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§ 4.1 圆的方程 §4.4.1 圆的标准方程 求曲线方程的步骤 选系取动点,找等量,列方程,化简 圆的定义: 平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径. 根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b), 半径是r的圆的方程? (x-a)2+(y-b)2=r2 三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 y (2)、(x+1)2+y2=1 Y -2 C(0、0) r=2 0 +2 X -1 C(-1、0) r=1 0 X 练习 2、写出下列圆的方程 (1)、圆心在原点,半径为3; (2)、圆心在(-3、4),半径为 5 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5 . 练习 3、圆心在(-1、2),与y轴相切 Y c C(-1、2) r=1 -1 0 X (x+1)2+(y-2)2=1 练习 4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2. Y 2 Y=X C(2,2) -2 0 C(-2,-2) 2 X -2 (x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4 练习 5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程. Y C(8、3) P(5、1) X 0 (x-8)2+(y-3)2=13 练习 6、求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程. Y C(1、3) 0 X 3x-4y-6=0 ? 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? 已知a=1,b=3 ? 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的 距离, ? 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 15 =3 2 2 = 5 3 + ( -4 ) ? 所以圆的方程为 (x-1)2+(y-3)2=9 练习 7、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB 为直径的圆的方程. Y A(4、9) B(6、3) 0 X 提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2 例2、已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程. y 思考 M ( x0 , y 0 ) O 1.圆的切线有哪些性质? 2.求切线方程的关键是什么? 3.切线的斜率一定存在吗? x 4.除了课本解法,你还能想到哪些方法? 解:当M不在坐标上时,设切线的斜率为k,则k= - 1 kOM = y0 x0 , k =- x0 . y0 kOM . y 经过点M 的切线方程是 x y - y0 = - y0 (x - x0 ), 0 M ( x0 , y0 ) 2 0 所求的切线方程是 x0 x + x0 x + y0 y = x + y . 2 2 2 = r , 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0 整理得 2 0 O x y0 y = r . 2 当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用. 例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ,求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 分析:利用平面几何知识, 按求曲线方程的一般步骤求 解. 如图,在Rt△OMP中 由勾股定理: |OM|2+|MP|2=|OP|2 P(x,y) M ( x0 , y0 ) O x x0x +y0 y = r2 例 2.已知圆的方程是 x

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