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2013年浙江省宁波市高三“十校”联考数学(理科)


2013 年宁波市高三“十校”联考数学(理科)
说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

m ? 1 ? ni ,其中 m, n ? R,i 为虚数 1? i 单位,则 m ? ni ? ( ) A、 1 ? 2i B、 2 ? i C、 1 ? 2i D、 2 ? i
1、 已知 2、如果执行右边的程序框图,那么输出的 S 等于 ( ) A、2550 B、2500 C、2450 D、2652 3、若有直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? ,下列四个 命题中,正确的是 ( A、若 m // ? , n // ? ,则 m // n )

B、若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? 则 ? // ? C、若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D、若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? 4、在 ?ABC 中, “ sin A (2sin C ? sin A) ? cos A (2cos C ? cos A) ”是 “角 A、B、C 成等差数列”的 A、充分非必要条件 C、必要非充分条件 ( B、充要条件 D、既不充分也不必要条件 )

?y ? x ?x ? 2 y ? 4 ? 5、已知实数 x 、 y 满足 ? 则 r 的最小值为( ? y ? ?2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0) 4 5 A、1 B、 2 C、 D、 2 2 3 3
?



a 2 b 2 ( a ? b) 2 a b ? ? 6、设 a 、 b ? R , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则 ,当且仅当 ? 时,上式取等 x y x? y x y

号,利用以上结论,可以得到函数 f ( x) ? A、169
2

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值为 x 1 ? 2x 2
D、16





B、121
2

C、25

7、 若方程 x ? 5x ? m ? 0 与 x ? 10 x ? n ? 0 的四个根适当排列后, 恰好组成一个首项 1 的等比 数列,则 m : n 值为( A、 )

1 4

B、

1 2

C、2

D、4

8 、函数 y ? ( ) A、2

1 的图像与函数 y ? 2 sin? x ( 的图像所有交点的横坐标之和等于 ? 2? x ? 4) x ?1
B、3 C、4 D、6

9、 设集合 S ? 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9? , 集合 A ? a1 , a2 , a3 ? ,A ? S , a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 且 a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的集合 A 的个数为( A、84 B、83 C、78 ) D、76

?

?

10、在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 A(-1,0) ,

| MA |?| MB |?| MC | GA ? GB ? GC ? O (2) B (1, 0) , 平面内两点 G、 M 同时满足下列条件: ( 1)
(3) GM / / AB 则 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程为( A、

??? ? ??? ? ??? ?

??

????

????

???? ?

???? ?

??? ?



x2 ? y2 ? 1 3
2

(y ? 0 )

B、

x2 ? y2 ? 1 3
2

(y ? 0 )

C、 x ?

y2 ?1 3

(y ? 0 )

D、 x ?

y2 ?1 3

(y ? 0 )

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、 一个组合体的三视图如图, 则其体积为______________ 12、 已知 F1 ,F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF1 ? MF2 ? 0 椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是____________.

???? ? ?????

的点 M 总在

13、若将函数 f ( x) ? ( x ? 1) 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1)
5
2

3

? a4 ( x ? 1)4 ? a5 ( x ? 1)5 其中 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 为实数,则 a3 ? a4 =_________

14 、 设 数 列 {an } 满 足 : a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 , 且 对 于 任 意 正 整 数 n 都 有 an an ?1an ? 2 ? 1 , 又

an an?1 an? 2 an?3 ? an? an a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? ,则 ?1 ? an ? 2 ? an ? 3
15、 定义一种运算 “? ” , 对于正整数 n , 满足以下运算性质: ① 1?1 ? 2 则 n ?1 的运算结果用含 n 的代数式表示为 16、已知整数 x, y, z 满足 x ? y ? z ,且 2
x ?3

② (n ? 1) ?1 ? 3(n ?1) ,

? 2 y ?3 ? 2z ?3 ? 37 ,则整数组 ( x, y, z ) 为

17、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应数轴 上的点 M(点 A 对应实数 0,点 B 对应实数 1) ,如图①;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、 B 恰好重合, 如图②; 再将这个圆放在平面直角坐标系中, 使其圆心在 y 轴上, 点 A 的坐标为 (0, 1) ,在图形变化过程中,图①中线段 AM 的长度对应于图③中的弧 ADM 的长度,如图③,图③ 中直线 AM 与 x 轴交于点 N( n,0 ) ,则 m 的象就是 n ,记作 f (m) ? n. D

D

给出下列命题:① f ( ) ? 1 ; ② f ( ) ? 0 ; ③ f ( x) 是奇函数; ④ f ( x) 在定义域上单调递增, 则所有真命题的序号是______________.(填出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 18.(本小题满分 14 分) ?ABC 中内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 sin C ? 2sin B (1)若 A ? 60? ,求

1 4

1 2

a ; b

(2)求函数 f ( B) ? cos(2B ?

