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2013年绍兴市高三二模(理科数学)

2013 年 绍 兴 市 高 三 教 学 质 量 调 测


注意事项:

学(理)

1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答. 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

参考公式: 如果事件

A , B 互斥,那么 A , B 相互独立,那么

柱体的体积公式

PB ( ? ) ( )P P A?) ( ? AB
如果事件

V ?S h
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式

PB ( ? ( (? ) P P A? ) B A )
如果事件

A

在一次试验中发生的概率是

p

,那

V ?

1 Sh 3

么 n 次独立重复试验中事件

A

恰好发生 k 次的概率

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 台体的体积公式

k Pn (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2, ???, n)

球的表面积公式

1 V h 1 S 2?2 ? ( ? 1 S S S ) 3
其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

S? ? 2 4R
球的体积公式

4 V ? ?R3 3
其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? { x | x ? 0 } ,集合 M ? { x | x ? 3 ? 0 } ,则 ?UM ? A. { x | 0 ? x ? 3 } B. { x | x ? 3 } C. { x | x ? 3 } D. { x | 0 ? x ? 3 }

4 2.设等差数列 ? a n ? 前 n 项和为 S n ,若 a ?S ?? , a 4 ? 3 ,则公差为 2 3
A. ? 1 B. 1 C. 2 D. 3

0 ”的 3.若 a , b ? R ,则“ a 理科数学一模试题卷 a ?第b 1 ?页(共 6 页) ? 0 , b ? 0 ”是“
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

4.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示, 则该四棱锥的体积等于 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
13

5.函数 fx s 2 c 2 () i x ox ? n ?s 在下列哪个区间上 单调递增
1 侧视图 1

5π π A. [ ? ,? ] 4 4 π 3π B. [ ? , ] 8 8 3π 7π C. [ , ] 8 8 3π 7π D. [ , ] 4 4

正视图

2 俯视图

(第 4 题)

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 6.已知实数 x , y 满足 ? 3 x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? 4x ? y 的最小值为 ? x ? 1, ?
A. 5 B. ? 2 C. ? 4 D. ? 5

7.已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面.在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? n , m ? ? , n // ? C. m ? n , m // ? , n // ? B. m // n , m ? ? , n ? ? D. m // n , m // ? , n ? ?

x2 y2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( ?0b?0 的右焦点为 F , O 为坐标原点,以 OF a , ) a b
双曲线的一条渐近线相交于 O , A 两点.若△ AOF 的面积为 b
2

为直径的圆与

,则双曲线的离心率等于

A. 3

B. 5

C.

3 2

D.

5 2

9.已知函数 f ( x) ? ?

? log 2 x , 0 ? x ? 4, ? 若方程 f ( x) ? t (t ? R ) 有四个不同的实数 2 ? x ? 12 x ? 34, x ? 4. ?

根 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则 x 1 x 2 x 3 x 4 的取值范围为

A. (30,34)

B. (30,36)

C. (32,34)

D. (32,36)

10.如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 ? 内,且直线 B C 与平面 ? 所成的角为 4 5 ? ,顶 点 B 在平面 ? 上的射影为点 O .当顶点 A 与 点 O 的距离最大时,直线 C D 与平面 ? 所成 角的正弦值等于 A.

A

B

D

6 ? 3 12
2

2

B.

2 2 ?1 5
2

α

C O
(第 10 题)

6 ? C. 4

5 ? 2 D. 12

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 i 为虚数单位,则

1 ? 3i ? 1? i





12.某程序框图如图所示,若输入 x ? 16 ,则运行后输出的值 是 ▲ .

1 6 ) 展开式的常数项是 ▲ . x 14.已知实数 a,a ,a ,a 依次构成公差不为零的等差数列.若 1 2 3 4
13. ( x
2

?

去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比 数列,则此等比数列的公比为 ▲ .

