (3)在数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a ,则{an}的通项公式为________. 3 n n?n+1? - 答案 (1) +1 (2)2×3n 1-1 2 解析 (1)由题意得,当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) ?n-1??2+n? n?n+1? =2+(2+3+?+n)=2+ = +1. 2 2 1×?1+1? 又 a1=2= +1,符合上式, 2 n?n+1? 因此 an= +1. 2 (2)方法一 (累乘法) an+1=3an+2,即 an+1+1=3(an+1), 即 an+1+1 =3, an+1 n?n+1? (3)an= 2

-5-

a2+1 a3+1 a4+1 an+1+1 所以 =3, =3, =3,?, =3. a1+1 a2+1 a3+1 an+1 将这些等式两边分别相乘得 an+1+1 n =3 . a1+1

an+1+1 n 因为 a1=1,所以 =3 , 1+1 即 an+1=2×3n-1(n≥1), 所以 an=2×3n 1-1(n≥2),


又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n 1-1.


方法二 (迭代法) an+1=3an+2, 即 an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1)=33(an-2+1) =?=3n(a1+1)=2×3n(n≥1), 所以 an=2×3n 1-1(n≥2),


又 a1=1 也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n 1-1.


(3)由题设知,a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= a- a . 3 n 3 n-1 ∴ ∴ an n+1 = . an-1 n-1 an n+1 a4 5 = ,?, = , a3 3 an-1 n-1

a3 4 a2 = , =3. a2 2 a1 以上 n-1 个式子的等号两端分别相乘, an n?n+1? 得到 = , a1 2 n?n+1? 又∵a1=1,∴an= . 2 思维升华 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解. 当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an an =an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1 n-1 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an= · an-1(n≥2),则 an=________. n (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N*),则 a5 等于(
-6-

)

A.-16 B.16 C.31 D.32 1 答案 (1) (2)B n n-1 解析 (1)∵an= a (n≥2), n n-1 n-2 1 ∴an-1= a - ,?,a2= a1. 2 n-1 n 2 以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a1 1 12 an=a1· · · ?· = = . 23 n n n 1 当 n=1 时也满足此等式,∴an= . n (2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=2an-2an-1, ∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2, 故 a5=a1×q4=24=16.

由 Sn 求 an 忽视 n=1 时的情况致误 典例:(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=________. (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为________. 易错分析 解答本题易错点: (1)不会利用 an=Sn-Sn-1 的关系推导 n 和 an 之间的关系; (2)对 n=1 不进行验证. 解析 (1)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
? ?2,n=1, 故 an=? ? ?2n-1,n≥2.

(2)当 n=1 时,a1=S1=-1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1,


? ?-1,n=1, ∴an=? n-1 ?2 ,n≥2. ?

-7-

? ?2,n=1, 答案 (1)? ?2n-1,n≥2 ?

? ?-1,n=1, (2)an=? n-1 ?2 ,n≥2 ?

温馨提醒 由 an=Sn-Sn-1 求 an 时的 n 是从 2 开始的自然数,由此求得的 an 不一定就是它的 通 项 公 式 , 必 须 验 证 n = 1 时 是 否 也 成 立 , 否 则 通 项 公 式 只 能 用 分 段 函 数 an =
?S1, n=1, ? ? 来表示. ? ?Sn-Sn-1, n≥2

方法与技巧 1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n 或(-1)n
+1

来区分奇偶项

的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想 和转化的方法.
? ?S1 2.强调 an 与 Sn 的关系:an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?.

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有两种常见思 路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式. 失误与防范 1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列 an=f(n)和函数 y=f(x)的单调性是不同的. 2.数列的通项公式不一定唯一.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,?的一个通项公式是 an 等于( ?-1?n+1 A. 2 C.cos n+1 π 2 B.cos D.cos nπ 2 n+2 π 2 )

答案 D 解析 令 n=1,2,3,?逐一验证四个选项,易得 D 正确.

