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新版高中数学北师大版必修4课件1.6余弦函数的图像与性质_图文

§6 余弦函数的图像与性质
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§6 余弦函数的图像与性质

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课标阐释

思维脉络

1.会用五点法画余弦函数的图像. 2.掌握余弦函数图像的基本特征. 3.理解并掌握 y=cos x,x∈R 的性质. 4.能利用 y=cos x,x∈R 的性质解决相关 问题.

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一二
一、余弦函数y=cos x,x∈R的图像

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§6 余弦函数的图像与性质 一二

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【做一做1】 用五点法作函数y=cos x+1的图像时,需要描出的五

个关键点的坐标分别是

.

答案:(0,2),

π 2

,1

,(π,0),

3π 2

,1

,(2π,2)

【做一做2】 函数y=-cos x的图像可由y=sin x的图像向





个单位得到.

右解 平析 移π2:y个=-单co位s x即=-可sin得π2到-y==-scions

-

π 2

,因此,只需将

x 的图像.

y=sin

x

的图像向

答案:右

π 2

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二、余弦函数y=cos x,x∈R的性质

函数性质 定义域 值域 奇偶性
单调性
周期性
最值
对称轴 对称中心

y=cos x

R

[-1,1] 偶函数

当 x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)时,函数是增加的;

当 x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,函数是减少的

最小正周期是 2π

当 x=2kπ(k∈Z)时,y 的最大值为 1;

当 x=2kπ+π(k∈Z)时,y 的最小值为-1

x=kπ(k∈Z)

π

+

π 2

,0

(k∈Z)

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一二

【做一做3】 函数y=-3cos x的一条对称轴方程是 ( )

A.x=π2 C.x=52π

B.x=-π2 D.x=-π

答案:D

【做一做4】 对于函数y=sin



+

3π 2

,x∈R,下列说法正确的是

()

A.值域是[-1,0] B.是奇函数

C.最小正周期是2π D.在[0,π]上是减少的


解析:因为y=sin + 2 =-cos x,所以函数的值域是[-1,1],是偶函 数;最小正周期是2π;在[0,π]上是增加的.
答案:C
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)因为y=cos x,x∈R是偶函数,所以y=cos x+5与y=cos(x+5)均是 偶函数. ( )
π
(2)函数y1=|sin x|与y2=|cos x|,x∈R的周期均为 2 . ( ) (3)余弦函数在第一象限内是减少的. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)×

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用五点法作余弦函数的图像

【例1】 画函数y=2cos x+3,x∈[0,2π]的简图.

思路分析:用五点法作图的步骤:列表—描点—连线.

解:(1)列表:

x y=cos x



0



3 2π
2

1 0 -1 0

1

y=2cos x+3

53 13

5

(2)描点:

在平面直角坐标系中描出(0,5),

π 2

,3

,(π,1),

3π 2

,3

,(2π,5)五个点.

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(3)连线: 用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.

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反思感悟用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0),x∈[0,2π]的简图的步

骤:

(1)列表:



3

x

0



2π 2

y=cos x

1

0 -1

0

1

y=Acos x+b

A+b

b -A+b

b

A+b

(2)描点:

在平面直角坐标系中描出(0,A+b),

π 2

,

,(π,-A+b),

3π 2

,

,(2π,A+b)

五个点.

(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.

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变式训练1作出函数y=-cos x+1,x∈[0,2π]的简图.

解:(1)列表: x y=cos x



0



3 2π
2

1 0 -1 0

1

y=-cos x+1

01 21

0

(2)描点:

在坐标系中描出点(0,0),

π 2

,1

,(π,2),

3π 2

,1

,(2π,0).

(3)连线:

用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来(如图所示).

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余弦函数的值域与最值问题
【例2】 求下列函数的值域:
(1)y=-2cos x-1; (2)y=2ccooss+ 1; (3)y=cos2x-3cos x+2. 思路分析:(1)利用余弦函数cos x的有界性,即-1≤cos x≤1来解决; (2)利用反解法解决; (3)利用换元及配方法解决. 解:(1)∵-1≤cos x≤1,∴-2≤-2cos x≤2, ∴-3≤-2cos x-1≤1. ∴函数y=-2cos x-1的值域为[-3,1].