15.甲、乙、丙三位学生在学校开设的三门选修课中自主选课, 其中甲和乙各选修其中的两门,丙选修其中的一门,且每 门选修课这三位学生中至少有一位选修,则不同的选法共 有 ▲ 种.
(第 12 题)

16.已知 a , b 为平面内两个互相垂直的单位向量,若向量页) c a ? + )(? ? R ) , c 理科数学一模试题卷 第 3 页(共 6 c 满足 + = ( b 则 | c | 的最小值为 ▲ .
2

? x ) 17.已知 a 为 [0,1] 上的任意实数,函数 f1(x ?x?a, f 2 ( x) ? ? x ? 1 , f ( )? x ? . 3x
3 2

则以下结论:
3

①对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i, j} ? { ) x) 0 i x ? 1,2,3}) ,使得 f( 0 fj( 0 ? ; ②对于任意 x0 ? R ,总存在 f i ( x ) , f j ( x ) ({i, j} ? { ) x) 0 i x ? 1,2,3}) ,使得 f( 0 fj( 0 ? ;

) x) 0 ③对于任意的函数 f i ( x ) , f j ( x ) ({i, j} ? { i x ? 1,2,3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 f( 0 fj( 0 ? ; ) x) 0 ④对于任意的函数 f i ( x ) , f j ( x ) ({i, j} ? { i x ? 1,2,3}) ,总存在 x0 ? R ,使得 f( 0 fj( 0 ? .
其中正确的为 ▲ . (填写所有正确结论的序号)

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18. (本小题满分 14 分) 如图,在△ ABC 中, B ?

? D C , BC ? 2 ,点 D 在边 A B 上, A ? D , D ?A , E 为垂足. E C 3
A

(Ⅰ)若△ BCD 的面积为

3 3

,求 CD

的长;

(Ⅱ)若 D E ?

6 ,求角 A 的大小. 2
B

E D

C

(第 18 题) 19. (本小题满分 14 分) 在两个不同的口袋中,各装有大小、形状完全相同的 2 个红球、3 个黄球.现分别从每个口袋中各任取 2 个球,设随机变量 ? 为取得红球的个数. (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E ? . 20. (本小题满分 14 分)

B D 如图,在梯形 ABCD 中, A // C , AB ? AD , AD ? 4 .点 P 在平面 ABCD 上的射影为点 O ,且

P? D 23 A P? ,二面角 P A ? 为 4 5 ? . ? DB
(Ⅰ)求直线 O A 与平面 PAB 所成角的大小;

P

B B ? ,求三棱锥 P?A D的体积. (Ⅱ)若 A ? P 8 B
A

D O B

C

(第 20 题)

21.(本小题满分 15 分) 已知 A 是圆 x
2

? y

2

? 4 上的一个动点,过点 A 作两条直线 l 1 , l 2 ,它们与椭圆

x 3

2

? y

2

? 1 都只有一个公

共点,且分别交圆于点 M , N . (Ⅰ)若 A ( ? 2 , 0 ) ,求直线 l 1 , l 2 的方程; (Ⅱ (i)求证:对于圆上的任一点 A ,都有 l 1 ? l 2 成立; ) (ii)求△ AMN 面积的取值范围.

y A M x O N

(第 21 题)

22.(本小题满分 15 分)

理科数学一模试题卷
2

第 5 页(共 6 页)
2

已知函数 f ?x?? x ? (? x( pl xp ? R ) . 3p ?? ) ( ) 1 n (Ⅰ)若 f ? x ? 无极值点,求 p 的取值范围; (Ⅱ)设 x 0 为函数 f ? x ? 的一个极值点,问在直线 x ? x 0 的右侧,函数 y ? f ?x ? 的图象上是否

(1 存在点 Ax, f (x)), B ( x 2 , f ( x 2 )) ( x 1 ? x 2 ) ,使得 1
在,求出 x 1 的取值范围;若不存在,请说明理由.

f (x2) ? f (x1) ? 3 ? p 成立?若存 x2 ? x1

5