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4贵阳高一数学暑假


一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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第一章

一元二次不等式
本章进步目标

★★★☆☆☆?
Level3 ? ? ? ?
通过对本节课的学习,你能够: 1.对一元二次方程与不等式达到【高级理解】级别; 2.对二次函数达到【高级理解】级别。

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进步可视化教学体系
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弗朗索瓦?韦达(法语:Fran?ois Viète;拉丁语:Franciscus Vieta;1540 年-1603 年) ,16 世纪法国最有影响的数学家之一。他的研究工作为近代数学的发展奠定了基础。他 也是名律师,是皇家顾问,曾为亨利三世和亨利四世效力。 1540 年,韦达生于法国普瓦图地区,今旺代省的丰特奈-勒孔特,早年在普瓦捷学习法 律,后任律师。数学是他的业余爱好。他是第一个有意识地、系统地使用符号的人。他不仅 用字母表示未知量和未知量的乘幂, 而且用来表示一般的系数。 他把符号代数称为类的算术, 以别于数的算术。他还发现了代数方程根与系数的关系的韦达定理。韦达对三角学也更进一 步将已有的三角学系统化。在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中, 就有解直角三角形、斜三角形等的详述,并且还有平面三角形的正切定理、球面钝角三角形 的余弦定理、许多三角恒等式以及差化积定理等。他并有系统地发展了利用全部六种三角函 数求解各种平面与球面三角形的方法。1603 年 12 月 13 日韦达在巴黎病逝。

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一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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第一关

一元二次方程与不等式

★★★☆☆☆ Level?3
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本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够求一元二次方程的根及其分布; ★★★☆☆☆ 你能够解一元二次不等式。

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关卡 1-1 ? 求一元二次方程的根及其分布
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:了解一元二次方程根与系数的关系

求一元二次方程的根及其分布 【高级理解】

判断一元二次方程 根的个数并解一元 二次方程

推导并理解韦达 定理

会利用韦达定理判 断方程根的分布

理解一元二次方程 与二次函数的关系

笔记?

 1.根的判别式
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 根的情况由        决定,我们把它叫做根的判别式,通常用符

号____________表示.
2 一般地,方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?  

(1)如果______________,则说明方程有        个实数根 (2)如果______________,则说明方程有        个实数根 (3)如果______________,则说明方程有        个实数根  2.根与系数关系(韦达定理)
? x1 ? x2 ? ______ 2 在一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 有两个实根 x1 , x2  ,那么有 ?  ? x1 ? x2 ? ______

拓展:      

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例题?
2 1.讨论关于 x 的方程 (m ? 1) x ? 2mx ? (m ? 2) ? 0 的根的情况.?

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一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

2.若 x1 , x2 分别是一元二次方程 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 的两根,求下列式子的值: (1) | x1 ? x2 | ;        3.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2mx ? m ? 2 ? 0  (1)若方程的两个根都是正数,求 m 的取值范围; (2)若方程的两个根一个大于 0,另一个小于 0,负根的绝对值小,求 m 的取值范围; (3)若方程的两个根一个大于 1,另一个小于 1,求 m 的取值范围.            4.若一元二次方程 x 2 ? 4 x ? a ? 0 的两个根,一个比 3 大,一个比 3 小,求 a 的取值范围.             (2) 1 1 ? ; x12 x2 2  
3 3 (3) x1 ? x2 

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?
2 讨论关于 x 的方程 ax ? ?1 ? a ? x ? 1 ? 0 的根的情况.

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Exercise?2?

错题记录?

若 x1 , x2 是方程 x 2 ? 2 x ? 2018 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
(1) ? x1 ? 5 ?? x2 ? 5 ?     (2) x1 ? x2     (3)

1 1 ?  x1 x2

   


Exercise?3?

错题记录?

2 若方程 x ? 11x ? ? 30 ? k ? ? 0 有两个实数根,且两个实数根均大于 5,则 k 的取值范围为(   )

A. 0 ? k ? 14 
 
错题记录?

B. 0 ? k ?

1  4

C.

1 ? k ?1  4

D. k ?

1  4

Exercise?4?

已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2 ? 4 x ? m ? 1 ? 0 有两个非零实数根,求满足下列条件时, m 的取值范 围:
(1)两根都小于 0; (2)一根大于 0,一根小于 0.           

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一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

关卡 1-2 ? 解一元二次不等式
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:学会利用二次函数图像求解一元二次不等式

解一元二次不等 式【高级理解】

会解一元二次方程

会画二次函数的 图像

理解一元二次不等式 与二次函数的关系

理解一元二次不 等式与一元二次 方程的关系

笔记?
2 假设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则一元

二次不等式的解的各种情况如下表:  二次函数

??0

? ?0

??0

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c

 

 

 

? a ? 0 ? 的图象

一元二次方程

ax 2 ? bx ? c =0





 

? a ? 0 ? 的根

一元二次不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0





 

? a ? 0 ? 的解集

一元二次不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0







? a ? 0 ? 的解集

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例题?

1.解不等式:? ? (1) x 2 ? x ? 6 ? 0     (3) ?2 x 2 ? 3x ? 7 ? 0         
2 3.已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解为 x ? ?2 或 x ? ?











(2) x 2 ? 8 x ? 16 ? 0 





2 2.解关于 x 的不等式: (m ? 1) x ? 2mx ? (m ? 2) ? 0 ( m ? R )

1 ,求关于 x 的不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的 2

解.   

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

解不等式: (1) ?4 ? x ? x 2 ? 0        (2) x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 

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Exercise?2?

错题记录?

2 2 3 解关于 x 的不等式: x ? ? a ? a ? x ? a ? 0 ( a ? R )

  
 Exercise?3?
错题记录?

2 2 若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解为 ?3 ? x ? 4 ,求不等式 bx ? 2ax ? c ? 3b ? 0 的解.



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一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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第二关

二次函数

★★★☆☆☆ Level?3
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本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够求二次函数的单调性和最值。

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关卡 2
? 过关指南
Tips?

? 求二次函数的单调性和最值

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:会画二次函数图像,并掌握其性质

求二次函数的单调性和最值 【高级理解】

会画二次函数的图象

能根据二次函数图像确定对称轴 位置

能根据二次函数图象得单调 区间

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笔记?

1.区间的介绍:? a? x?b?  a? x?b?  a? x?b?  a? x?b? 

x?a? x?a? x?a? x?a?
2.二次函数的图像及性质:
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 

对称轴:             ,顶点坐标:               a ? 0 时开口朝          ,单调区间:                                图像:      a ? 0 时开口朝          ,单调区间:                                图像:      ? 10?
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一元二次不等式  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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例题?
2 2 1 . 二 次 函 数 y ? ? x ? 2mx ? m ? 3 的 图 像 的 对 称 轴 为 x ? 2 ? 0  , 则 m ?        , 顶 点 坐 标

为             ,递增区间为             ,递减区间为                  . 
2 2.已知函数 y ? x ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上递减,则实数 a 的取值范围是 (    )

A. a ? ?3  

B. a ? ?3 

C. a ? 5 

D. a ? 3 

2 (1)对于二次函数 y ? 2 x ? 3 x ? 1 ,求函数在 ? 0, 2? 上的最大值和最小值. 3.

  
2 (2)若函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 1 ,当 0 ? x ? m 有 ?

25 ? y ? ?4 ,则实数 m 的取值范围是(    ) 4

A. ? 0, 4? 

?3 ? B. ? , 4 ?  ?2 ?

?3 ? C. ? , ?? ?  ?2 ?

?3 ? D. ? ,3?  ?2 ?

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?
2 二次函数 y ? x ? 2ax ? b 在 ?1, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是(    )

A. ?1, ?? ?  

B. ? ??, ?1? 

C. ? ??,1? 

D. ? ?1, ?? ? 

?

Exercise?2?

错题记录

2 (1)二次函数函数 y ? ?3 x ? 6 x ? 7 求当 ?3 ? x ? ?1 时 y 的取值范围            .

(2)已知函数 f ( x ) ? ax ? 2ax ? 3 ? b( a ? 0) 在 ?1,3? 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a, b 的值.
2





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集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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第二章

集合
本章进步目标

★★★☆☆☆?
Level3 ? ? ? ? 1. 对集合的概念与表示达到【高级理解】级别; 2. 对集合间的关系达到【高级理解】级别; 3. 对集合的运算达到【高级理解】级别。
通过对本节课的学习,你能够:

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理科生问禅师:我想要很多钱,但是又不想付出,你能教给我方法吗? 禅师微笑道:可以,但你能找到一样东西,它无穷无尽,但又不占任何地方吗? 理科生默默地写了一个康托尔集。

康托尔集 要看懂这段子, 当然要先懂康托尔集是神马。 所谓康托尔集就是…… (集中注意力啦) …… 从长度为 1 的线段开始,先挖去中间的三分之一,剩下两条长 的线段。然后挖去剩下两条线 段的中间三分之一,剩下四条长 的线段。然后挖去剩下四条线段的中间三分之一,剩下八条 长
1 的线段。然后无限重复下去……在极限处得到的就是康托尔集。因为每次都挖去上次的 27 1 9 1 3

1 2 2 n ,所以每次迭代,总长度都变成原来的 ,第 n 次迭代后,总长度是 ( ) 。当 n 趋向于无穷 3 3 3

时,容易知道,康托尔集的总长度为 0,不占任何地方。但是!它上面有无数个点!实际上它 和原来的线段有一样多的点!好了,这下明白了吧?! 那么问题来了! 这些点在一起构成的整体叫做什么呢?为什么分割了那么多次的线段跟原 来的线段有一样多的点呢?让我们一起来看高中数学的第一个板块知识吧!

