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【2019年整理】111常数项级数的概念与性质_图文

第11章

无 穷 级 数
infinite series

11.1 常数项级数的概念与性质

为什么要研究无穷级数
无穷级数是数和函数的一种表现形式. 是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、 造函数值表).

因无穷级数中包含有许多非初等函数, 故它在积分运算和微分方程求解时, 也呈现
出它的威力. 在自然科学和工程技术中, 也常用无穷 级数来分析问题, 如谐波分析等.
2

11.1 常数项级数的概念与性质

11.1 常数项级数的概念和性质
constant term infinite series

常数项级数的概念
收敛级数的基本性质

柯西审敛原理
小结 思考题
第11章 无穷级数

作业
3

11.1 常数项级数的概念与性质

一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正
设a0表示内接正三角形面积, ak表示 边数增加时增加的面积, 则圆内接正 边形,

边形面积为

??
这个和逼近于圆的面积 A . 即
4

11.1 常数项级数的概念与性质

1. 级数的定义

?u
n ?1

?

一般项
n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ?
3 3 3 ? ? ? ? n ? ?; 10 100 10

(1)

(常数项)无穷级数



1 1 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? ( ?1) ? ?; 2 3 4 n

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1)n?1 ? ?.

以上均为(常)数项级数.
5

? 11.1 常数项级数的概念与性质

?u
n ?1

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? (1)

2. 级数的收敛与发散概念 无穷级数定义式(1)的含义是什么? 按通常的加法运算一项一项的加下去, 永远 也算不完, 那么如何计算?

称无穷级数(1)的 前n项和

sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? ui 为级数(1)的部分和.
i ?1

n

这样, 级数(1)对应一个部分和数列:

s1 ? u1 , s2 ? u1 ? u2 , s3 ? u1 ? u2 ? u3 , ?, sn ? u1 ? u2 ? ? ? un , ?
从无限到有限, 再从有限(近似)到无限(精确)
6

11.1 常数项级数的概念与性质

部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限. 定义11.1 当n无限增大时, 如果级数? un的
n ?1 ?

部分和数列sn有极限s, 即 lim sn ? s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 ? u 收 敛, 这 时 极 限 ? u 的 和.
n ?1 n
n ?1 n

?

n? ?

?

并写成 s ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ?

如果sn没有极限, 则 称 无 穷 级 数 ? un发 散.
n ?1

?

即 lim sn存在 (不存在) ? 常数项级数收敛 (发散).
n? ?
7

11.1 常数项级数的概念与性质

?u
n ?1

?

n

? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? (1)

级数的敛散性它与部分和数列是否有极限 是等价的. 对收敛级数(1), 称差

rn ? s ? sn ? un?1 ? un? 2 ? ? ? ? un? i
i ?1

?

rn ? 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n? ?

当n充分大时, sn ? s, 误差为 | rn | .
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11.1 常数项级数的概念与性质

例 级数 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 的部分和



n( n ? 1) sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 n( n ? 1) lim sn ? lim ? ? n? ? n? ? 2

所以, 级数发散.

9

11.1 常数项级数的概念与性质

例 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) ? n? 0 ?

的收敛性. (重要)

解 如果q ? 1时,

sn ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n?1

a ? aq a aq n ? ? ? 1? q 1? q 1? q
n

a 当q ? 1时, 因为 lim q ? 0, 所以 lim sn ? , n? ? n? ? 1? q 级数收敛;
n
10

11.1 常数项级数的概念与性质

a aqn sn ? ? 1? q 1? q

当q ? 1时, 因为 lim q n ? ? , 所以 lim sn ? ?,
n? ?
n??

级数发散;

n n aq ? a ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) 如果 q ? 1时, ?

?

当q ? 1时, sn ? na ? ?, 级数发散;
当q ? ?1时, 级数变为 a ? a ? a ? a ? ?

n? 0

sn 不存在, 级数发散. 所以 lim n??

?当 q ? 1时, 收敛 . 综上: ? aq ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散
? n
11

11.1 常数项级数的概念与性质

例 判定级数

1 1 1 ? ? ?? ? ? 的收敛性. 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 ? ( ? ) 解 因为 un ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? ? ?? 所以 sn ? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1
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11.1 常数项级数的概念与性质

1 1 sn ? (1 ? ) 2 2n ? 1 1 1 1 sn ? lim (1 ? )? 所以 lim n? ? n? ? 2 2n ? 1 2

1 1 所以级数收敛, 和 为 .即 s ? 2 2 其余项为 rn ? s ? sn
1 1 1? 1 ? 1 . ? ? ?1 ? ?? ? 2 2? 2n ? 1 ? 2 2n ? 1

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11.1 常数项级数的概念与性质

n 例 证明级数 ? n 收敛, 并求其和. n ?1 2

?

