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山东省武城县第二中学2014-2015学年高二下学期6月数学(理)测试题五


2015.6 高二数学(理科)测试题五 命题人:杨俊芝 审核:付天坤 第Ⅰ卷 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。

1+z 1.设复数 z 满足 1 ? z =i,则|z|=
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

2. (安徽理 7)命题“所有能被 2 整聊的整数都是偶数”的否定是 (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的数都是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的数都不是偶数

3.(福建理 5) A.1

? 0(e

1

x

? 2 x)dx
等于 B. e ? 1 C. e D. e ? 1

4.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 5.(湖南理 4)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 爱好 不爱好 总计
2 2

男 40 20 60
2

女 20 30 50

总计 60 50 110
2



n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

110 ? ? 40 ? 30 ? 20 ? 20 ? K ? ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50 算得, .
0.010 6.635 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

参照附表,得到的正确结论是 A.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.再犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 6.函数 f ( x) ?

x ? cos x 在 [0, ??) 内的零点个数为(
B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点



A.没有零点 C.有且仅有两个零点

a 1 ( x ? )(2 x ? )5 x x 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 7.(全国新课标理 8)
(A)—40 (B)—20 (C)20 (D)40

8.(四川理 12)在集合

?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量

? ? (a, b) .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有
m ? 作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 m ,则 n 4 A. 15 1 B. 3 2 C. 5 2 D. 3

1m ”是 9. (浙江理 7)若 a , b 为实数,则“ 0<ab<
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 10 . y ? f ( x) 对任意 ( )

1 1 a< 或b> b a的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x ? (?

? ?

, ) 2 2 都满足 f ?( x) cos x ? f (x ) sinx? 0 则下列不等式不成立的是 2 f (? ) ? f (? ) 3 4 B.

2f( )? f( ) 3 4 A.

?

?

?

?

f (0) ? 2 f ( ) f (0) ? 2 f ( ) 4 3 C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: (本大题共有 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分) 11.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显 示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:

?

?

? ? 0.254x ? 0.321 y .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加
____________万元. 12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆 服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。 13.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色 正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有

种,至少有两个黑色正

方形相邻的着色方案共有 种, (结果用数值表示) 14.如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随 机地扔到该图内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” , B 表示事件“豆 子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 (1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= . 15.已知下列命题: ①设 m 为直线, ? , ? 为平面,且 m ? ? ,则“ m / /? ”是“ ? ? ? ”的充要 条件;

1 ( x 3 ? )5 x 的展开式中含 x3 的项的系数为 60; ②
③设随机变量 ? ~N (0,1) ,若 P(? ? 2) ? p ,则

P(?2 ? ? ? 0) ?

1 ?p 2 ;

④若不等式 | x ? 3| ? | x ? 2 |? 2m ? 1 恒成立,则 m 的取值范围是 (??, 2) ;

) 且 ⑤ 已 知 奇 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x? ? ) ? ? f ( x,

0? x?

?

2 时 f ( x) ? x , 则 函 数

g ( x) ? f ( x) ? sin x 在 [?2? , 2? ] 上有 5 个零点。
其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号) 。 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)

16.(本题 12 分)1.(本小题满分 13 分) 已知复数

,

求:(1)

(2)

;

(3)

.

17. (本题 12 分)已知命题 p :

y ? loga (1 ? 2 x) 在定义域上单调递增,命题 q :不等式

p ? q 是真命题, (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立, 若 求实数 a 的取值范围。

18.某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进 行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地 种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期 望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该 种植哪一品种? 1 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x) 2 ] x , x , ? ? ? , x 1 2 n n 附:样本数据 的的样本方差 ,其中 x 为 样本平均数. 19. 观察下列各不等式:

1+

< ,

1+

+

< ,

1+

+

+

< ,

1+ …

+

+

+

< ,

(1)由上述不等式,归纳出一个与正整数 n(n≥2)有关的一般性结论; (2)用数学归纳法证明你得到是结论. 20.设 (1)当 , 时,若 . 的展开式可表示为 ,求 ;

2 (2)若 f ( x) 展开式中 x 的系数是 20,则当 m, n 取何值时, x 系数最小,最小为多少?

f ( x) ? e x ?
21. (本小题满分 14 分)已知函数

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b ,求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

1 g ( x) ? f ( x) ? ( a ? ) x 2 a? x ,x 2 (Ⅲ)如果函数 有两个不同的极值点 1 2 ,证明:

e 2 .