? 14?
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集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第一关

集合的概念与表示

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够理解集合的概念并会表示集合。

?
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关卡 1
? 过关指南
Tips?

? 理解集合的概念并会表示集合

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:理解集合的概念和集合中元素的性质,能够判断元素与集合的关系,并会表示集 合 理解集合的概念并会表示集合 【高级理解】

理解集合的概 念

会用规定的方 法表示集合

能判断元素与 集合的关系

理解集合中元 素的三个性质

理解常见数集 的表示方式

? ?

笔记?

一.集合的概念? 1.元素与集合的定义: 一般的,我们把           统称为元素,把                 称做集合.  2.元素与集合的关系: 元素 x 在集合 A 中,称 x 属于 A ,记作              ,否则称 x 不属于 A ,记作               3.集合中的元素具有的三个性质:   4.常见数集符号 数集 符号  二.集合的表示方法? 1.集合的表示方法:  2.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{  }”内表示集合的方法. 当集合中的元素  3.描述法:用    表示集合的方法称为描述法 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 描述法的格式:                                                                 ? 16?
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,





;





.

自然数集 

正整数集 

整数集 

有理数集 

实数集 





,  



,





.



时,用列举法表示方便.

集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

 4.韦恩图法:  三.集合的分类? 集合通常可分为 空集:       ,   ,   . ;  的集合,记作      

? ?

例题?

1.下列指定的对象,能构成一个集合的是                 .                        ① 很小的数                                ③ 直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点    ⑤ 高一年级优秀的学生                     ⑦ 大于 2 的整数                          2.用适当的方法表示下列集合:
? x? y?2 (1)方程组 ? 的解集 ?3 x ? 2 y ? 5

② 不超过 30 的非负实数    ④ ? 的近似值        ⑥ 所有无理数       ⑧ 正三角形全体



  (2)100 以内被 3 除余 1 的正整数   (3)到两坐标轴距离相等的点的集合   
2 2 3.已知集合 A 中由 a ? 1, 2a ? 5a ? 1, a ? 1 组成,且 ?2 ? A ,求 a 的值.

? ? ? ? ?
2 4.已知 a , 2 ? a, 4 组成一个集合, 集合里面有三个元素,则实数 a 为(    )

A. 1 

B. ?2 

C. 6 

D. 2 

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

下列各组对象能构成集合的是(    ) A 参加 2011 年世界大学生运动会的优秀运动员 B. 3 近似值的全体 C. 参加 2011 年世界大学生运动会的著名裁判员 D. 参加 2011 年世界大学生运动会的所有运动员  ?
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Exercise?2?

错题记录?

用适当的方法表示下列集合:  (1) x 2 ? 3 ? 0 的解;     (2)所有大于 0 小于 10 的奇数;  (3)不等式 2 x ? 1 ? 3 的解.  
 Exercise?3?
错题记录?
2 已知 a ? {a,1,0} ,则 a 的值为           .

      Exercise?4?
?

错题记录?

2 已知集合 A ? {a, a ? b, a ? 2b} , B ? {a, ac, ac } ( a ? R ) ,若 A ? B ,求 c 的值.

?

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集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第二关

集合间的关系

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够判断集合间的关系。

?
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关卡 2
? 过关指南
Tips?

? 判断集合间的关系

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:理解集合间关系的分类,会判断集合间的关系 判断集合间的关系 【高级理解】

理解集合间关系 的分类

会判断元素与集 合的关系

会计算子集的个 数

会区分子集、真子 集、非空真子集

会用公式法求解 子集个数

? ?

笔记?

一.集合间的关系? 1.子集:                                            ,我们就说这两个集合有包含关系,集 合 A 称为集合 B 的子集,记为             ,读作“                 ” 2.集合相等 (1)      ,则称 A ? B     ,我们称集合 A 是集合 B 的_________. (2) A ? B , B ? A ? A ? B  3.真子集:                      记作:  二.子集个数的计算? 集合 A 中包含 n 个元素,其子集的个数为________,                          其真子集的个数为________,                          其非空子集的个数为________,                          其非空真子集的个数为________.   4.如果 A ? B, B ? C ,那么            ,符号表示:       

? ?

例题?

1.判断下列集合的关系 (1) N ______ Z       (2) N ______ Q       (3) R ______ Z 
2 (4) A ? ? x ( x ? 1) ? 0?  



B ? ? y y 2 ? 3 y ? 2 ? 0? 

2 (5) A ? ??1,1?                   B ? ? x x ? 1 ? 0? 

 ? 20?
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集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?
2 2 2 2.设集合 A ? ? x | x ? 4 x ? 0, x ? R? , B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0, x ? R} ,若 B ? A ,求实数 a 的取

值范围.      3.已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.     

?
4.已知集合 A ? {1,3,5} ,求集合 A 的所有子集个数,真子集个数,非空真子集个数.     

?
2 5. 已知集合 A ? {x | ax ? 2 x ? a ? 0, a ? R} ,若集合 A 中有且仅有 2 个子集,则 a 的取值范围是

___________.  6.已知 {a, b} ? X ? {a, b, c, d , e} ,写出满足条件的所有集合 X .   

? ? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

判断下列两个集合之间的关系 (1) A ? ?1, 2, 4? , B ? {x | x 是 8 的约数 }  (2) A ? ? x | x ? 3k , k ? N? , B ? {x | x ? 6m, m ? N}  (3) A ? ? x x 是 4 与 10 的最小公倍数 } , B ? {x | x ? 20n, n ? N ? }  (4) A ? ? x | 0 ? x ? 5? , B ? {x | ?1 ? x ? 5}  (5) A ? ?( x, y ) | xy ? 0? , B ? ?( x, y ) | x ? 0, y ? 0?  ?
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Exercise?2?

错题记录?

2 设 A ? ? x | x ? 7 x ? 12 ? 0? , B ? {x | ax ? 1 ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a 组成的集合,并写出它的所有非

空真子集.
    Exercise?3?
错题记录?

已知集合 A ? {x |1 ? ax ? 2}, B ? {x || x |? 1} ,是否存在实数 a ,使得 A ? B ?求实数 a 的取值范围 ______________.
    Exercise?4?
错题记录?

2 若集合 A ? {x | ax ? ax ? 1 ? 0, a ? R} 若集合 A 中有且仅有 2 个子集,则 a 的取值范围是___________. 

  Exercise?5?
错题记录?

设 A ? {0,1, 2,3, 4}, B ? {0, 2,3,5,8}, C ? A 且 C ? B ,这样的集合 C 共有多少个??

? 22?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第三关

集合的运算

★★★☆☆☆ Level?3


本关进步目标
★★★☆☆☆ ★★★☆☆☆ ★★★☆☆☆ 你能够求集合的并集; 你能够求集合的交集; 你能够求集合的补集。

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关卡 3-1 ? 求集合的并集
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:了解集合并集的概念,并会求集合的并集

求集合的并集 【高级理解】

理解并集的概念

会求解集合的并集

利用并集的性质求参数

笔记?

1. 一般地,由所有属于集合 A      属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集 (Union) .记作: A ? B ,读作: “ A并B” ,即: A ? B ? {x | x ? A, 或 x ? B}   2.观察韦恩图,填写合适的符号.

A ? B ___ B ? A ,
A ______ A ? B  B ______ A ? B 

A ? ? ______ A 
 3.若 A ? B=B ,则 A ? B ,反之,若 A ? B ,则 A ? B=B .即 A ? B ? ________. 

? ?

例题?

1.集合 A ? {1, 2,3, 4,5}, B ? {2,3, 4,5,7} ,求 A ? B .     2.集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,求 A ? B . 

? ? ?
2 3.集合 A ? {0, 2, a} ,集合 B ? {1, a } ,若 A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,求 a 的值.

? ? ?
? 24?

?

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VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

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2 4.设集合 A ? {?3,0,1}, B ? {t ? t ? 1} ,若 A ? B ? A ,求 t 的值.

? ? ? ? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

已知 A ? {1, 2, 4}, B ? {2, 4,6} ,求 A ? B .    

?

Exercise?2?

错题记录

已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? {x | x ? ?5 或 x ? 5} ,求 M ? N .  
  Exercise?3?
错题记录

2 集合 A ? {0, a} ,集合 B ? {0, a } ,若 A ? B ? {0, a} ,求 a 的值.