1 2 3 n 证 因为 sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 2 3 n 2 sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 后式减前式, 得
2 1 3 2 n n?1 n s n ? 1 ? ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ?1 ) ? n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 ? 2n n ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n 1 2 2 2 2 2 1? 2
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11.1 常数项级数的概念与性质

1 1? n n 1 n 2 sn ? ? n ? 2 ? n ?1 ? n 1 2 2 2 1? 2 1 n 故 s ? lim sn ? lim( 2 ? n?1 ? n ) ? 2 n?? n? ? 2 2
所以, 此级数收敛, 且其和为 2.

n ? n 2 n ?1

?

15

11.1 常数项级数的概念与性质

二、收敛级数的基本性质 ? ? 性质11.1 设常数 k ? 0, 则 ? un与? kun
有相同的敛散性.
? n ?1 n ?1 n ?1

证 令? un与? kun 的部分和分别为 sn 及? n . 则
n ?1

?

? n ? ku1 ? ku2 ? ? ? kun ? k ( u1 ? u2 ? ? ? un ) ? ksn
于是 当sn ? s, ? n ? ksn ? ks ;

当sn不存在极限且 k ? 0时, ? n ? ksn也不存在极限.
所以, ? un与? kun 有相同的敛散性.
n ?1 n ?1 ? ?

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.

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11.1 常数项级数的概念与性质

例 讨论级数 ? 3 ln a(a ? 0) 的敛散性.
n n ?1

?

n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 ? n ?1

?



1 当 ? a ? e时, | ln a |? 1, 级数 收敛; e 1 当0 ? a ? 或a ? e时, | ln a |? 1, 级数发散. e ? 当 q ? 1时, 收敛 , n? aq ? ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散.
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11.1 常数项级数的概念与性质

性质11.2 设有两个级数 ? un与? vn ,
n ?1 n ?1

?

?

若 s, ? vn ? ? , 则? ( un ? vn ) ? s ? ? . 结论 : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 . ?u n ?
若? un 收敛, ? v n 发散, 则? ( un ? vn ) 发散. 若? un , ? v n 均发散, 则? ( un ? vn ) 敛散性不确定.
n ?1 n ?1 ?

?

?

?

n ?1 ?

n ?1 ?

n ?1 ?

n ?1

n ?1

?

?

n ?1

证 级数的部分和 ? ( ui ? vi ) ? ? ui ? ? vi 极限的性质 lim? ( ui ? v i ) ? lim ? ui ? lim ? vi
n? ? n

n ?1 n

n

n

i ?1

i ?1

n

i ?1 n

即证.

i ?1

n? ?

i ?1

n? ?

i ?1

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11.1 常数项级数的概念与性质

1 例 ? n?1 , ? n 都收敛. n ?1 2 n ?1 3
?

?

1

?

? ?当 q ? 1时, 收敛 aq ? ? ? n? 0 ?当 q ? 1时, 发散
? n

1 1? ? 1 ? n ?1 ? n ? ? ? n ?1 ? ? n ? 3 ? n ?1 2 n ?1 ? 2 n ?1 3
1
??
n ?1 ?

?

?

1 2
n ?1

1 ? 1 ? ? n ?1 3 n ?1 3

1 1 5 ? ? ? ? . 1 3 1 2 1? 1? 2 3

1

无穷递减等比数列的和 a1 S? 1? q

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11.1 常数项级数的概念与性质

若两级数都发散,

不一定发散.

例 1 ? 1 ? 1 ? ?, (?1) ? (?1) ? (?1) ? ?,

都发散. 但

[1 ? ( ?1)] ? [1 ? ( ?1)] ? ?

? 0 ? 0 ? ?? 0 ? ? ? 0

级数收敛.

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11.1 常数项级数的概念与性质

性质11.3 添加、去掉或改变有限项不影响 一个级数的敛散性.

证 将级数 ? un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n ?1

?

