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18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3第2课时两条直线的垂直学案苏教版必修2

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第 2 课时 两条直线的垂直
学习目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会 利用两直线垂直求参数及直线方程.
知识点 两条直线垂直的判断 思考 1 两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系?
思考 2 如果两条直线垂直,那么斜率一定互为负倒数吗?

梳理

图示

对应关系

l1⊥l2(两直线斜率都存在)?____

l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0? ______

类型一 两条直线垂直关系的判定 例 1 判断下列各组中的直线 l1 与 l2 是否垂直: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(1,2),l2 经过点 M(-2,-1),N(2,1);
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(2)l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2),B(20,3); (3)l1 经过点 A(3,4),B(3,100),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40).
反思与感悟 判断两直线垂直的步骤 方法一
方法二 若两条直线的方程均为一般式:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则 l1⊥l2 ?A1A2+B1B2=0. 跟踪训练 1 下列各组中直线 l1 与 l2 垂直是________.(填序号) ①l1:2x-3y+4=0 和 l2:3x+2y+4=0; ②l1:2x-3y+4=0 和 l2:3y-2x+4=0; ③l1:2x-3y+4=0 和 l2:-4x+6y-8=0; ④l1:(-a-1)x+y=5 和 l2:2x+(2a+2)y+4=0. 类型二 由两直线垂直求参数或直线方程 命题角度 1 由两直线垂直求参数的值 例 2 三条直线 3x+2y+6=0,2x-3m2y+18=0 和 2mx-3y+12=0 围成直角三角形,求实 数 m 的值.
反思与感悟 此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解. 跟踪训练 2 已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-2,-3),直线 l2 经过点 C(2,3),D(-1,a -2),如果 l1⊥l2,则 a 的值为________. 命题角度 2 由垂直关系求直线方程
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例 3 求与直线 4x-3y+5=0 垂直,且与两坐标轴围成的三角形 AOB 周长为 10 的直线方程.
反思与感悟 (1)若直线 l 的斜率存在且不为 0,与已知直线 y=kx+b 垂直,则可设直线 l 的方程为 y=-1kx+m(k≠0),然后利用待定系数法求参数 m 的值,从而求出直线 l 的方程. (2)若直线 l 与已知直线 Ax+By+C=0 垂直,则可设 l 的方程为 Bx-Ay+m=0,然后利用 待定系数法求参数 m 的值,从而求出直线 l 的方程. 跟踪训练 3 已知点 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0,求过点 A 且与直线 l 垂直的直线 l1 的方程.
类型三 垂直与平行的综合应用 例 4 已知四边形 ABCD 的顶点 B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形 ABCD 为直角梯形,求 A 点坐标.
反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题,一般是根据已知条件列方程(组)求解. 如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点,注意判断图形是否惟一,以防漏解. 跟踪训练 4 已知矩形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个 顶点 D 的坐标.
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1.下列直线中,与直线 l:y=3x+1 垂直的是__________.(填序号)

①y=-3x+1;

②y=3x-1;

③y=13x-1;

④y=-13x-1.

2.已知 A(1,2),B(m,1),直线 AB 与直线 y=0 垂直,则 m 的值为________.

3.直线 l1,l2 的斜率分别是方程 x2-3x-1=0 的两个根,则 l1 与 l2 的位置关系是________. 4.直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直,则 a=________.

5.过点(3,-1)与直线 3x+4y-12=0 垂直的直线方程为__________.

1.两条直线垂直与斜率的关系

图形 表示

对应 关系

l1 与 l2 中的一条斜率不存在,另一条 l1,l2 的斜率都存在,分别为 k1,k2,
斜率为零,则 l1 与 l2 的位置关系是 则 l1⊥l2?k1·k2=-1
l1⊥l2

2.l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

3.与 l:Ax+By+C=0 垂直的直线可设为 Bx-Ay+C1=0.

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答案精析
问题导学 知识点 思考 1 两条直线的倾斜角相差 90°. 思考 2 如果两条直线垂直,当斜率都存在时互为负倒数,当一条直线的斜率不存在时,另 一条直线的斜率为 0. 梳理 k1·k2=-1 l1⊥l2 题型探究 例 1 (1)l1 与 l2 不垂直. (2)l1⊥l2. (3)l1⊥l2. 跟踪训练 1 ①④ 例 2 解 ①当直线 3x+2y+6=0 与直线 2x-3m2y+18=0 垂直时,有 6-6m2=0,∴m=1 或 m=-1. 当 m=1 时,直线 2mx-3y+12=0 也与直线 3x+2y+6=0 垂直,因而不能构成三角形,故 m=1 应舍去. ∴m=-1. ②当直线 3x+2y+6=0 与直线 2mx-3y+12=0 垂直时,有 6m-6=0,得 m=1(舍). ③当直线 2x-3m2y+18=0 与直线 2mx-3y+12=0 垂直时,有 4m+9m2=0, ∴m=0 或 m=-49.经检验,这两种情形均满足题意. 综上所述,所求的结果为 m=-1 或 0 或-49. 跟踪训练 2 5 或-6 例 3 解 设所求直线方程为 3x+4y+b=0.
令 x=0,得 y=-b4,即 A???0,-4b???; 令 y=0,得 x=-b3,即 B???-b3,0???.
又∵三角形周长为 10, 即 OA+OB+AB=10,
∴???-b4???+???-b3???+
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???-4b???2+???-b3???2=10, 解得 b=±10,故所求直线方程为 3x+4y+10=0 或 3x+4y-10=0. 跟踪训练 3 解 因为 kl·k1=-1, 所以 k1=43, 故直线 l1 的方程为 y-2=43(x-2), 即 4x-3y-2=0. 例 4 解 ①若∠A=∠D=90°,如图(1),由已知 AB∥DC,AD⊥AB,而 kCD=0,故 A(1,-
1).
②若∠A=∠B=90°,如图(2).

设 A(a,b),则 kBC=-3,kAD=ba- -21, kAB=ba+ -16. 由 AD∥BC? kAD=kBC,即ba- -21=-3;① 由 AB⊥BC? kAB·kBC=-1, 即ba+ -16·(-3)=-1.②

??a=152, 解①②得???b=-151,

故 A(152,-151).

综上所述:A 点坐标为(1,-1)或???152,-151???. 跟踪训练 4 解 设第四个顶点 D 的坐标为(x,y),因为 AD⊥CD,AD∥BC,所以 kAD·kCD=

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-1,且 kAD=kBC.
??yx--10×yx- -23=-1,
所以
???yx--10=23- -01,

解得?????xy==23,.

所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 当堂训练 1.④ 2.1 3.垂直 4.1 5.4x-3y-15=0

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