   
  Exercise?4?
错题记录

2 2 已知集合 M ? {x | x ? ax ? 2 ? 0}, N ? { y | y ? 2 y ? b ? 0}, 

A ? {x | ? x( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,若 M ? N ? A ,求 a, b .

? ? ? ? ?
? ?

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

25

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 3-2 ? 求集合的交集
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:了解集合交集的概念,并会求集合的交集

求集合的交集 【高级理解】

理解交集的概念

会求解集合的交集

利用交集的性质求参数

? ?

笔记?

1. 一般地, 由属于集合 A _____ 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) .记作: A ? B ,读作: “ A交B” ,即: A ? B ? {x | x ? A, 且 x ? B}   2.交集的性质: A ? B ____ B ? A , A ? B _____ A  A ? B _____ B  A ? ? _____ ?   3.若 A ? B ? A ,则 A ? B ,反之,若 A ? B ,则 A ? B ? A ,即 A ? B ? _________.    

A

B?

? ?

例题?

1.集合 A ? {0,1, 2,5,8}, B ? {2,6,5,8} ,求 A ? B .     2.集合 A ? {x | x ? ?2}, B ? {x | x ? 3} ,求 A ? B .      ? 26?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

5 3 . 集 合 A ? {x | ?4 ? x ? 2}, B ? {x | ?1 ? x ? 3} , C ? {x | x ? 1 或 x ? } , 求 A ? B ? C , A ? ( B ? C ), 2

A ? B ? C .
      
2 4.设集合 A ? {x , 2 x ? 1, 4}, B ? {x ? 5,1 ? x,9} ,若 A ? B ? {9} ,求集合 A, B .

     5.集合 M ? {x | ?3 ? x ? 2}, N ? {x | 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1} ,若 M ? N ? N ,求 k 的范围.    

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

集合 A ? {?1,0,1, 2}, B ? {x | x( x ? 2) ? 0} ,求 A ? B .    

?

Exercise?2?

错题记录

若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1}, B ? {x | 0 ? x ? 2} ,则集合 A ? B =(   ) A. {x | ?1 ? x ? 1} 
  Exercise?3?
错题记录



 

 

 

 

B. {x | ?2 ? x ? 1}   D. {x | 0 ? x ? 1} 

C. {x | ?2 ? x ? 2}  

C ? {x | x ? 0 或 x ? 3} , 已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 1} ,B ? {x | ?1 ? x ? 3} , 求:A ? B ? C ,A ? ( B ? C ) , A ? B ? C .
      ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

27

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION


 Exercise?4?
错题记录?

若集合 A ? {x | x ? 4}, B ? {x | x ? a} 且满足 A ? B ? {4} ,求实数 a 的值.     
 Exercise?5?
错题记录?

若集合 A ? {x | x( x ? 2) ? 3}, B ? {x | ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0} ,且 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

? ? ?

?

? 28?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

集合  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

?

关卡 3-3 ? 求集合的补集
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:了解集合补集的概念,并会求集合的补集

求集合的补集 【高级理解】

理解补集的定义

会求解集合的补集

会用韦恩图表示集合

? ?

笔记?

 1.全集:如果一个集合包含我们所要研究的各个集合,这时可以将之看作一个全集.通常记作 U . 2.补集:对于全集 U 的一个子集 A ,由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 U 的子集 A 的补 集,简称为 A 的补集.记作 ?U A ,即: ?U A =__________. 3.补集的性质 (?U A) ? A ? __________ (?U A) ? A ? __________     
?U ( A ? B) ? ______________ ?U ( A ? B) ? ______________

? ?

例题?
2 1.已知全集 U ? {x | ?1 ? x ? 3}, A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,求 ?U A, ?U B .

     2.设全集 U ? R, M ? {x | x ? 1}, N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 (?U M ) ? (?U N ) ?                .  
2 2 3.已知全集 U ? {2,3 ? a ,0}, P ? {2, a ? a ? 2} ,且 ?U P ? {?1} ,求实数 a 的值.

     ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

29

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

 4.如图,设 U 为全集,集合 A, B 满足 A ? B ? U ,则 下列集合中,一定为空集的是(   ) A. A ? (?U B)   C. (?U A) ? (?U B )      B. B ? (?U A)  D. A ? B 

? ? ?

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

已知全集 U ? R ,集合 M ? {x || x ? 1|? 2} ,则 ?U M ?                .  

?

Exercise?2?
A. {1, 2}  


错题记录?

设集合 U ? {1, 2,3, 4} , M ? {1, 2,3} , N ? {2,3, 4} ,则 ? U ( M ? N ) ? (   ) B. {2,3}  C. {2, 4}  D. {1, 4} 

Exercise?3?

错题记录?

2 已知全集 S ? ?2,3, a ? 2a ? 3? , B ? ?2,3? ,且 ?S B ? ?5? ,求实数 a 的值.

   

Exercise?4?

错题记录?

已知全集 U ? R ,集合 M ? ? x ?2 ? x ? 1 ? 2? 和 N ? ? x x ? 2k ? 1, k ? 1, 2,?? 的关系的韦恩(Venn)图 如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有(   ) A.3 个       B.2 个     C.1 个      D.无穷多个
? ? ? ? ? ? ? ? ?

N?

M

?

? 30?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?

第三章

函数及其表示
本章进步目标

★★★☆☆☆?
Level3 ? ? ? ?
通过对本节课的学习,你能够: 1.对函数与映射达到【初级理解】级别; 2.对函数三要素达到【高级理解】级别。

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM
进步可视化教学体系
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

31

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ?

?

从前,读书最兴作题对对子,先生出上联,学生对下联,要对仗工整,讲究平仄和押韵。有一日, 一位姓刁的先生出了一句歪联: 抓而痒,痒而抓,不抓不痒,不痒不抓,抓抓痒痒,痒痒抓抓,越抓越痒,越痒越抓。 让童生对。童生们想了半日,也没有一个人对出下联来。先生骂了一句:“你们这群废物,看哪 个童生先对出来!”有一个童生听罢,心想:就以先生二字来对。于是他站了起来,说:“先生,我 来对!”先生点了点头,童生开口对道: 生了死,死了生,有生有死,有死有生,生生死死,死死生生,先生先死,先死先生。 先生听了,气得半死,跌坐在椅子上,半天说不出话来。 对联雅称“楹联”,俗称对子。它言简意深,对仗工整,平仄协调,是一字一音的汉语语言独特 的艺术形式。虽然对联形式多样但是必须具备以下特点: 一、要字数相等,断句一致。除有意空出某字的位置以达到某种效果外,上下联字数必须相同, 不多不少。 二、要平仄相合,音调和谐。传统习惯是“仄起平落”,即上联末句尾字用仄声,下联末句尾字用平 声。 三、要词性相对,位置相同。一般称为“虚对虚,实对实”,就是名词对名词,动词对动词,形容词 对形容词,数量词对数量词,副词对副词,而且相对的词必须在相同的位置上。 四、要内容相关,上下衔接。上下联的含义必须相互衔接,但又不能重复。 那对对子和本关内容有什么关系呢?这种“虚对虚, 实对实”的对应关系在数学中是怎样体现的 呢?学习完本关内容你将会对对联有一种新的感悟。 ?

? 32?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第一关

函数与映射

★★☆☆☆☆ Level?2
?

本关进步目标
★★☆☆☆☆ 你能够理解函数与映射的概念。

?
?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

33

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 1
? 过关指南
Tips?

? 理解函数与映射的概念

★★☆☆☆☆

初级理解?

学习重点:理解函数与映射的概念.

理解函数与映射的概念 【初级理解】

理解函数的概念

理解函数的三要素

理解映射的概念

理解函数与映射的关系

会求映射的象与原象

会求映射个数

?

笔记?

一、函数的概念? 1.设 A, B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f , 使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定 的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合
B 的一个函数(function) .

记作: y ? f ? x ? , x ? A ,其中, x 叫做自变量, x 的取值范围
A 叫做函数的___________(domain) ;

与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 f ? x ? x ? A 叫做函数的___________(range)  2.构成函数的三要素:           、            、              .  3.区间概念: 区间的分类:开区间;闭区间;半开半闭区间。 区间的符号表示: {x | a ? x ? b} ? ________ ; __________ ? (a, b) ;

?

?

{x | x ? b} ? ________ ; __________ ? [a, b) ; {x | a ? x ? b} ? ________ ; __________ ? [a, ??) .
 区间的数轴表示:

? a, b ? 








      ? a, b ? 

? a, b ? 








      ? a, b ? 

? ??, b? 
? 34?







      ? a, ?? ? 