的部分和为 ? n ? ? uk ? l ? sk ? n ? sk
l ?1

n

极限状况相同, 故新旧两 级数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为

? ? s ? sk . 类似可证前面加上有限项的情况 .
推论11.2 在级数中添加、去掉或改变有限项 不影响一个级数的敛散性.
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11.1 常数项级数的概念与性质

性质11.4 设级数 ? un 收敛, 在此收敛级数内 可以任意加(有限个或无限个)括号, 所得新级数仍 收敛于原级数的和 (这个性质也称无穷和的结合律). 注 ① 一个级数加括号后所得新级数发散, 则原级数发散. 事实上, 设原来的级数收敛, 则根据 性质11.4, 加括后的级数就应该收敛了. ② 一个级数加括号后收敛, 原级数敛散性不确定.
n ?1

?

例如 (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ? 收敛 发散 1?1?1?1?? 要强调的是, 收敛级数一般不能去掉无穷多个 括号; 发散级数一般不能加无穷多个括号.
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11.1 常数项级数的概念与性质

性质11.4

收敛级数加括弧后所成的级数仍
?

收敛于原级数的和. 证 设收敛级数 s ? ? un , 若按某一规律加括弧,
n ?1

例如 则新级数的部分和数列 为原级数部分

和数列 sn ( n ? 1,2,? ) 的一个子数列, 因此必有

? s.

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11.1 常数项级数的概念与性质

定理11.5 若级数? un收敛, 则 lim un ? 0 证 设 s ? ? un , 即 lim sn ? s, 则 un ? sn ? sn?1
n ?1 ?
n ?1

?

n? ?

n? ?

un ? lim sn ? lim sn?1 ? s ? s ? 0. 所以 lim n? ? n?? n??

此定理是级数收敛的必要条件.

注 (1) 此定理常用来判别级数发散;
(2) 也可用此定理求或验证极限为“0”的极限; (3) 此定理是必要条件而不是充分条件.
1 1 1 如 调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 有 lim un ? 0 n? ? 2 3 n

但级数是却是发散的. (后面将给予证明)

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11.1 常数项级数的概念与性质

例 判别下列级数的敛散性

n ? 2n ? 5 (1) ? n?1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3) n ? 3n ( 2) ? n ( 1 ? n ) n ?1
3

?

? 1 ln n 3 ? ( 3) ? ? ? 3n ? 3 n ? ? n ?1 ? ?
?

解题思路 级数收敛的必要条件 lim un ? 0,
n? ?

常用判别级数发散.
25

11.1 常数项级数的概念与性质

n 3 ? 2n ? 5 (1) ? n?1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3)
解 由于

?

发散

n 3 ? 2n ? 5 1 lim un ? lim ? ?0 n? ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1)( 2n ? 3) n? ? 8
?

3n n ( 2) ? n ( 1 ? n ) n ?1
解 由于

发散

1 3 lim un ? 3 lim ? ?0 n n? ? n? ? e 1? ? ?1 ? ? n? ?
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11.1 常数项级数的概念与性质

? 1 ln n 3 ? ( 3) ? ? ? 3n ? 3 n ? ? n ?1 ? ? ? 1 解 因调和级数? 发散, 由性质11.1知, n ?1 n ? 1 发散. ? n ?1 3n
?

ln n 3 l n3 而级数 ? n 是以 r ? 为公比的等比级数, 3 n ?1 3

?

ln 3 ? 1 所以这个等比级数 收敛. | r |? 3
? 1 ln n 3 ? 由性质11.2知, ? ? ? 3n ? 3 n ? ? 发散. n ?1 ? ?
?

27

11.1 常数项级数的概念与性质

级数收敛的必要条件: lim un ? 0
设? un 为收敛级数, a为非零常数,
?

n? ?

试判别级数 ? ( un ? a ) 的敛散性.
解 因为 ? un 收敛, 故 lim un ? 0.
n ?1
n ?1 ?

n ?1 ?

n? ?

从而 lim( un ? a ) ? a ? 0
n? ?

故级数 ? ( un ? a ) 发散.
n ?1

?

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11.1 常数项级数的概念与性质

柯西收敛准则 数列{xn}收敛的充要条件是: 三、柯西审敛原理(柯西准则) ? ? ? 0, ?正整数N , 当m ? N , n ? N时, 有 定理11.6(判别级数收敛性的柯西收敛原理 ) xm ? xn ? ?
级数? un收敛 ??? ? 0, ? N ? 0, 当n ? N 时,
? n ?1

对于任意正整数p, 有 | un?1 ? un? 2 ? ? ? un? p | ? ? .

