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直线与圆位置关系知识点与经典例题


直线与圆位置关系
一.课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。

二.知识框架
相离 弦长 直线与圆的位置关系 相交 相切 直线与圆 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 过圆外一点的切线方程 切点弦 方程 代数法 代数法 切割线定理 几何法

三.直线与圆的位置关系及其判定方法
1.利用圆心 O(a, b)到直线Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小来判

定。 (1) d ? r ? 直线与圆相交 (2) d ? r ? 直线与圆相切 (3) d ? r ? 直线与圆相离 2.联立直线与圆的方程组成方程组, 消去其中一个未知量, 得到关于另外一个未知量的一元 二次方程,通过解的个数来判定。 (1)有两个公共解(交点) ,即 ? ? 0 ? 直线与圆相交 (2)有且仅有一个解(交点) ,也称之为有两个相同实根,即 ? ? 0 ? 直线与圆相切 (3)无解(交点) ,即 ? ? 0 ? 直线与圆相离 3.等价关系 相交 ? d ? r ? ? ? 0 相切 ? d ? r ? ? ? 0 相离 ? d ? r ? ? ? 0 练习 (位置关系)1.已知动直线 l : y ? kx ? 5 和圆 C : ( x ?1) ? y ? 1 ,试问 k 为何值时,直线
2 2

与圆相切、相离、相交? (位置关系)2.已知点 M (a, b) 在圆 O : x ? y ? 1外,则直线 ax ? by ? 1 与圆 O 的位置关
2 2

系是() A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

(最值问题)3.已知实数 x 、 y 满足方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,

y 的最大值和最小值; x (2)求 x ? y 的最大值和最小值;
(1)求 (3)求 x 2 ? y 2 的最大值和最小值。 〖分析〗 考查与圆有关的最值问题, 解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题 求解, 运用数形结合的方法, 直观的理解。 ?转化为求斜率的最值; ?转化为求直线 y ? x ? b 截距的最大值;?转化为求与原点的距离的最值问题。 (位置关系) 4.设 m, n ? R , 若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 相
2 2

切,则 m ? n 的取值范围是() (位置关系) 5. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线
12 x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是

6.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角是 ( C )
2 2

A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2

2 2 (位置关系) 7 .圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是

( A. 2

) B. 1 ? 2 C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2 2

(最值问题)8.设 A 为圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上一动点,则 A 到直线 x ? y ? 5 ? 0 的最大距离 为______. 9.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为(
2 2 2 2

) B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2 2 2

A. x ? y ? 2x ? 3 ? 0 C. x ? y ? 2x ? 3 ? 0

D. x ? y ? 4 x ? 0

10.若曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? x ? b 始终有两个交点,则 b 的取值范围是__________.
2 2 (对称问题) 11. 圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆 C 2 的方程

为:(

)

A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4

B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 D. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

12. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 M , N 两点,若 | MN |? 2 3 , 则 k 的取值范围是( A. [ ? )

3 , 0] 4
2

B. [?

3 3 , ] 3 3
2

C. [? 3, 3]

D. [ ?

2 , 0] 3

13.圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒相交于两点; (2)求⊙C 与直线 l 相交弦长的最小值. [解析] (1)将方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0. 直线 l 恒过两直线 2x+y-7=0 和 x+y-4=0 的交点, ?2x+y-7=0 ? 由? 得交点 M(3,1). ? ?x+y-4=0 又∵(3-1) +(1-2) =5<25,∴点 M(3,1)在圆 C 内,∴直线 l 与圆 C 恒有两个交点. (2)由圆的性质可知,当 l⊥CM 时,弦长最短. 2 2 又|CM|= (3-1) +(1-2) = 5, 2 2 ∴弦长为 l=2 r -|CM| =2 25-5=4 5.
2 2

四.计算直线被圆所截得的弦长的方法
2 2 1.几何法:运用弦心距、半径、半弦长构成的 Rt ? 计算,即 AB ? 2 r ? d

2.代数法:运用根与系数关系(韦达定理) ,即

AB ? k 2 ? 1 x A ? xB ? (k 2 ? 1) ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB

?

?

(注:?当直线 AB 斜率不存在时,请自行探索与总结;

( ?弦中点坐标为
练习

x A ? xB y A ? y B , ) ,求解弦中点轨迹方程。 ) 2 2
2 2

1.直线 y ? 2 x ? 3 被圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 所截得的弦长等于() 2.过点 (2,1) 的直线中被圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦长最大的直线方程
2 2

是(

) B. 3x ? y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0

A. 3x ? y ? 5 ? 0

3.已知圆 C 过点 (1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦长为

2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线方程为()
4.直线 x-2y-3=0 与圆 C: (x-2) +(y+3) =9 交于 E、 F 两点, 则△ECF 的面积为( 3 A. 2 3 B. 4 C.2 5 3 5 D. 5
2 2

)