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

 4.函数的表示方法有         、          、           . 5.分段函数:有些函数在它的定义中,对于自变量 x 的不同的取值范围,对应法则不相同. 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数.  二、映射的概念? 设 A, B 是非空的集合,如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 (mapping) .  三、函数与映射的关系 小白同学在刚上高一的时候,先后学习了映射与函数两个概念,他发现这两个概念很接近,就想做 一个表格以帮助自己记忆,请你帮助他完成如下表格.   联系  区别   映射 
A 和 B 是非空        A 和 B 是非空           

函数

? ?

例题?

1.在下列集合 A 到集合 B 的对应关系中,能确定 y 是 x 的函数的是____________. ① A ? {x | x ? Z}, B ? { y | y ? Z} ,对应关系 f : x ? y ?
x ; 3

2 ② A ? {x | x ? 0, x ? R}, B ? { y | y ? R} ,对应关系 f : x ? y ? 3x  2 2 ③ A ? {x | x ? R}, B ? { y | y ? R} ,对应关系 f : x ? x ? y ? 25  2 ④ A ? R , B ? R ,对应关系 f : x ? y ? x (其中 x ? A, y ? B )

⑤ A ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? R}, B ? {0} ,对应关系 f : x ? y ? 0 (其中 x ? A, y ? B )  2.在对应法则 f ( x) 下,给出下列从集合 A 到集合 B 的对应 ① A ? N , B ? R, f : x ? y ?
1  x

x ② A ? N , B ? Z , f : x ? y ? ( ?1) 

③ A ? { f ( x) | f ( x) 是平面内的三角 }, B ? { f ( x) | f ( x) 是平面内的圆}, f : x ? y 是 x 的外接圆 ④ 设集合 { f ( x) | f ( x) 是平面内的圆 },{ f ( x) | f ( x) 是平面内的矩形 }, f : x ? y 是 x 的内接矩形 其中能构成映射的是__________.  3.设 f : A ? B 是 A 到 B 的一个映射,其中 A ? B ? {( x, y ) | x, y ? R}, f : ( x, y ) ? (2 x ? y, 2 y ? x) ,求
A 中元素 ?1,2 ? 的象和 B 中元素 ? 5,2 ? 的原象.

     ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

35

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

 4.已知集合 A ? {a, b} ,集合 B ? {c, d , e}  (1)试建立一个从 A 到 B 的一个映射. (2)从 A 到 B 的一个映射共有多少个?     

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

判断下列对应关系是否为集合 A 到集合 B 的函数. (1) A ? R, B ? {x | x ? 0}, f : x ? y ?| x | 
2 (2) A ? Z , B ? Z , f : x ? y ? x 

(3) A ? Z , B ? Z , f : x ? y ? x  (4) A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {0}, f : x ? y ? 0  

?


Exercise?2?

错题记录?

下列对应关系是从集合 A 到集合 B 的映射的是(     ) A. A ? R, B ? {x | x ? 0, x ? R}, x ? A, f : x ?| x |     
 Exercise?3?
错题记录?
2 已知集合 A ? R , B ? {( x, y ) | x, y ? R}, f : A ? B 是从 A 到 B 的一个映射,即 f : x ? ( x ? 1, x ? 1) ,求 A 中元 ? B. A ? N, B ? N , x ? A, f : x ?| x ? 1|  2 C. A ? {x | x ? 0, x ? R}, B ? R , x ? R , f : x ? x 

D. A ? Q, B ? Q, f : x ?

1  x

素    

?3 5? 2 的象和 B 中元素 ? , ? 的原象. ?2 4?

 Exercise?4?

错题记录?

已知集合 A ? {a, b, c} ,集合 B ? {d , e, f , g}  (1)试建立一个从 B 到 A 的一个映射; (2)从 B 到 A 的一个映射共有多少个?
? ? ? ?

?

? 36?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第二关

函数的三要素

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ ★★★☆☆☆ ★★★☆☆☆ 你能够求函数的定义域; 你能够求函数的解析式; 你能够求简单函数的值域。

?
?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

37

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 2-1
? ? 过关指南
Tips?

求函数的定义域

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:理解根式、分式、零次幂有条件意义

求函数的定义域 【高级理解】

理解根式有意义条件

理解分式有意义条件

理解零次幂有意义条件

? ?

笔记?

1.3 种具体函数的定义域: (1) y ? 
f ( x) * 0 ? ______; (2) y ? 2 n f ( x )( n ? N ) ? _______; (3) y ? [ f ( x)] ? ________. g ( x)

? ?

例题?

1.求下列函数的定义域. (1) f ? x ? ? 
2 (2) f ? x ? ? ? x ? 4 x ? 5 ;

?1 ? 2 x ?? x ? 1? ;

1

 (3) f ? x ? ? ? x ? 1? .
0

  2.求下列函数的定义域
2 2 (1) f ? x ? ? 1 ? x ? x ? 1 ;

  (2) f ? x ? ?   ? 38?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

x ?2 x ? 6x ? 8
2

;

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

(3) f ? x ? ?   

? x ? 1? .
0

3 ? 2x

3.当实数 k 为何值时,函数 f ? x ? ?      

kx ? 7 的定义域为 R ? kx 2 ? 2 x ? 3

4.已知函数 f ( x ) ? (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a ) x ? 6 , (1)若 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 的定义域为 [?2,1] ,求实数 a 的值.    

? ? ? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

求下列函数定义域: (1) f ? x ? ?  
2 (2) f ? x ? ? x ? 1 .

3x ; x?5

 

?

Exercise?2?

错题记录

求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ?   ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

1 ? 2 x ? 1 ; x2 ? 1

39

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

(2) f ? x ? ?  

x ?1 ?

1 ; x

2 2 (3) f ? x ? ? x ? 1 ? 1 ? x .

  
 Exercise?3?
错题记录?

已知函数 f ? x ? ?      
 Exercise?4?

2kx ? 8 的定义域为 R ,求实数 k 的取值范围. kx 2 ? 2kx ? 1

错题记录?

2 若函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.





? 40?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

关卡 2-2
? ? 过关指南
Tips?

求函数的解析式

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:掌握函数的解析式的求法

求函数解析式 【高级理解】

会用待定系数法求 函数解析式

会用配凑法求函数 解析式

会用换元法求 解析式

会解方程组

? ?

笔记?

1.待定系数法:一次函数___________________;二次函数___________________.  2.换元法的步骤: (1)__________________; (2)__________________; (3)__________________. 3.解方程组的步骤: 

?
例题? 1. (1)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) 解析式;    (2)已知二次函数 f ( x) 的表达式满足 f (0) ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 8 ,求 f ( x) 的解析式.   

1 1 2 2.已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求 f ( x) 解析式. x x
   

1 3.已知 f ( ? 1) ? x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式. x
   

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

41

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

1 4. (1)设函数 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? x ? 0 ? ,求 f ( x) 解析式. x
     (2)已知函数 f ( x) ? f (? x) ? x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式.?     

? ?
过关练习 

    

Exercise?1?

错题记录?

已知 f ( x) 是一次函数,且满足 f [ f ( x)] ? 9 x ? 8 ,求 f ( x) 解析式.

?

Exercise?2?

错题记录?

1 1 3 已知 f ( x ? ) ? x ? 3 ? 3 ,求 f ( x) 解析式. x x
 
  Exercise?3?
错题记录?

2 已知 f ( x ? 2) ? 4 x ? 8 x ? 5 ,求 f ( x) 解析式.

   
 Exercise?4?
错题记录?

1 设函数 f ? x ? ? 2 f ( ) ? 3 x ? x ? 0 ? ,求 f ( x) 解析式. x
? ?

? 42?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?
?

关卡 2-3
? ? 过关指南
Tips?

求简单函数的值域

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点: 掌握简单函数的值域求法

求简单函数的值域 【高级理解】

会求分式型函数的值域

会求含绝对值的函数的值域

会求二次函数的值域

? ?

笔记?

1.分式函数的值域:_________________________________. 2.绝对值函数的值域: (1)___________________________; (2)_____________________________. 3.二次函数的值域:_________________________________. 

? ?

例题?

1.求下列函数的值域: (1) f ( x) ?    (2) f ( x ) ?      2.已知函数 f ( x) ?      ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

5x ? 4 ; x?2

1 ? x2 . 1 ? x2

x ?1 ,求 x ? [0,5] 范围内的值域. x ?1

43

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
2 3.求 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的值域.

     4.求下列函数的值域 (1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ;    (2) f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 .    
2 5. 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在 [a, a ? 1] 内的值域.

     
2 6. 求函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 在 [?1, 2] 内的值域.

     

? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

求下列函数的值域 (1) f ? x ? ?     ? 44?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

x ?1 ;                   x ?1

函数及其表示  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

(2) f ? x ? ?

x2 . x ?1
2

? ? ? ? ? ?
Exercise?2?
错题记录

已知函数 f ( x) ?    
 Exercise?3?

x ?1 ,求 x ? [1,3] 范围内的值域. 2x ? 1

错题记录

2 求 f ( x) ? ? x ? 3x ? 4 的值域.