?
3

) ? 2cos2 B 的值域。

19.(本小题满分 14 分)甲、乙等五名工人被随机地分到 A, B, C 三个不同的岗位工作,每个岗位 至少有一名工人. (1)求甲、乙被同时安排在 A 岗位的概率; (2)设随机变量 ? 为这五名工人中参加 A 岗位的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 14 分)如图, ?ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 2 , BC ? 1, D 、E两点分别在线段

AD AE ? ? ? , ? ? (0,1)。现将 ?ABC 沿 DE 折成直二面角 A ? DE ? B 。 AB AC 1 (1)求证:当 ? ? 时, 面ADC ? 面ABE ; (2)当 ? ? (0,1) 时,二面角 E ? AC ? D 的大小能否 2 ? 等于 ?若能,求出 ? 的值;若不能,请说明理由。 4
AB、 AC 上,满足

A

A

D

E D

E C

B

C

B

21. (本小题满分 15 分)如图,椭圆 C1 :

2 x2 y 2 , x 轴被曲线 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的短轴长。 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与

C2 相交于点 A、B ,直线 MA, MB 分别与 C1 相交于点 D、E 。
(1)求 C1 、 C2 的方程; (2)求证: MA ? MB 。 (3)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 , E 若 D O B M x y A

S1 ? ? ,求 ? 的取值范围。 S2

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 2, a ? R.
3 2 2

(1)当 a ? 0 时,试求函数 y ? f ( x) 的单调递减区间; (2)若 a ? 0 ,且曲线 y ? f ( x) 在点 A, B ( A, B 不重合)处切线的交点位于直线 x ? 2 上,求证:

A, B 两点的横坐标之和小于 4;
(3)当 a ? 0 时,如果对于任意 x1 、 x2 、 x3 ? [0,1] , ( x1 , x2 , x3可以相等) ,总存在以 f ( x1 ) 、

f ( x2 ) 、 f ( x3 ) 为三边长的三角形,试求实数 a 的取值范围。

2013 年宁波市高三“十校”联考 数学(理科)参考答案
一、选择题: 1 B 二、填空题 (11)20 ? (15)2· 3
n ?1

2 A

3 D

4 B

5 B

6 C

7 A

8 C

9 B

10 C

(12) ( 0,

2 ) 2

(13)30

(14)4025

(16) (2,-1,-3)

(17)②④

三、解答题 18.解: (1) sin C ? 2sin B 即 c ? 2b , 又 ?ABC 中, cos A ? 解得:

(2 分)
2 2

b ?c ?a 1 5b ? a ,得 ? 2bc 2 4b2
2 2 2

(5 分) (7 分)

a ? 3 b

1 ? ? 1? (2) sin B ? sin C ? ? 0, ? ,? B ? (0, 2 6 ? 2?

?

(9 分)

? 3 3 ? f ( B) ? cos(2B ? ) ? 2cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B ? 1 ? 3 cos(2 B ? ) ? 1 3 2 2 6 (12 分) 5 所以值域为 ? 1, ) (14 分) 2
3 2 A3 ? C32 A2 2 ; ? 3 2 2 C A3 ? 3C5 C3 25 3 5

19.解: (1) P ?

(6 分)

(2) ? 可以取 1,2,3

则 P(? ? 1) ?

2 1 2 5(C4 ? C4 A2 ) 7 ? 3 3 2 2 C5 A3 ? 3C5 C3 15

(8 分)

P(? ? 2) ?

2 3 2 C52C32 A2 C5 A2 6 2 (10 分 ) ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 2 2 3 3 2 2 C5 A3 ? 3C5 C3 15 C5 A3 ? 3C5 C3 15

(12 分)

? 的分布

?
P

1

2

3



7 15

6 15

2 15 E? ?

5 3

(14 分)

20、 (1)解:

AD AE ? ? ? ? DE / / BC ? DE ? AD , DE ? BD ,??ADB 为二面角 A ? DE ? B AB AC

平面角, ?ADB ?

。 2 ? AD ? 面BCD, 又? BE ? 面BCD,? AD ? BE

?

(2 分) (4 分)

又当 ? ?

