当前位置:首页 >> 高二数学 >>

北京市石景山区2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 8 页,各题答案均答在本题规定的位置.

参考公式:球的体积公式 V球 = ? R ,其中 R 表示球的半径.
3

4 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.抛物线 y ? 8x 的焦点坐标为(
2

) C. (0 , 2)

A. (2 , 0)

0) B. (?2 ,

? D. (0 , 2)
) D.不存在 ) D. x ? 2 y ? 3 ? 0

4) 2) 2. 已知直线经过点 A(0 , 和点 B(1, ,则直线 AB 的斜率为(
A. 2 B. ? 2 C. ?

1 2

2) 3.过点 P(?1 , 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0
2

C. x ? 2 y ? 3 ? 0 )
2

4.已知命题 q : ?x ? R , ? 1 ? 0 ,则 ? q 为( x A. ?x ? R , ? 1 ? 0 x
2

B. ?x ? R , ? 1 ? 0 x D. ?x ? R , ? 1 ? 0 x
2

C. ?x ? R , ? 1 ? 0 x
2

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( ) B. 3 ? 2

1 1
主视图

1 1
左视图

1 A. 2
C. 2 ? 2

D. 6

1 1

2

俯视图

6.棱长为 2 的正方体的外接球的体积为( A. 8 B. 8?

) C. 4 3?

D.

8 2? 3

7.已知长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , AD ? AA ? 1 ,则直线 BD1 与平面 1

BCC1B1 所成角的正弦值为(
A.



D1

C1 B1

3 3 6 3

B.

2 2

A1
D A

C
B

C.

1 D. 2

8. 已知 ? , 表示两个不同的平面, 为平面 ? 内的一条直线, 则“ ? ? ? ”是 m ? ? ” “ ? m 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1) B 9.过点 (1 , 的直线 l 与圆 x ? y ? 4 交于 A , 两点,若 |AB|=2 2 ,则直线 l 的方程
为( ) B. x ? 2 y +1=0 C. 2 x ? y ? 1=0 D. x ? y ? 1=0

A. x +y ? 2=0

10.设双曲线 (

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则此双曲线的离心率为 a2 9



A.

13 2

B.

5 2

C.

3 2

D.

5 2

11. 已知抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,直线 y =2 x ? 4 与 C 交于 A , B 两点,则

cos ?AFB = (
A.

) B.

4 5

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

12.若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :


x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1( a2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是( ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 ③

② a1 ? a2 ? b1 ? b2
2 2 2

2

a1 b1 ? a2 b2
B. ①③④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④ D. ①②③

A.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.
3 3 b 13. “ ?a , ? R , 命题 如果 a ? b , a ? b ” 则 的逆命题是___________________________.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , 2 , P 在椭圆上, | PF1 |? 4 , | PF2 |? _________; 14. 椭圆 若 则 F 点 9 2

?F1PF2 的小大为__________.
15. x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为_______. 圆 16.如图,正方体 ABCD - A B1C1D1 中, E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.已知下列 1 判断:① AC ^ 平面 B1EF ;② D B1EF 在侧面 BCC1B1 1 上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面

D1

C1 B1

A1
E

A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线;④平面
B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与
点 E 的位置有关,与点 F 的位置无关.

D

C
B

A

F

其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确结论的序号). 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步

骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 24 ,求直线 l 的方程.

18.(本小题满分 6 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

19.(本小题满分 6 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中心,

PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.
求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D

C O
B

A

20.(本小题满分 8 分)

如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 1 , PB ? PD ? 2 ,点

E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 .
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? E 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F , 使得 BF // 平面 ACE .

P

E

A B

D

C

21.(本小题满分 7 分)

已知平面内一点 P 与两个定点 F (? 3 , 和 F2 ( 3 , 的距离的差的绝对值为 2. 0) 0) 1 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 C ; (Ⅱ)设过 (0 , 2) 的直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原 ? 点) ,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 7 分)

已知椭圆的两个焦点 F (? 3 , ,F2 ( 3 , , F 且与坐标轴不平行的直线 m 与 0) 0) 过 1 1 椭圆相交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1 , 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定 0) 点 E (m , ,使 PE ? QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明 0) 理由.

??? ??? ? ?