    
 Exercise?4?
错题记录

求下列函数的值域: (1) f ( x) ? 2 x ? 3 ? x ? 1 ;     (2) f ? x ? ? x ? 3 ? 3x ? 1 .       ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

45

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

 Exercise?5?       

错题记录?

2 求函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 在 [?a, a] 内的值域.

Exercise?6?

错题记录?

2 求函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 在 [?2,2] 内的值域.



? ?

? 46?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?

第四章

函数的性质
本章进步目标

★★★☆☆☆?
Level3 ? ? ? ?
通过对本节课的学习,你能够: 1.对函数的单调性达到【高级理解】级别; 2.对函数的奇偶性达到【高级理解】级别。

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM
进步可视化教学体系
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

47

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ? 笛卡儿,17世纪时出生于法国,他对于后人的贡献相当大,他是第一个创造发明坐标的人, ? ? 可惜一生穷困潦倒。一直到52岁,仍然默默无名。 当时法国正流行黑死病,笛卡儿不得不逃离法国,于是他流浪到瑞典当乞丐。某天,他在市场 乞讨时,有一群少女经过,其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人,她对笛卡儿非常好奇,于是 上前问他…… 你从哪来的啊? “法国” “你是做什么的啊?” “我是数学家。 ”这名少女叫克丽丝汀, 18岁,是一个公主,她和其它女孩子不一样,并不喜欢文学,而是热衷于数学。当她听到笛卡儿 说名身份之后,感到相当大的兴趣,于是把笛卡儿邀请回宫。笛卡儿就成了她的数学老师,将一生 的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步,直角坐标当时也只有笛卡儿这对师生 才懂。后来,他们之间有了不一样的情愫,发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中,让国 王相当愤怒!下令将笛卡儿处死,克丽丝汀以自缢相逼,国王害怕宝贝女儿真的会想不开,于是将 笛卡儿放逐回法国,并将克丽丝汀软禁。笛卡儿一回到法国后,没多久就染上了黑死病,躺在床上 奄奄一息。笛卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀,但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收 到笛卡儿的信…… 在笛卡儿快要死去的时候,他寄出了第13封信,当他寄出去没多久后...就气 绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行
r ? a ?1 ? sin ? ?

国王拦截到这封信之后,拆开看,发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这个数学式, 于是找来城里所有科学家来研究,但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想……反正笛卡儿 快要死了,而且公主被软禁时郁闷不乐的,所以,就把信交给克丽丝汀。当克丽丝汀收到这封信时, 雀跃无比,她很高兴她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就解出来了, 用的就是坐标图,将整个曲线图作出来,就是有名的心形线!不久之后那位国王也死了,克丽丝汀 继承王位,登基之后马上派人在欧洲四处寻找笛卡儿的踪迹,可惜……人已故,才子和佳人没能有 童话般的结局。 传说,这第 13 封的另类情书还保留在欧洲的笛卡儿纪念馆里…… 信里的这个式子,这就是笛 卡尔和克丽丝汀之间的“爱情密码”。下面就是克丽丝汀破解的情书内容!

其实生活中的很多事物都会有美丽的图像,如大家常看到的麦当劳标志,矮树丛,天上的云, 连绵起伏的山峰等等,这些图像和克丽丝汀描绘的心形图像有什么样的区别和联系呢,学完本节课, 你就知道了。 ?
? 48?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第一关

函数的单调性

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够判断函数单调性; ★★★☆☆☆ 你能够利用单调性求最值和参数。

?
?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

49

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 1-1 ?
? 过关指南
Tips?

判断函数单调性

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:利用定义判断函数单调性

判断函数单调性 【高级理解】

理解函数单调性 的定义

识记常见函数的 单调性

会用定义判断函数 单调性

? ?

笔记?

1.单调性的概念: 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I , 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上         两个自变量的值 x1 , x2  (1)当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ____ f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数, 区间 D 叫做____________________; (2)当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ____ f ( x2 ) ,那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数, 区间 D 叫做____________________.  2.注意事项: 单调性是研究一个__________上的性质,是_________性质(填局部/整体) 如果一个函数有多个单调区间,不能写成_________形式.  3.一些基本函数的单调性 (1)一次函数 y ? kx ? b 

k __ 0 时,在 (??, ??) 上是增函数; k __ 0 时,在 (??, ??) 上是减函数.

2 (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 

a ? 0 ,在___________上为减函数,在___________为增函数; a ? 0 ,在___________上为增函数,在___________上为减函数. (3)反比例函数 y ?
k  x

k __ 0 时,在 (??,0) ____ (0, ??) 上都是减函数; k __ 0 时,在 (??,0) ____ (0, ??) 上都是增函数.  (4) y ? x 在           上是     函数  ? 50?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

 4.函数单调区间与单调性的判定方法(定义法)     ① 任取 x1 , x2 ? D ,且 x1 ? x2 ;     ② 作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;     ③ 变形(通常是因式分解和配方) ;     ④ 定号(即判断差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负) ;     ⑤ 下结论(指出函数 f ( x) 在给定的区间 D 上的单调性) .      

? ?

例题?

1.若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数,在区间 (b, c) 上也是增函数,则函数 f ( x) 在区间 (a, c) 上 (   ) A.必是增函数  2.下列函数中,在 (??,0) 上为减函数的是(    ) A. y ? 3 x  B. y ? ? x 
2

B.必是减函数

C.无法确定增减性

D.是增函数或减函数

C. y ? x 

D. y ? 2 x ? 1 

? 3.用函数单调性的定义判断下列函数的单调性
(1)函数 f ( x) ?
2x 在区间 (0,1) 上的单调性; x ?1

(2)函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? ax ,证明:当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 上为单调函数.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录

设 ? a, b ? , ? c, d ? 是函数 f ( x) 的单调增区间,且 x1 ? ? a, b ? , x2 ? ? c, d ? , x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的 大小关系是(   ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 )  C. f ( x1 ) ? f ( x2 )   ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

 

 

 

 

 

B. f ( x1 ) ? f ( x2 )  D.不能确定



51

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?

Exercise?2?

错题记录?

2 函数 y ? x ? 6 x ? 10 在区间 ?1, 4 ? 上为(   )函数.

A.单调递增 


B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

Exercise?3?

错题记录?

用函数单调性的定义判断下列函数的单调性: ① 判断函数 f ( x) ?

1 在 ? ??,0 ? 上的单调性; x2

② 判断函数 f ( x) ? ? x 在定义域上为减函数.   

? 52?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?
?

关卡 1-2 ? 利用单调性求最值和参数
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:利用函数的单调性求最值

利用单调性求最值和参数 【高级理解】

能够判断函数单调性

会利用单调性求最值

掌握常见函数的单调性

? ?

笔记?

利用单调性求函数的最大(小)值的方法:? 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递增,在区间 [b, c] 上单调递减则函数 y ? f ( x) 在 x ? b 处有最 大值 f (b) ; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上单调递减,在区间 [b, c] 上单调递增则函数 y ? f ( x) 在 x ? b 处有最 小值 f (b) .  

? ?


例题?
2 1.已知函数 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是____________.

(1)函数 f ( x) ? x ? 2, x ? ?0,,1, 2, 4? 的最大值为____________; 2. (2)函数 f ( x) ?  
2 3.已知二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,当 x ? [t , t ? 1] 时,求 f ( x) 的最值.

3 在区间 ?1,5? 上的最大值为____________,最小值为__________. 2x ? 1

         ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

53

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2 4.求函数 y ? x ? 2ax ? 1 在区间 [0, 2] 上的值域.

      

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?
2 2 已知函数 f ( x ) ? x ? 2ax ? a ? 1 在 ? ??,1? 上为减函数,求实数 a 的取值范围.

   

?

Exercise?2?

错题记录?

若函数 f ( x) 在 ? m, n ? 上是单调函数,则函数 f ( x) 在 ? m, n ? 上的最大值与最小值的差为_____________.  
 Exercise?3?
错题记录?

2 已知函数 f ( x ) ? x ? 3x ? 5 在区间 ?t , t ? 1? 的值域.

     
 Exercise?4?
错题记录?

2 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? 3 ? a 在区间 ? 2,5? 的值域.

    

? ?
? 54?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第二关

函数的奇偶性

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ ★★★☆☆☆ 你能够判断函数奇偶性; 你能够运用奇偶性求函数值和解析式。

?
?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

55

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 2-1 ? 判定函数奇偶性
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:判断函数奇偶性

判断函数奇偶性 【高级理解】

理解函数奇偶性 的几何意义

理解函数奇偶性 的代数意义

会判断常见函数 奇偶性

? ?

笔记?

1.图像定义:奇函数(oddfunction): 函数图像关于_______________对称;              偶函数(evenfunction): 函数图像关于_______________对称. 2.若对于定义域内 D 任意一个 x ,    有 f ( ? x) ? ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x ) 为____函数;    有 f ( ? x ) ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x ) 为_____函数.  3.奇函数的相关结论:  

? ?

例题?

1.判断下列图像是否具有奇偶性,如果有请写出.