-8-

2.已知数列{an}中,a1=1,若 an=2an-1+1(n≥2),则 a5 的值是( A.7 B.5 C.30 D.31 答案 D

)

解析 由题意得 a2=2a1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31. 3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+?+a10 等于( A.15 B.12 C.-12 D.-15 答案 A 解析 由题意知,a1+a2+?+a10 =-1+4-7+10-?+(-1)10×(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+?+[(-1)9× (3× 9-2)+(-1)10× (3× 10-2)] =3×5=15. n 1 4.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于( a n+1 5 5 6 1 A. B. C. D.30 6 5 30 答案 D n-1 n 1 1 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = ,所以 =5×6=30. n a5 n+1 n?n+1? 5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1an=2n(n∈N*),则 a10 等于( A.64 B.32 C.16 D.8 答案 B 解析 因为 an+1an=2n, 所以 an+1an+2=2n 1,


)

)

)

an+2 两式相除得 =2. an 又 a1a2=2,a1=1,所以 a2=2, 则 a10 a8 a6 a4 · · · =24,即 a10=25=32. a8 a6 a4 a2

1 34 6.若数列{an}满足关系:an+1=1+ ,a8= ,则 a5=________. an 21 答案 8 5

21 13 8 解析 借助递推关系,则 a8 递推依次得到 a7= ,a6= ,a5= . 13 8 5 7. 数列{an}中, a1=1, 对于所有的 n≥2, n∈N*, 都有 a1· a2· a3· ?· an=n2, 则 a3+a5=________. 答案 61 16

解析 由题意知:a1· a2· a3· ?· an-1=(n-1)2,
-9-

n 2 3 5 61 ∴an=( ) (n≥2),∴a3+a5=( )2+( )2= . 2 4 16 n-1 8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是 ________. 答案 (-3,+∞) 解析 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N*, 都有 an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理, 得 2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1).(*) 因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需 λ>-3. 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 1-2.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式. 解 (1)当 n=1 时,a1=S1=22-2=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-2-(2n-2)


=2n 1-2n=2n;


因为 a1 也适合此等式,所以 an=2n(n∈N*). (2)因为 bn=an+an+1,且 an=2n,an+1=2n 1,


所以 bn=2n+2n 1=3· 2n.


10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故数列从第 7 项起各项都是正数. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于( A.3×4 C.4
5 4

)

B.3×4 +1 D.45+1

4

答案 A

- 10 -

解析 当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列.
?1?n=1?, ? 又 a2=3S1=3a1=3,∴an=? n-2 ?3×4 ?n≥2?. ?

∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44.


12.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 答案 B 解析 当 an+1>|an|(n=1,2,?)时, ∵|an|≥an,∴an+1>an, ∴{an}为递增数列. 当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则 a2>|a1|不成立, 即知:an+1>|an|(n=1,2,?)不一定成立. B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

综上知,“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. n2 13.已知数列{ 2 },则 0.98 是它的第________项. n +1 答案 7 解析 n2 49 =0.98= ,∴n=7. 50 n +1
2

2 14.若数列{n(n+4)( )n}中的最大项是第 k 项,则 k=________. 3 答案 4 解析 由题意得

?k?k+4??3? ≥?k+1??k+5??3? ? 2 2 ?k?k+4??3? ≥?k-1??k+3??3?
k k

2

2

k+1

, ,

k-1

2 ? ?k ≥10, ? 所以 2 由 k∈N*可得 k=4. ?k -2k-9≤0, ?

15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n 1=2(Sn-3n).


- 11 -

即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n 1,n∈N+.


(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n 1,n∈N+,


于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n 1-3n 1-(a-3)2n
- - -2

=2×3n 1+(a-3)2n 2,
- -

an+1-an=4×3n 1+(a-3)2n


-2

3 - - =2n 2[12( )n 2+a-3], 2 3 - 当 n≥2 时,an+1≥an?12( )n 2+a-3≥0?a≥-9. 2 又 a2=a1+3>a1.综上,所求的 a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).

- 12 -


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