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(2)由 y=2ccooss+ 1可得(1-2y)cos x=y,cos x=1-2





1 2

,

∵|cos x|≤1,∴cos2x≤1,

∴(1-22)2≤1,即 3y2-4y+1≥0,∴y≤13或 y≥1.

∴函数 y=2ccooss+ 1的值域为

-∞,

1 3

∪[1,+∞).

(3)令 t=cos x,∵x∈R,∴t∈[-1,1].

∴原函数可化为 y=t2-3t+2=

-

3 2

2 ? 14,

易知该二次函数的图像开口向上,且对称轴为直线

3
t=2,

∴t∈[-1,1]为二次函数的单调递减区间.

∴当t=-1时,ymax=6;当t=1时,ymin=0. ∴函数y=cos2x-3cos x+2的值域为[0,6].

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反思感悟 与余弦函数有关的值域的求法
(1)直接法:①利用y=cos x的有界性;②已知x的范围,求y=cos x的 值域.
(2)反解法.也是利用有界性,但是要把函数反解成cos x=g(y)的形 式,再用-1≤g(y)≤1,解得y的取值范围.
(3)换元法.令t=cos x,整体换元,换元后的函数必定是我们所熟悉 的函数,比如一次函数、二次函数、对数函数等.

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1 变式训练2求使函数y= - 2 cos + 2 取得最大值、最小值的自
变量x的集合,并分别写出最大值、最小值. 解:因为-1≤cos x≤1,所以当 cos x=-1 时,y 取得最大值√210,此时
x=2kπ+π(k∈Z);当 cos x=1 时,y 取得最小值为√26,此时 x=2kπ(k∈Z), 即函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合分别是{x|x=2kπ+π,k ∈Z}和{x|x=2kπ,k∈Z},最大值和最小值分别是√210 和 √26.

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与余弦函数有关的奇偶性问题 【例3】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xcos x; ((23))ff((xx))==1sci-onsis2nco. s2; 思路分析:先判断定义域是否关于原点对称,再研究f(-x)与f(x)的 关系.

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解:(1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),因此,f(x)是奇

函数.
(2)定义域为 R,且 f(-x)=sin-2cos-2=-sin2cos2=-f(x), 因此,f(x)是奇函数.

(3)函数应满足1-sin x≠0, 即 显函 然数 定的 义定 域义 不域 关为 于原点对≠称2,因π +此π2,f(,x)∈=1Zc-osis,n为非奇非偶函数.
反思感悟1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于

原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的

奇偶性;如果不是,那么该函数必为非奇非偶函数.

2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,要注意两个方面,一是

函数的定义域是否关于原点对称;二是注意三角函数诱导公式的合

理利用.

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变式训练 3(1)若 f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则 φ 可以是( )

A.π4 (2)已知函数

f(x)=B2.π2cos(ωx+φ)(ω>0C).的π 图像关于直线Dx.2=π1π2对称,

且f

π 3

=0,则 ω 的最小值为(

)

A.2

B.4

C.6

D.8

解析:(1)当 φ=π2时,f(x)=cos x 是偶函数. (2)由题设知直线 x=1π2与点 π3,0 分别为 f(x)图像的对称轴与对 称中心,故π12+φ=k1π(k1∈Z),π3+φ=k2π+π2(k2∈Z),于是4π=(k2-k1)π+π2, 故 ω 的最小值是 2.

答案:(1)B (2)A

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余弦函数的单调性及应用

【例 4】

(1)比较 cos187π与 cos

-

π 7

的大小;

(2)求函数y=lg cos x的单调递增区间.

思路分析:(1)先通过诱导公式将两个角转化到y=cos x的同一个 单调区间上,再比较大小;(2)令u=cos x,则在定义域上,y=lg cos x的 单调性与u=cos x的单调性相同.

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解(1)∵cos187π=cos



+

4π 7

=cos47π,cos

-

π 7

=cosπ7,

且 0<π7 < 47π<π,

又 y=cos x 在[0,π]上是减少的,∴cosπ7>cos47π,



18π
cos 7 <cos

π
-7

.

(2)由题意得 cos x>0, 所以-π2+2kπ<x<π2+2kπ,k∈Z.