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6

A
7

B
8

A
9

C
10

B
11

C
12

C

B

A

A

D

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答 错不给分.) 题号 答案 13 14 15 16 ②③

?a , ? R ,如果 a 3 ? b3 ,则 a ? b b

2, ? 120

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.

17.(本小题满分 6 分) 解:直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?

3 . 4

因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等, 所以 kl = ?

3 . 4 3 x +b , 4

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y =0 ,则 x =

4 b. 3

?????2 分

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,

1 4 |b|?| b|=24 , 2 3 所以 b = ? 6 .
所以 S = 所以直线 l 的方程为 y = ?

?????4 分

3 x?6, 4
?????6 分

即 3x+4 y +24=0 或 3x+4 y ? 24=0 .

18.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4 ,
?????2 分

所以直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标为 ? ?2 ,? . 4 (Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切, 所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 3 ?4
2 2

?
2

15 ? 3, 5
2

?????4 分

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 .

?????6 分

19.(本小题满分 6 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点,

所以 OE ∥ AP , 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD , 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE . 20.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)正方形 ABCD 边长为 1, PA ? 1 , PB ? PD ? 2 ,
? 所以 ?PAB ? ?PAD ? 90 ,即 PA ? AB , PA ? AD ,

?????2 分

?????3 分

?????4 分

?????5 分

?????6 分

因为 AB ? AD ? A , 所以 PA ? 平面 ABCD . ??????2 分

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点,直线 AB , AD , AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建 立空间直角坐标系,则 AC ? (1,, , AE ? (0 , , ) . 1 0) 由(Ⅰ)知 AP 为平面 ACD 的法向量,

??? ?

??? ?

2 1 3 3

??? ?

z
P

??? ? AP ? (0 ,, , 0 1)
b c 设平面 ACE 的法向量为 n ? (a ,,) ,
由 n ? AC , n ? AE ,

?

?

??? ?

?

??? ?

F

E
D

?a ? b ? 0 , ? 得 ?2 1 ?3 b ? 3 c ? 0, ?
令 c ? 6 ,则 b ? ?3 , a ? 3 ,

A B

y

C

x

所以 n ? (3 , 3 , , ? 6)

?

??????4 分

? ? ??? ??? ? ? n ? AP 6 所以 cos ? AP , ?? ? ??? ? , n ? 3 n AP
即所求二面角的余弦值为

6 . 3

??????5 分

(Ⅲ)设 PF ? ? PC (? ?[0 , ,则 PF ? ? (1 ,, 1) ? (? , , ? ) , 1]) 1 ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? BF ? BP ? PF ? (? ?1, ,? ?) , ? 1

? 1 ? 6) 若 BF // 平面 ACE ,则 BF ? n ,即 BF ? n ? 0 , (? ? 1, ,? ? ) ? (3 , 3 , ? 0 ,
解得 ? ?

??? ?

?

??? ? ?

1 , 2

??????7 分

所以存在满足题意的点, 当 F 是棱 PC 的中点时, BF // 平面 ACE . 21.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点 P 的轨迹为双曲线, 其中 a ? 1 , c ? 3 ,则 b ? c2 ? a2 ? 2 . 所以动点 P 的轨迹方程 C : x ?
2

??????8 分

y2 =1 . 2

??????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) , y y

? 2 y2 ? 1, ?x ? 2 2 由方程组 ? 得 ? 2 ? k ? x ? 4kx ? 6 ? 0 . 2 ? y ? kx ? 2 , ?
因为直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,

??????3 分

?2 ? k 2 ? 0 , ? 所以 ? 2 2 ?? =(4k ) ? 4 ? (2 ? k ) ? ( ? 6)>0 , ?

即 ? 6<k < 6 且 k ? ? 2 . 由根与系数关系得 x1 ? x2 ?

(?)

??????4 分

?4k ?6 , x1 ? x2 ? , 2 2?k 2 ? k2

因为 y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , 所以 y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 所以 1 ? k ??????5 分 ??????6 分

??? ??? ? ?

?

2

? ? 2 ?6 ?k

2

? 2k ?

?4k ?4?0, 2 ? k2

2 即 k ? 1 ,解得 k ? ?1 ,由 (?) 式知 k ? ?1 符合题意.

所以直线 l 的方程是 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 22.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c= 3 , 4 a =8 , 所以 a =2 , b=1 ,

??????7 分

x2 2 +y =1 . 所以椭圆的方程为 4

?????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y =k (x ? 1) , 因为点 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ? R .