          A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D?  2.判断 f ( x) ? ? x ? 1?       ? 56?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

1? x 的奇偶性. 1? x

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

3.判断下列函数的奇偶性:
3 (1) f ( x) ? x ? 2 x ;

  (2) f ( x) ? x ?
1 ; x

? ? ?
4 (3) f ( x) ? x ;        

  
2 (4) f ( x) ? 1 ? x ?

9 . 1? x

   

? x2 ? x ? x ? 0? ? 的奇偶性. 4.判断函数 f ? x ? ? ? 2 ? ? x ? x ? x ? 0?
    

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

下列哪个函数的图像不是中心对称图形(    ) A. y ? 2 ? x        B. y ?
2  x



C. y ? ? x ? 2 ? 
2

D. y ? 2 x 

?

x3 ? x 2 判断 f ( x) ? 的奇偶性. x ?1
      ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

Exercise?2?

错题记录

57

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 Exercise?3?
错题记录?

判断下列函数的奇偶性
3 (1) f ? x ? ? x ?

1 ; x

   (2) f ? x ? ?    (3) f ( x) ?    
 Exercise?4?
错题记录?

1 ; x2

4 ? x2 . x

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 判断函数 f ? x ? ? ? 的奇偶性. 2 ? ?4 x ? x , x ? 0

?
       

? 58?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

函数的性质  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?
?

关卡 2-2



运用奇偶性求值和解析式

★★★☆☆☆

高级理解?

? 过关指南

Tips?

学习重点:运用奇偶性求值和解析式

会运用函数奇偶性求值和求值域 【高级理解】

会判断函数的 奇偶性

会运用函数奇偶性 的代数意义

会运用函数奇偶性 的几何意义

? ?
 

笔记?

运用奇偶性求解析式的步骤:

? ?

例题?

1.已知 f ? x ? ?   

a ? bx ? ab ? 0 ? ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ? ?1? ? ______________. x

2.已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数,若 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,且 g (1) ? 1 ,则 g ( ?1) ? _______________.     3.已知函数 f ? x ? ?   
2 4.设函数 F ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, F ( x) ? x ? x ,求 F ( x ) 在 R 上的解析式.

? x ? 1?? x ? a ?
x

为奇函数,则 a ? ________________.

     ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

59

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 5.若函数 f ( x ) 在 ( ??,0) ? (0, ?? ) 上为奇函数,且在 (0, ?? ) 上是单调增函数, f ( ?2) ? 0 ,试求不等 式 xf ( x ) ? 0 的解集.    

? ? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?
2 已知 f ? x ? ? ax ?

b ? ab ? 0 ? ,且 f ? 2 ? ? 4 ,则 f ? ?2 ? ? __________. x



?

Exercise?2?

错题记录?

已知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 满足 f ( x) ? 2 g ? x ? ? 1 ,且 g ( x ) 为 R 上的奇函数,若 f ( ?1) ? 8 ,则 f (1) ? ______________.  
 Exercise?3?
错题记录?

2 函数 f ? x ? ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ? ___________.


 Exercise?4?
错题记录?

已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ?      
 Exercise?5?
错题记录?

x ,求 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式. 1? x

若 f ( x ) 在 ( ??,0) ? (0, ?? ) 上为奇函数, 且在 (0, ?? ) 上为增函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? , f ( a ) ? 0 , 求实数 a 的值.


?

? 60?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第五章

基本初等函数
本章进步目标

★★★☆☆☆?
Level3 ? ? ? ?
通过对本节课的学习,你能够: 1.你能够对指数与指数函数达到【高级理解】级别; 2.你能够对对数与对数函数达到【高级理解】级别。

VISIBLE PROGRESS?SYSTEM
进步可视化教学体系
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

61

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ? ?

有这样一个关于一个古代国王的故事。国王爱上了一种称为“国际象棋”的游戏,因此决定 重赏此项游戏的发明者---西塔。他把西塔召入宫中并且当众宣布要满足西塔的一个愿望。 “陛下,我深感荣幸.”西塔谦卑地说:“我只希望陛下在我的棋盘上赏一些米粒就行了。” “只是一些米粒?"国王很惊讶。 “是的,其实很简单,只要在棋盘的第一格放上一粒米,”西塔接着说,“在第二格加倍至 2 粒,在第三格加倍至 4 粒......依次类推,以后每一格均是前一格的两倍,直到放满整个棋盘 为止,这就是我的愿望。” 国王很高兴,“如此廉价便可以换得这么好的游戏,”他心想。 “好的!”国王大声说,“把棋盘拿出来,让在座的各位目睹我们的协定。” 王宫的人都聚集到棋盘边, 厨房的仆人拿来一磅重的一袋米递给西塔, 西塔笑着打开了袋子。 “我建议你回厨房换一个大一点的袋子,”西塔对仆人说,宫廷里的人都大笑起来,误以为 这句话是讽刺的意思。然后西塔开始在棋盘上摆放米粒,每往后走一格便倍增米粒的数量。 当第一排的 8 个格放满时,1..2...4...8...16...32...64...128 粒米,还没有用完国王的 一袋米,国王很是开心,以为可以稳操胜券。那么国王能否实现其对西塔的许诺呢? 其实生活中很多事物的数量变化关系都有类似的情况,如生命体诞生的细胞裂变,癌细胞的 扩散,铀元素的核裂变,人口数量的增长率等,这些事物的变化情况与国王对西塔赏赐小麦的许 诺有什么区别和联系呢?它们的图像是否可以画出来?画出来是什么样子?学完这节课,你就会 大彻大悟。 ?

? 62?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ★★★☆☆☆ Level?3 ? 本关进步目标 ★★★☆☆☆ 你能够计算和化简指数幂; ★★☆☆☆☆ 你能够理解指数函数的概念; ★★★☆☆☆ 利用指数函数的性质求值和比较大小。

第一关

指数与指数函数

? ?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

63

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

?

关卡 1-1
? 过关指南
Tips?

?

计算和化简指数幂

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:计算和化简分数指数幂

计算和化简指数幂 【高级理解】

会计算和化简整数指 数幂

理解分数指数幂 的意义

掌握指数幂的运算 规律

笔记?

1.整数指数幂 (1)整数指数: a n ,表示 n 个 a 相乘;其中 a 叫做底数, n 叫做指数; 
0 (2)零指数: a ? 1,(a ? 0) ;

(3)负整数指数: a 

?n

?

1 (a ? 0) . an

2.根式的运算性质: ①当

n 为任意正整数时, ( n a )n ? _________ ②当 n 为奇数时, ( n a ) n ? _______;当 n 为偶数时, ( n a ) n ? _________;
np

③根式的基本性质:  3.分数指数幂

a mp ? n a m ,(a ? 0) 

(1)定义:给定正实数 a ,对于任意给定的整数 m, n ,存在唯一的正实数 b ,使得 b n ? a m ,则 b 叫 做a 的
m m 次幂,记作: b ? a n ,它就是分数指数幂. n
m

(2)分数指数幂与根式的关系: a n ? n a m 
? m n

(3)负分数指数幂: a 4.指数的运算性质: (1) a m ? a n ? a m ? n ,
m n mn (2) (a ) ? a 

?

1 a
m n

?

1
n

am

,? a ? 0?  

am ? am?n  an
m

am ?a? m m m (3) (ab) ? a b , ? ? ? m  b ?b?
? ? 64?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ?

例题?

1.用分数指数幂的形式表示下列各式( a ? 0, b ? 0 ) (1)    2.计算下列各式
3? ?2 ? 1 ? (1) ? ?2 ? ? 2 ??2 ? ? 5? ? 4?
0
?

1
3

a2











(2) 3

b  ?a 2

1 2

? (0.01)0.5 

     (2) 2 3 a 2 ? 4 6 a ? b ? 3 b3 ,(a, b ? 0)  ? ? ? ? ? 3.已知 a 2 ? a ? 2 ? 5 ,求下列各式的值 (1) a ? a ?1       (2) a 2 ? a ?2       (3) a 2 ? a ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 过关练习  Exercise?1?
错题记录?
1 1

用分数用分数指数幂的形式表示下列各式( a ? 0 ) (1) a a        ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?













(2)

? a ??
3 2

a3 

65

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 Exercise?2?

错题记录?

计算下列各式
? b? 3 ?? ?1 ? 2 3 ? ?? a  a? 4b ? 2 3 ab ? a ? a 3 ? 8a 3 b
2 3 2 3 4 1

1 3 (1) 6 ? 3 3 ? 4 0.0625 ? ( 5 ? )0 ? 2?1 ;          (2) 4 8
      Exercise?3?
错题记录?

已知 2 x ? 2? x ? a ,则 8 x ? 8? x ? _____________. ? ?

? 66?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

关卡 1-2
过关指南 Tips?

理解指数函数的概念

★★☆☆☆☆

初级理解?

学习重点:根据指数函数的概念求参数。 理解指数函数的概念 【初级理解】

会计算和化简指 数幂

理解指数函数的 概念

会画指数函数的 图像

笔记?