高二数学(理科)测试题五答案 1-----------5 ADCAC 6----------------10 8.基本事件:

BDDAA

2 由(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3), n ? C6 ? 3? 5 ? 15 其中面积为1 的平行四

边 形 的 个 数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其 中 面 积 为 2 的 平 行 四 边 形 的 个 数 为

(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为 3 的平行四边形的个数 (2,3)(4,3);(2,1)(4,5) 其中面积为 4 5) 5 的平行四边形的个数 的平行四边形的个数 (2,1)(2, 5); (4,1)(4, 3); (4, 3)(4, 其中面积为 (2, 3), (4,1); (2, 5)(4,;其中面积为 5) 7 的平行四边形的个数 (2,5),(4,3)
行四边形的个数 (4,1)(4,5) 其中面积为 9 的平行四边形的个数 (2,5), (4,1) 11.0.254 12. 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。先
2 2 1 1 C6 C4 C2 C1 两个一人组 2 2 A2 A2 ,再全排列得:

其中面积为 8 的平

两个两人组
分组,考虑到有 2 个是平均分组,得
2 2 1 1 C6 C4 C2 C1 4 ? ? A4 ? 1080 2 2 A2 A2

13.

21 ; 43

2
14(1) ?

, (2)

1 4

15. ③⑤ 16. 1.z2=-1+i…………3 分 (1)z1+ =(2-3i)+(-1-i)=1-4i. ………6 分 (2)z1· z2=(2-3i)(-1+i)=1+5i. ………9 分

(3)

=

………12 分

17.解:对命题 若

p

p 为真,由复合函数单调性

0 ? a ? 1 ???????????????????①
对命题

q

(a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 恒成立

①当 a ? 2 时, ?4 ? 0 成立 ②a ? 2时

?a ? 2 ? 0 ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0
? ?2 ? a ? 2 ????????????????②
p ? q 为真命题,则①②取并集

a ? (?2, 2]
18.解:
P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?

(I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且
1 1 ? , C84 70
1 3 C4 C4 8 ? , 4 35 C8 2 2 C4 C4 18 ? , 35 C84 3 1 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

………………4 分 X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. 70 35 35 35 70 ………………6 分

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 02 ? 122 ? 62 ) ? 57.25. 8
………………8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
………………10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差 差异不大,故应该选择种植品种乙.

19.解: (1)观察 1+

< ,

1+

+

< ,

1+

+

+

< ,

1+ …

+

+

+

< ,

各不等式,得到与正整数 n 有关的一般不等式为

1+

+

+

+



且 n≥2.

(2)以下用数学归纳法证明这个不等式. ①当 n=2 时,由题设可知,不等式显然成立. ②假设当 n=k 时,不等式成立,即

1+

+

+

+



那 么 , 当

n=k+1

时 , 有

1+

+

+

+

+



=

=

=



所以当 n=k+1 时,不等式也成立.根据①和②,可知不等式对任何 n∈N+且 n≥2 都成立. 20.解:(1)令 ,得 = .……5 分

(2)因为 所以 ,则

,………………………………………………………7 分 的系数为

,……………………9 分 所以当 m=5,n=10 时,展开式中的系数最小,最小值为 85.………………………12 分

21. (本小题满分 14 分)

? 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? e ? x ? a ,
x

? ∴ f (0) ? 1 ? a .

于是由题知 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 .…………………………………2 分

f ( x) ? e x ?


1 2 x ?x 2 . ∴ f (0) ? 1 ,

于是 1 ? 2 ? 0 ? b ,解得 b ? 1 .……………………………………4 分
x ? (Ⅱ)由题意 f ( x) ? 0 即 e ? x ? a ? 0 恒成立,

∴ a ? e ? x 恒成立.……………………………………………5 分
x

? 设 h( x) ? e ? x ,则 h ( x) ? e ?1 .
x x

当 x 变化时, h ( x) 、 h( x) 的变化情况如下表:

?

x
h?( x)
h( x )


(??, 0)

0
0
极小值

(0, ? ?)

?
减函数

?
增函数

h( x)min ? h(0) ? 1 ,∴ a ? 1 ……………………………8 分
g ( x) ? e x ? 1 2 1 x ? ax ? ax 2 ? x 2 ? e x ? ax 2 ? ax 2 2 ,

(Ⅲ)由已知
x

? ∴ g ( x) ? e ? 2ax ? a .


x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个不同极值点(不妨设 x1 ? x2 ) ,

x x ,x ∴ e ? 2ax ? a ? 0 ( ? )有两个不同的实数根 1 2 …………………10 分

x??


1 2 时,方程( ? )不成立

e x (2 x ? 1) ex ex ? p ( x ) ? a? p ( x) ? (2 x ? 1)2 2 x ? 1 ,令 2 x ? 1 ,则 则
? 由 p ( x) ? 0 得:
x? 1 2

? 当 x 变化时, p ( x) , p ( x ) 变化情况如下表:

x
p( x)
p?( x )

1 (??, ? ) 2

1 1 (? , ) 2 2

1 2
0
极小值

1 ( , ??) 2

?
单调递减

?
单调递减

?
单调递增

1 x ? (??, ? ) 2 时,方程( ? )至多有一解,不合题意;………13 分 ∴当 1 1 e x ? (? , ??) a ? p( ) ? 2 2 2 当 时,方程( ? )若有两个解,则

a?
所以,

e 2 ………………………14

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