证 设所给级数部分和数列为sn ( n ? 1,2,?).
由判断数列收敛性的柯西准则知, 数列{sn}收敛的

充要条件是: ?? ? 0, ? N ? 0,当m , n ? N时, 有

| sn ? sm | ? ? 显然, 可改写为当 n ? N 时,有| sn? p ? sn | ? ? ( p ? 1,2,?)
即当n ? N 时, 有 | un?1 ? un? 2 ? ? ? un? p | ? ? .
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11.1 常数项级数的概念与性质

例 利用柯西收敛原理证明调和级数 柯西收敛准则 数列{xn}收敛的充要条件是: ? 1 N ,当 1 m1 1 N时, 有 ? N ,n ? ?? ? 0, ?正整数 ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? n xn 3 ?? n?1 n xm ?2 发散.
证 考虑此级数的一段 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? n?1 n? n n?1 2n 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?? 显然, 2n 2 n?1 2 n 2n 2n 这说明: 不论n多么大, 调和级数的这一段的绝对值

都不可能任意小, 由柯西收敛原理得知, 调和级数
发散.
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11.1 常数项级数的概念与性质

1 例 利用柯西收敛原理判定级数 ? 2 的收敛性. n ?1 n 解 因对任意正整数p, 都有

?

| un?1 ? un? 2 ? ? ? un? p |
1 1 1 ? 2 ? 2 ? ?? ( n ? 1) ( n ? 2) ( n ? p )2 1 1 1 ? ? ? ?? n( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? p ? 1)( n ? p)
1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?1 ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? n n ? 1? ? n ? 1 n ? 2 ? ?n? p?1 n? 1 1 1 ? ? ? , n n? p n ? ? p?

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11.1 常数项级数的概念与性质

1 | un?1 ? un? 2 ? ? ? un? p | ? n

1 ? ? ? 0 , 所以 取正整数 N ? , 则当n ? N 时, ? 对于任意正整数p, 有

| un?1 ? un? 2 ? ? ? un? p | ? ?
1 成立. 按柯西收敛原理, 级数? 2 收敛. n ?1 n
?

柯西收敛准则 数列{xn}收敛的充要条件是: ?? ? 0, ?正整数N , 当m ? N , n ? N时, 有 xm ? xn ? ?
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11.1 常数项级数的概念与性质

研究生考题(数学三) 选择, 4分
? ?

设an ? 0, n ? 1,2,?, 若? an发散, ? ( ?1)n?1 an收敛,
n ?1 n ?1

则下列结论正确的是
( A ) ? a2 n?1收敛,? a2 n发散. (B ) ? a2 n收敛,? a2 n?1发散 . (C) ? (a2 n?1 ? a2 n )收敛.
n ?1 n ?1 ? n ?1 ? ? ? ? n ?1 ? n ?1

( D) ? (a2 n?1 ? a2 n )收敛.
n ?1

? ? ak a ? 0且 因为 n?1? an发散, 所以 s n ?? 1 ??, 因为? ( ?1) n a?n 收敛, 所以 s ? ? ( ?1) an 有极限, ? 1 (a (n ? a2 n )发散, 则与(D)正确矛盾. 则? n ?1 2 0? )1 所以? (a ? a )发散. (1 ) s ? ?? , 即 nn ?1? s 2 n 即 sn ? s2 n 有极限, 所以(n D )成立. ?1
n ?1 ? ? n (0) 2n (1) 2 n k ?1 2n k ?1 2 n ?1 2n k ?1

( )对 2n (A) 错 (D C) 错 n 2 n(B)错. 同理 ? ? k ?1 s ? ( a ? a ) ? a ? ( ? 1 ) ak ? ? na 2k ? 13 ? 24 k k ( a ? a ) ? ( a a ) ? ? ? ( a ? a ) s ? 若 收敛 , a 发散 . 1 2 2 n ? 1 2 n n ? ? 2 n ?1 ? 2n 2n
k ?1 ? n ?1 k ?1

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11.1 常数项级数的概念与性质

四、小结
常数项级数的基本概念

一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质 级数收敛的必要条件 柯西审敛原理
n aq 的收敛性 记住等比级数(几何级数) ? n? 0 ? 1 调和级数 ? 发散 n ?1 n 基本审敛法: ?

(1) 当 lim un ? 0, 则级数发散;

(2) 由定义, 若sn ? s, 则级数收敛;
(3) 按基本性质; (4) 按柯西审敛原理.
34

n??

11.1 常数项级数的概念与性质

思考题
是非题
(1) 若 lim un ? 0, 则? un必收敛.
n??
? n ?1 ?



un ? 0. 非 ( 2 ) 若? un发散, 则必有lim n??
n ?1

( 3 ) 若 lim un ? 0, 则必有? un发散.
n??
n ?1

?



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11.1 常数项级数的概念与性质

作 业 习题11.1(478页)

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