1.指数函数的概念: 一般地,函数__________叫做指数函数,其中___是自变量,函数的定义域为________. 注意: ① 指数函数的定义是一个形式定义; ② 注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是________. ③ 指数函数解析式的严格性, a x 前的系数必须是___,自变量___必须在______的位置上,否则不是 _________.    2.在同一坐标系中用描点法(注意定点)画出下列函 数的图像:

?1? ?1? x x ① y ? ? ? ;② y ? ? ? ;③ y ? 2 ;④ y ? 3  ? 3? ?2?
    3.指数函数的图像:

x

x

例题?

1.下列函数中可以成为指数函数的是_______________.
4 (1) y ? x ; 3x (5) y ? 2 ; 

(2) y ? ?4 ; 
x x (6) y ? 3 ;  

x (3) y ? (?4) ; x (7) y ? x ;

x (4) y ? ? ;

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

67

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
2 x 2. y ? ? m ? 3m ? 3? ? m 是指数函数,则 m 的值为(    )

A. 1 或 2 

B. 1   

C. 2   

D. m ? 0 且 m ? 1 


x 3.在同一平面直角坐标系中,函数 f ( x) ? ax 与指数函数 g ( x ) ? a 的图象可能是(   )



 4.指数函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (? , e) ,求 f (0), f (1), f (?? ) .           5.函数 y ? 3 ? a
x?4

? a ? 0且a ? 1? 的图像恒过定点 P ,则点 P 的坐标为_____________.

过关练习

Exercise?1?

错题记录?

下列函数中可以成为指数函数的是__________.
1 1 x 2x (1) y ? x 3 ;      (2) y ? 3 ;       (3) y ? ? 2a ? 1? ,(a ? 且 a ? 1)  2

Exercise?2?

错题记录?

2 x 已知 y ? ? m ? 3? ? m 是指数函数,求 m 的值.

Exercise?3?

错题记录?
x 2

当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a 和 y ? (a ? 1) ? x 的图象只能是下图中的(   )

? 68?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

Exercise?4?

错题记录

? 1? x 已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0 , 且 a ? 1) 的图象经过点 ? 2, ? ,求 f (0) , f (1) , f (?3) 的值. ? 4?

Exercise?5?

错题记录
x ?1

若 a ? 0 ,则函数 y ? a

? 1 的图像经过定点          .

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

69

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关卡 1-3
过关指南 Tips?

利用指数函数的性质求值和比较大小

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:利用指数函数的单调性比较大小。

利用指数函数的性质求值 和比较大小【高级理解】

理解指数函数的概 念

会求指数函数的定 义域和值域

能判断指数函数的 单调性

笔记?

1.根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质

 图像特征
a ?1

函数性质
0 ? a ?1
a ?1

0 ? a ?1

向 x 、 y 轴正负方向无限延伸 图像关于原点和 y 轴不对称 函数图像都在 x 轴上方 函数图像都过定点________ 自左向右看, 图像逐渐_____ 在第一象限内的图 像纵坐标都____1 在第二象限内的图 像纵坐标都____1 图像上升趋势是越 来越_____ 
2.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

函数的定义域为_________ ____________函数 函数的值域为__________
a 0 ? _____

自左向右看, 图像逐渐_____ 在第一象限内的图像 纵坐标都____1 在第二象限内的图像 纵坐标都____1 图像上升趋势是越来 越______

________函数
x ___ 0, a x ___1  x ___ 0, a x ___1 

________函数
x ___ 0, a x ___1  x ___ 0, a x ___1 

函数值开始增长 _____,到了某一值后 增长速度___

函数值开始减小____, 到了某一值后减小速 度___

x ① 在 [a, b] 上, f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )值域是 [ f (a ), f (b)] 或 [ f (b), f (a )] ;

② 若 x ? 0 ,则 f ( x) ? 1 ; f ( x) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
x ,总有 f (1) ? a ; ③ 对于指数函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )

④ 当 a ? 1 时,若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

? 70?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ? 例题?



1.求下列函数的定义域:

(1) y ? 3 2? x        (2) y ? 2 x ?2 ? 1       (3) y ? 3 ? 3x?1     ) 2.比较下列各题中两个数的大小(填“ ?, ? ”
4 3? (1) 30.8     30.7    (2) 0.75?0.1 ___ 0.750.1    (3) 0.6? 5     ? ? ? ?2? ? 1 2

1

  (4) 4.54.1  ___ 3.73.6 


2 ?3 ? 2 ?3 ? 2 ?3 a, b,c 的大小关系是(    ) 3.设 a ? ? ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 ?3? ?3? ?5?
2 1 2

A. a ? b ? c  ?

B. b ? a ? c   

C. b ? c ? a   

D. c ? b ? a 

x 4.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? a

2

?3 x ?1

, g ? x? ? a

x 2 ? 2 x ?5

,若 f ? x ? ? g ? x ? ,求 x 的取值范围.

  
x 5.函数 f ( x) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [1, 2] 上的最大值比最小值大

a ,则 a 的值为__________. 2


6.解关于 x 的方程: 2 x ?1 ? 16 

过关练习

Exercise?1?
1

错题记录

求下列函数的定义域 (1) y ? 2 x ?4 ; (2) y ? 32 x?1 ?
1 ; 9

(3) y ? 10

2x ?1 x ?1

Exercise?2?

错题记录

比较下列大小
2.5 3 (1) 1.7 ,1.7 ; 

(2) 0.8

?0.1

,1.250.2 ;

0.3 3.1   (3) 1.7 ,0.9  

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

71

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
错题记录?

Exercise?3?

1 a 1 b 已知实数 a, b 满足等式 ( ) ? ( ) , 则下列五个关系式中: (1)0 ? b ? a ; (2)a ? b ? 0 ; (3)0 ? a ? b ; 2 3

(5) a ? b ,不可能成立的关系式有(    ) (4) b ? a ? 0 ;
A.1 个
错题记录?

B.2 个  

C.3 个  

D.4 个

Exercise?4?

已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y1 ? a 2 x   
错题记录?

2

?3 x ?1

与 y2 ? a x

2

? 2 x ?5

,若 y1 ? y2  ,求 x 的取值范围.

Exercise?5?

x 函数 f ( x) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [2, 4] 上的最大值比最小值大 2,则 a 的值为__________.

  Exercise?6?
错题记录?

解关于 x 的方程: 3 x ?1 ? 27
?

?

? 72?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ★★★☆☆☆ Level?3 ? 本关进步目标 ★★★☆☆☆ 你能够计算和化简对数; ★★☆☆☆☆ 你能够理解对数函数的概念; ★★★☆☆☆ 你能够利用对数函数的性质求值和比较大小。

第二关

对数与对数函数

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

73

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

关卡 2-1
? 过关指南
Tips?

?

计算和化简对数

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:计算和化简对数及指对互化 计算和化简对数 【高级理解】

理解对数的概念

掌握对数的运算性质

理解指数与对数 的关系 ? ?

会进行指数和对数 的互化

笔记?

一、对数的概念? 1.定义 一般地,如果 a (a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即: a b ? N ,那么数 b 就叫做以 a 为底 N 的对数,记 作: b ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做对数的真数.  2.简单性质 (1) 0 和负数没有对数,即 N ? 0 ; (2) 1 的对数为 0 ,即: log a 1 ? 0 ; (3)底数的对数为 1 ,即: log a a ? 1 ; (4)对数恒等式: a log a N ? N .  二.常用对数和自然对数 (1)以 10 为底的对数叫做常用对数,记作 lg N ; (2)以无理数 e 为底的对数记作自然对数,记作 ln N . ( e ? 2.718281828 )  三.运算性质 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2) log a
M ? log a M ? log a N ;   N

n (3) log a M ? n log a M .

 ? ? ? ? ? ? ? 74?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ?

例题?

1.把下列指数式与对数式互化 (1) 23 ? 8           2.计算下列各式 (1) 2 ? log 5 100 ? log 5 0.25      (2)     (3) (log 2 5 ? log 4 125) ?     (2) 25 ? 32       (3) log10 0.01 ? ?2      (4) log 2 128 ? 7 

log8 9 ? log 64 32  log 2 3

log 3 2  log 3 5

?1? 3.计算: ? ? ?2?
 ? ? 过关练习  Exercise?1?

log 2 3

? ________.

错题记录?

把下列指数式与对数式互化 (1) log 0.5 16 ? ?4        
?1 (3) 2 ?





(2) log 2 64 ? 6 

1  2





(4) 27

?

1 3

?

1  3

    ?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

75

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

?

Exercise?2?

错题记录?

计算下列各式 (1) log 2     Exercise?3? 
错题记录?

7 1 ? log 2 12 ? log 2 42        48 2



(2) log

2

?

3? 2 2 ? 3? 2 2 

?

计算: 51?log0.2 3 ? ________. 

? 76?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

关卡 2-2 ? 理解对数函数的概念
? 过关指南
Tips?