5.已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 和直线 l : kx ? y ? 4k ? 3 ? 0 (1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长. 2 2 6.若曲线 x +y +2x-6y+1=0 上相异两点 P、 Q 关于直线 kx+2y-4=0 对称, 则 k 的值为 1 ( )A.1 B.-1 C. D. 2 2 7.已知过点 M ? ?3, ?3? 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 相交于 A, B 两点, (1)若弦 AB 的长为 2 15 ,求直线 l 的方程; (2)设弦 AB 的中点为 P ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ( 1 )若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x ? ?3 ,此时有 y 2 ? 4 y ? 12 ? 0,弦 ,所以不合题意. | AB |? | yA ? yB ? | 2? ? ? 6 ?? 8 故设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 3? ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 .
2 将圆的方程写成标准式得 x ? ? y ? 2 ? ? 25 ,所以圆心 ? 0, ?2 ? ,半径 r ? 5 . 2

圆心 ? 0, ?2 ? 到直线 l 的距离 d ?

| 3k ? 1| k 2 ?1

,因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三

角形,所以

? 15 ?

2

? 3k ? 1? ?
k ?1
2

2

? 25 ,即 ? k ? 3? ? 0 ,所以 k ? ?3 .
2

所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 12 ? 0 . (2)设 P ? x, y ? ,圆心 O1 ? 0, ?2? ,连接 O1P ,则 O1P ? AB .当 x ? 0 且 x ? ?3 时,

kO1P ? kAB ? ?1,又 k AB ? k MP ?

y ? (?3) , x ? (?3)
2 2

y ? ? ?2? y ? ? ?3? 3? ? 5? 5 ? 则有 . . . . . (1) ? ? ?1 ,化简得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . x ? 0 x ? ? ?3? 2? ? 2? 2 ?
当 x ? 0 或 x ? ?3 时, P 点的坐标为 ? 0, ?2? , ? 0, ?3? , ? ?3, ?2? , ? ?3, ?3? 都是方程(1)

的解,所以弦 AB 中点 P 的轨迹方程为 ? x ?

? ?

3? ? 5? 5 ? ?? y ? ? ? . 2? ? 2? 2

2

2

8. 已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点 ,O 为原点 , 且

OP ? OQ ,求实数 m 的取值.

五.已知切点,求切线方程
1.经过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P(x0 , y0) 的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 2.经过圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上一点 P(x0 , y0) 的切线方程为

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2
3.经过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为
2 2

x0 x ? y0 y ? D
练习

x0 ? x y ?y ?E 0 ?F ?0 2 2
2 2

1.经过圆上一点 P(?4,?8) 作圆 ( x ? 7) ? ( y ? 8) ? 9 的切线方程为() 2.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 ) D. x ? 3 y ? 2 ? 0

B. x ? 3 y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0

六.切点未知,过园外一点,求切线方程 1. k 不存在,验证是否成立; 2. k 存在,设点斜式,用圆到直线的距离 d ? r ,即

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
r?
练习 1.求过 A(3,5) 且与圆 C : x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的直线方程。
2 2

b ? y0 ? k (a ? x0 ) k 2 ?1

七.切线长
若圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,则过圆外一点 P( x0 , y0 ) 的切线长
2 2 2

d ? ( x 0 ? a ) 2 ? ( y0 ? b ) 2 ? r 2

练习 1.自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为( B ) (A)
5

(B) 3
2 2

(C)

10

(D) 5

2.自直线 y=x 上点向圆 x +y -6x+7=0 引切线,则切线长的最小值为

八.切点弦方程
过圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 外一点 P( x0 , y0 ) 作圆 C 的两条切线方程, 切点分别为 A, B , 则切点弦 AB 所在直线方程为: ( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 1.过点 C(6,-8)作圆 x +y =25 的切线于切点 A、B,那么 C 到两切点 A、B 连线的距离为 ( ) 15 A.15 B.1 C. D.5 2
2 2

九.切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项, 即

PT

2

? PC ? PD

练习 1.自动点 P 引圆 x ? y ? 10 的两条切线 PA, PB ,直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k 2 。
2 2

(1)若 k1 ? k2 ? k1k2 ? ?1 ,求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 在直线 x ? y ? m 上,且 PA ? PB ,求实数 m 的取值范围。 〖解析〗 (1)由题意设 P( x0 , y0 ) 在园外,切线 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ),

kx0 ? y0 k 2 ?1

? 10 ,

? ( x0 ? 10)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 10 ? 0
由 k1 ? k2 ? k1k2 ? ?1 得点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 2 5 ? 0 。

2

2

(2)? P( x0 , y0 ) 在直线 x ? y ? m 上,? x0 ? y0 ? m

y ? 10 2 2 又 PA ? PB ,? k1k2 ? ?1, 02 ? ?1 ,即 x0 ? y0 ? 20 ,将 x ? y ? m 代入化简得 x0 ? 10

2

2x0 ? 2mx0 ? m2 ? 20 ? 0
又? ? ? 0 ,?-2 10 ? m ? 2 10 又? x0 ? y0 ? 10 恒成立,?m ? 2或m ? ?2 5
2 2

2

?m的取值范围是? 2 10, ? 2 5 ? 2 5,2 10

?

? ?

?


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