2 1 BD BC 1 时, BD ? , DE ? , BC ? 1,即 ? ,??BDE ? ?DBC 2 2 DE BD 2 (6 分) ??EBD ? ?DCB,? BE ? DC (7 分) ? BE ? 面ADC, 又BE ? 面ABE,?面ABE ? 面ADC
A z

(2)如图建系,则 A(0,0, 2? ) , C ( 2 ? 2? ,1,0)

??? ? ??? ? E (0, ? ,0) , AE ? (0, ? , ? 2? ), CE ? ( 2? ? 2, ? ? 1,0) ? ? ? 设面 AEC 法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则
?? ? ??? ? ? y1 ? 2 z1 ? ? ? ? ? n1 ? AE ? 0 ? ?? ,取 n1 ? (1, ? 2, ?1) ? ??? ? ? ?? ? ? n1 ? CE ? 0 ? ? y1 ? ? 2 x1
E D (9 分) x B y C

?? ? 设面 ADC 法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
?? ? ??? ? ? 2? z 2 ? 0 ? ?? ? ? n2 ? DA ? 0 ? ?? ,取 n2 ? (1, 2? ? 2,0) ? ???? ? ?? ? n2 ? DC ? 0 ? ?( 2 ? 2? ) x2 ? y2 ? 0 ?
(11 分)

?? ? ?? ? cos ? n1 , n2 ??
所以当 ? ?

3 ? 2? 2 1 ? 2(? ? 1) 2

?

2 3 ,解得 ? ? 2 4
(14 分)

3 ? 时,二面角 E ? AC ? D 的大小等于 4 4
c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2

21 解(1)

(1 分)

又 2 b ? 2b ,得 b ? 1?C2 : y ? x 2 ? 1, C1 :

x2 ? y2 ? 1 2

(3 分)

? y ? kx ? x 2 ? kx ? 1 ? 0 (2)设直线 AB : y ? kx, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? 2 ? y ? x ?1

(4 分)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 =0

?MA ? MB
(3)设直线 MA : y ? k1 x ? 1; MB : y ? k2 x ? 1, k1k2 ? ?1

(7 分)

? ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? x ? k1 , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ,同理可得 B(k2 , k2 2 ? 1) ? 2 2 y ? ? 1 y ? k ? 1 y ? x ? 1 ? ? ? 1 ?

S1 ?

1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1 k2 2 2

(10 分)

4k1 ? x? ? y ? k1 x ? 1 ? 1 ? 2k12 ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 2 ? , 解得 或 ? D ( , ) ?x ? ? 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ? 1 ? 2k12 ?

4k 2 2k 2 2 ? 1 同理可得 E ( , ) 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k2
? S2 ? 16k1k2 1 1 2 MD ME ? 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )
(13 分)

2 S1 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 ) ?? ? ? S2 16

5 ? 2(

1 ? k12 ) k12 9 ? 16 16

(15 分)

a 22.解: (1) f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ,? a ? 0,? f '( x) ? 0的解集 ( , ?a) , 3 a y ? f ( x) 的单调递减区间为 ( , ?a) 3
3 3 ? 2), B( x2 , x2 ? 2) (2) a ? 0 时 f ( x) ? x ? 2 ,设 A( x1 , x1

(3 分)

3

3 ? 2) ? 3x12 ( x ? x1 ) 点 A 处切线方程为 y ? ( x1

3 2 ? 2) ? 3x2 ( x ? x2 ) 点 B 处切线方程为 y ? ( x2

(5 分)

两切线交点的横坐标为

2 2( x12 ? x2 ? x1 x2 ) 2 ,? x12 ? x2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 3( x1 ? x2 )

(7 分)

? ( x1 ? x2 )2 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 ) 得 0 ? x1 ? x2 ? 4 2

(9 分)

(3)即对于一切 x1 、 x2 、 x3 ? [0,1] , f ( x1 ) + f ( x2 ) ? f ( x3 ) 且 f ( x1 ) 、 f ( x2 ) 、 f ( x3 ) 均正。 即 2 f ( x)min ? f ( x)max 令 x3 ? 0, x1 ? x2 ? 1 则得 0 ? a ? 2 (10 分) (11 分)

a a f '( x) ? (3x ? a)( x ? a) ,? f ( x)在(0, )单调递减, ( ,1)单调递增 3 3 ? a ? 5 3 (1) ? f ( 3) ? 0 ?? 27 a ? 2 ? 0 ? ? 3 a 5 ? ? , (2)得 0 ? a ? 3 ? ?2 f ( ) ? f (0) 即 ?2(? a3 ? 2) ? f (0) (2) 由(1) 3 27 5 ? ? a 5 3 ? ? ?2 f ( 3 ) ? f (1) ?2(? 27 a ? 2) ? f (1) (3) ? ?
(13 分)

10 3 a ? a2 ? a ? 1 ? 0 , 27 10 3 10 令 g ( a) ? a ? a 2 ? a ? 1, g '(a) ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 27 9 3 g (a)在(0,2)递增, g (2) ? 0 , 0 ? a ? 3 时(3)成立 5 3 ?0 ? a ? 3 5
不等式(3)即

(15 分)

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