★★☆☆☆☆

初级理解?

学习重点:根据对数函数的概念求参数。

理解对数函数的概念 【初级理解】

会计算和化简对数

理解对数函数的概 念

理解指数函数与对 数函数的关系

会画对数函数的图 像

? ?

笔记?

1.对数函数的定义 函数 y ? log a x , (______________)叫做对数函数,定义域为__________,值域为 R . 常用对数函数: y ? lg x ;自然对数函数: y ? ln x . 特别提示: (1)自变量 x 出现在真数的位置上,并且 x ? 0 ; (2)底数 a ? 0 ,且 a ? 1 ; (3) log a x 前系数为 1 .  2.对数函数的图像 ? a ?1
3 3 2.5 2.5

0 ? a ?1

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



0.5

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0, ??)  值域: R  过点 ?1,0 ? ,即当 x ? 1 时, y ? 0  在 ? 0, ?? ? 上是___函数 在 ? 0, ?? ? 上是___函数

? ?

?

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

77

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ?

例题?

1.下面哪些是对数函数,哪些是对数函数?
2 (1) y ? lg x ;

 

(2) y ? log a x ;



(3) y ? log 2 x ; (6) y ? 3log 2 x ;

(4) y ? ln x ;   

(5) y ? log x ( x ? 2) ;

2.用描点法画出下列函数图像. (1) y ? log 2 x ;        ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 P ,则 P 的坐标是_______. 3.已知函数 f ( x) ? log a (2 x ? 1) ,  (2)

y ? log 1 x
2



? 过关练习 ?


Exercise?1?

错题记录?

在下列表达式中,是对数函数的是(    ) A. y ? log x 2    Exercise?2?
错题记录?

B. y ? 2log 2 x   

C. y ? log8 x   

D. y ? log x ( x ? 2) 

用描点法画出下列函数图像. (1) y ? log 3 x ;    
    Exercise?3?
错题记录?



(2)

y ? log 1 x
3

;

已知函数 f ( x) ? log a (3 x ? 1) , ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 P ,则 P 的坐标是_______. 

?

?

? 78?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

关卡 2-3 ? 利用对数函数的性质求值和比较大小
? 过关指南
Tips?

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:利用对数函数的单调性比较大小。

利用对数函数的性质求值 和比较大小【高级理解】

理解对数函数的概念

会求对数函数的定义 域和值域

能判断对数函数的单 调性

? ?

笔记?

1.对数函数的图像
x x 由于对数函数 y ? log a x 与指数函数 y ? a 互为反函数,所以 y ? log a x 的图像与 y ? a 的图像关于直

线 y ? x 对称.  2.对数函数的性质 由对数函数的图像,观察得出对数函数的性质: 

a ?1
3 3 2.5 2.5

0 ? a ?1

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



0.5

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

x ? ? 0,1? 时, y ? 0  x ? ?1, +? ? 时, y ? 0 

x ? ? 0,1? 时, y ? 0  x ? ?1, +? ? 时, y ? 0 

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?

?

VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

79

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ?

例题?

1.求下列函数的定义域 (1) y ? log 2 ? 4 ? x ? ? x ? 1 ;  (2) y ?   
2 (3) y ? log a ? x ? 2 x ? ;        (4) y ? log 2

6 ? 5x ? x2 ; lg ? x ? 3?

2x ?1  3? x

    (1)已知函数 log 0.7 ? 2 x ? ? log 0.7 ? x ? 1? ,求 x 的取值范围。 2.     (2)已知函数 2log 2 ? x ? 1? ? log 2 ? 2 x ? 2 ? ,求 x 的取值范围。     3.若 a ? log 3 ? , b ? log 7 6, c ? log 2 0.8 ,则(      ) A. a ? b ? c    C. c ? a ? b    B. b ? a ? c  D. b ? c ? a   

?1 ? 4.函数 y ? log a ? x ? 1? ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ,1? 上的最小值是 1 ,则 a ? _______. ?2 ?

? 过关练习 ?
 Exercise?1?
错题记录?

求下列函数的定义域 (1) y ? log ? 2 x?1? 3 x ? 2 ;        ? 80?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

(2) y ? log 1 ? x ? 1? ; 
2

x (3) y ? log ? x?1? (16 ? 4 )  

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

 Exercise?2?

错题记录

(1)若 log 4 x ?           

1 ,求 x 的取值范围; 2

(2)若 log 2 ? 2 ? x ? ? 0 ,求 x 的取值范围.

Exercise?3?

错题记录?

比较下列两个数的大小 (1) log 2 5.3 ___ log 2 4.7 ;  (2) log 0.2 7 ___ log 0.2 9 ;  (3) log 3 ? ___ log? 3 ;   (4) log a 4.2 ___ log a 4.8 ( a ? 0 且 a ? 1 ).
  Exercise?4?
错题记录

若函数 f ? x ? ? log a ? x ? 1? 在 ? 0,3? 上的最大值和最小值之和为 4 ,则 a 的值为 _______. ? ?

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

81

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

?

?

? 82?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第三关

幂函数

★★★☆☆☆ Level?3
?

本关进步目标
★★★☆☆☆ 你能够理解幂函数的概念。

?
?

?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

83

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION
?

关卡 3
? ? 过关指南
Tips?

理解幂函数的概念

★★★☆☆☆

高级理解?

学习重点:求解幂函数解析式

理解幂函数的概念 【高级理解】

识记幂函数的定义和三要素

会判断幂函数的奇偶性

会判断幂函数的单调性

? ?

笔记?

a 1.定义:一般地,形如 y ? x , ? a ? R ? 的函数称为_____函数,其中 a 为常数;

1 : 2.常见幂函数( ? ? 1, 2,3, , ?1, -2 ) 2  定义域 值域 图像 
y?x R R

奇偶性

单调性

过定点

      

奇

↗

y ? x2 

R





 

y ? x3 

R

R

       

奇

 ↗  

y ? x2 

1



[0, ??)

非奇 非偶

↗

y ? x ?1 

(??, 0) 
?(0, ??) 



      





y ? x ?2 











? 84?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

基本初等函数  ★★★☆☆☆ level 3? ? ?

3.幂函数的性质: (1)所有幂函数在______上都有定义,并且图象都过点 (1,1) ,且在第____象限无图象. (2) ? ? 0 时,幂函数图象过点____________,在区间 (0, ??) 上是________, ? ? 0 时,幂函数图象 ________原点,在区间 (0, ??) 上是________. (3)当 ? 为奇数时为奇函数,当 ? 为偶数时为偶函数. 

? ?

例题?

1.在函数 y ? A.0 

1 , y ? 3 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? x 0 中,幂函数的个数为(     ) x3

B.1  

C.2  

D.3

? 1? 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ? 4, ? ,则 f (2) ? (    ) ? 2? A.  3.已知函数 f ( x) ? (m 2 ? 2m) x m ?m?1 ,则当 m 为何值时, f ( x) 是幂函数?
2

1  4

B. 4   

C.

2  2

D. 2 

     4.下列命题中正确的是(    )
? A.当 ? ? 0 时函数 y ? x 的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过 (0,0) 和 (1,1) 点
? ? C.若幂函数 y ? x 是奇函数,则 y ? x 是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 
? 5.已知幂函数 y ? x 在第一象限的图象如图所示,则下列大

小关系中正确的是(    ) A. ?1 ? ? 3 ? 0 ? ? 4 ? ? 2 ? 1  B. 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 1  C. ? 2 ? ? 4 ? 0 ? ? 3 ? 1 ? ?1  D. ? 3 ? ? 2 ? 0 ? ? 4 ? 1 ? ?1  
m 6.若幂函数 f ? x ? ? x
2

? m?2

在 ? 0, ?? ? 上是减函数,求 m 的取值集合.

? ? ? ? ? ?
?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?

85

U‐CAN?SECONDARY?SCHOOL?EDUCATION

? ? 过关练习
 Exercise?1?
错题记录?

幂函数 f ( x) 的图象过点 (3, 4 27 ) ,则 f ( x) 的解析式是             . 

?

Exercise?2?

错题记录?
2

已知函数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x ( m
      Exercise?3?
错题记录?

? m ?3)

是幂函数,求 m 的值和 f ( x) 的解析式.

下列命题中正确的是(   ) ① 幂函数的图象都经过点 (1,1) 和点 (0,0) ; ② 幂函数的图象不可能在第四象限; ③ 当 n ? 0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线;
n n ④ 幂函数 y ? x 当 n ? 0 时是增函数; n ⑤ 幂函数 y ? x 当 n ? 0 时在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小.

A.①和④ 
 Exercise?4?
错题记录?

B.④和⑤  

C.②和③  

D.②和⑤

下列函数图象中,可能正确的是(   )

 
 Exercise?5?
错题记录?

y ? xa



2

?9

是偶函数,且在 (0, ??) 是减函数,则正整数 a 的值是_________.

 
?

?

? 86?
VISIBLE?PROGRESS?SYSTEM?


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