令u=cos x(0<u≤1),则y=lg cos x=lg u,

因为y=lg u在其定义域上是增加的,

且 u=cos x 在定义域上的单调递增区间为

-

π 2

+

2π,2π

,k∈Z,

故原函数的单调递增区间为

-

π 2

+

2π,2π

,k∈Z.

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反思感悟1.利用余弦函数的单调性比较大小,注意函数名称要相 同,并且比较的角都在同一单调区间内.
2.求函数的单调区间.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则, 求函数的单调区间之前要注意其定义域.

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变式训练 4(1)函数 y=log1cos x 的单调递增区间是

.

2

(2)根据余弦函数的单调性比较 cos

23π
-5

与 cos147π的大小.

(1)解析:由 cos x>0,则 x∈

2π-

π 2

,2π

+

π 2

,k∈Z.

令 t=cos x,y=log1t,则 t=cos x 取单调递减区间.

2

故 x∈

2π,2π

+

π 2

,k∈Z.

答案:

2π,2π

+

π 2

,k∈Z

(2)解:cos

-

23π 5

=cos235π=cos



+

3π 5

=cos35π,

cos174π=cos



+

π 4

=cosπ4.

因为 0<π4 < 35π<π,且函数 y=cos x 在[0,π]上是减少的,

所以 cos

π4>cos35π,即 cos174π>cos

-

23π 5

.

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余弦函数图像的简单应用 【例5】 (1)求不等式cos x<- 12的角x的集合; (2)判断方程|x|=cos x的根的个数.
思路分析:(1)作出y=cos x函数的图像,结合图像得出解集;
(2)作出y=|x|与y=cos x两个函数的图像,看交点个数.

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解:(1)作出函数y=cos x在[0,2π]上的图像(如图所示).

因为 cos 23π=cos 43π=-12,所以当23π<x<43π时,cos x<-12.

因为 y=cos x 的最小正周期为 2π,

所以适合 cos x<-12的角 x 的集合为



2π 3

+



<



<

4π 3

+

2π,∈Z

.

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(2)求解方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函

数f(x)=|x|和g(x)=cos x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和

g(x)=cos x的图像如图所示.显然只有两交点,即原方程有且仅有两

个根.

反思感悟利用余弦函数的图像,可以求满足某一条件的角的取值

范围,还可以研究有关方程的根的个数问题.

(1)用余弦函数的图像求角的范围时,首先可以作出y=cos x在一

个周期内的图像,然后找出适合条件的角的范围,最后依据周期性,

写出所有满足条件的角的范围.

(2)根据余弦函数的图像研究方程根的个数问题时,要正确作出相

应函数的图像,注意角的取值范围,分析观察图像的交点情况.

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变式训练 5(1)函数 y= sin(cos)的定义域是 ( )

A.2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈Z)

B.2kπ≤x≤(2k+1)π(k∈Z)

CD(2..)22方kkππ程≤-π2≤xc≤oxs≤2xk=2πk+π12π2((kk∈在∈Z[Z0)),2π]上实根的个数是

.

(1)解析:由sin(cos x)≥0,



2π ≤ cos ≤ -1 ≤ cos ≤ 1

2π +

π,(n∈Z)?0≤cos

x≤1?2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈Z).

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1
(2)在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=cos x与y= 2 在 [0,2π]上的图像(如图),它们有3个交点,故方程有3个实数根.

答案:(1)A (2)3
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§6 余弦函数的图像与性质 1234

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1.函数 y=cos

-

+

π 2

的奇偶性是(

)

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数也是偶函数

解析:因为 y=cos

-

+

π 2

=sin x,所以该函数是奇函数.

答案:A

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1234
2.函数y=cos x-2在x∈[-π,π]上的图像是( )

解析:把y=cos x,x∈[-π,π]的图像向下平移2个单位长度即可. 答案:A
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3.从函数y=cos

x,x∈[0,2π]的图像来看,满足cos

x=-

√3 2

的x的个数是

()

A.1 B.2 C.3 D.4
解析:先画出函数 y=cos x,x∈[0,2π]的简图,再画出直线 y=-√23,图略, 可得有两个交点,即满足 cos x=-√23,x∈[0,2π]的 x 有 2 个.
答案:B

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4.函数y=x2-cos x的零点个数为

.

解析:在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图像,如图所示.

则两个函数图像有2个交点,∴函数y=x2-cos x的零点有2个.

答案:2
-31-