? x2 2 ? +y =1 , 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得 (4k +1)x ? 8k x+4k ? 4=0 , ? y =k (x ? 1) , ?
设 P (x1 ,1 ) , Q (x2 , 2 ) , y y 则由根与系数关系得 x1 +x2 =
2

?????3 分

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 = , 4k 2 +1 4k 2 +1
?????4 分

所以 y1 y2 =k (x1 ?1)(x2 ?1) , 则 PE = (m ? x1 , y1 ) , QE = (m ? x2 , y2 ) , ? ?

??? ?

??? ?

所以 PE ? QE = (m ? x1 )(m ? x2 )+y1 y2 = m2 ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +y1 y2 = m2 ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +k 2 (x1 ?1)(x2 ?1)
2 =m ?

??? ??? ? ?

8k 2 m 4k 2 ? 4 2 4k 2 ? 4 8k 2 + +k ( ? +1) 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
?????5 分



(4m2 ? 8m+1)k 2 +m2 ? 4 4k 2 +1
17 4m 2 ? 8m+1 4 = ,解得 m = , 2 8 m ?4 1 33 . 64

要使上式为定值须

所以 PE ? QE 为定值

??? ??? ? ?

?????6 分

当直线 l 的斜率不存在时 P (1,

3 3 ) , Q (1, ? ), 2 2

??? ? 9 ??? ? 9 3 17 3 , 可得 PE = ( , 0) ? ) , QE = ( , ) , 8 8 2 8 2 ??? ??? 81 3 33 ? ? ? = , 所以 PE ? QE = 64 4 64
由E ( 综上所述当 E (

??? ??? ? ? 17 33 , 时, PE ? QE 为定值 . 0) 8 64

?????7 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)


相关文章:
...2013届高三上学期期末考试物理试题 Word版含答...
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试物理试题 Word版含答案 - 北京石景山区 2012-2013 学年高三第一学期期末考试 物理试题 (全卷考试时间:100 分钟,满分:100...
...届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案...
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案 北京市石景山区...石景山区 20122013 学年第一学期期末考试 高三数学(文)参考答案一、选择题共...
北京市石景山区2015-2016学年高二上学期期末考试生...
北京市石景山区2015-2016学年高二上学期期末考试生物试题Word版含答案 - 石景山区 2015—2016 学年第一学期高二期末试卷 生物一、选择题(1~30 题每小题 1 分...
...2013届高三上学期期末考试化学试题 Word版含答...
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试化学试题 Word版含答案 - 北京市石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三化学 2013.1 考生 须知 1.本试卷分...
北京市石景山区2017届高三上学期期末考试语文试题...
北京市石景山区2017届高三上学期期末考试语文试题 Word版含答案_语文_高中教育_教育专区。石景山区 2016—2017 学年第一学期高三期末试卷 语文 学校一、本大题共 ...
...2013届高三上学期期末考试政治试题_Word版含答...
北京市石景山区2013届高三上学期期末考试政治试题_Word版含答案 - 北京石景山区 20122013 学年高三第一学期期末考试 政治试题一、选择题:本大题共 ...
北京市石景山区2012届九年级上学期期末考试物理试...
北京市石景山区2012届九年级上学期期末考试物理试题(word含答案) - 初三物理 1. 本试卷共 8 页,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟。 考生 须知 2.考生要...
北京市石景山区2019年高三上学期期末考试化学试题...
北京市石景山区2019年高三上学期期末考试化学试题 Word版含答案 - 书海遨游 十几载 ,今日 考场见 真章。 从容应 对不慌 张,气 定神闲 平时样 。妙手 一挥...
北京市石景山区2013年中考一模数学试题及答案 wor...
北京市石景山区2013年中考一模数学试题答案 word版 - 北京市石景山区2013年初三第一次统一练习暨毕业考试 数学试卷考生须知 1.本试卷共8页.全卷共五道大题,25...
...学年高三上学期期中考试英语试题 Word版含答案...
北京市石景山区普通中学2018-2019学年高三上学期期中考试英语试题 Word版含答案 - 北京市石景山区普通中学 2018-2019 学年度第一学期高三英语期中试题 I卷 I.听力...
更多相关标签: