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甘肃省河西五市部分普通高中2014届高三下学期第二次联合考试数学(理)试题 Word版含答案


2014 年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学
金川公司第一高级中学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将 自己姓名、考试号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框。写在本卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

命题人:梅志刚

、廖秀英、甘立群


只有一项是符合题目要求的)





一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,

1.设集合 M ? {x | l ? x ? 3} , N ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 A.{ x |1 ? x ? 2 } B.{ x |1 ? x ? 3 }

=(

) D.{ x | 0 ? x ? 2 }

C.{ x | 0 ? x ? 3 }

2.已知复数 z1 ? 1 ? i, z 2 ? 1 ? i ,则 A. 2i B.

z1 ? z 2 等于( i



? 2i

C. 2 ? i

D. ? 2 ? i )

3.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A. m // ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m // n C. m ? ? , n ? ? , m ? n, 则 ? ? ? 4. 若 cos 2? ?

B. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ) D.1

1 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
B.

A.

13 18

11 18

C.

5 9

5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的 半径为 1,则该几何体的体积为 ( ) A. 24 ?

3? 2

B. 24 ?

? 3

C. 24 ? ?

D. 24 ?

? 2

6.二项式 ( ax ?

3 6 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 3 , 6
) B.



?

a

?2

x2 dx 的值为(
A.3

7 3

C.3 或

7 3

D.3 或 ?

10 3

7.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1 ; ③在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) (? ? 0) ,若 ? 位于区域 (0,1) 内的 概率为 0.4 ,则 ? 位于区域 (0, 2) 内的概率为 0.8 ; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“ X 与 Y 有关系” 的把握越大.其中真命题的序号为 A.①④ B.②④ ( ) C.①③ D.②③

8.已知某算法的流程图如图所示,输入的数 x 和 y 为自然数,若已知输出的 有序数对为 (13,14) ,则开始输入的有序数对 ( x, y ) 可能为 ( A. (6,7) B. (7,6) C. ?4,5? D. (5,4) )

9.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设

a ? f (log4 7),b ? f (log1 3), c ? f (0.2 ?0.6 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( )
2

A. c ? a ? b C. b ? c ? a

B. c ? b ? a D. a ? b ? c

?y ? x ? 10.设 m ? 1 ,在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 ?x ? y ? 1 ?
2,则 m 的取值范围为( A.(1,1+ 2 ) ) B.(1+ 2 ,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)

11 . 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (??,0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x) , 且 有

2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则不等式 ( x ? 2014 ) 2 f ( x ? 2014 ) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(
A. ? ??, ?2012? B. ? ?2012, 0? C. ? ??, ?2016? D. ? ?2016, 0?



12. 已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 且 y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围是( x0



A. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

B. ? ?

? 1 1? ,? ? 2 5? ?

C. ? ?

? 1 1? ,? ? 2 5? ?

D. ( ?

1 1 ,? ) 2 5

第Ⅱ卷
本卷包括必考和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22~24 题为选考题,其它题为必考题。考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分。

?ABC 外接圆的半径为 1, 13. 圆心为 O, 且, 则
的值是__________。



, 则

2 2 14 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若 a ? b ?

3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,
则A= 15. 甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中 6 个选择题,4 个判断题, 甲、乙二人依次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________. 16.已知椭圆 设 , ,则 等于 ,过椭圆右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,交 y 轴于 P 点。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 { an } 满足首项为 a1 ? 2 , an?1 ? 2an , ( n ? N* ) .设 bn ? 3log2 an ? 2

( n ? N* ) ,数列 { cn } 满足 cn ? anbn .
(Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 Sn . 18. (本小题满分 12 分) 为加快新能源汽车产业发展,推进节能减排,国家对消费者购买新能源汽车给予补贴, 其中对纯电动乘用车补贴标准如下表: 新能源汽车补贴标准 车辆类型 纯电动乘用车 续 驶 里 程 R (公 里 )

80 ≤ R ? 150
3.5 万 元 / 辆

150 ≤ R ? 250
5 万 元 /辆

R ≥ 250
6 万 元 /辆

某 校 研 究 性 学 习 小 组 , 从 汽 车 市 场 上 随 机 选 取 了 M 辆纯 电 动 乘 用 车 , 根 据 其 续 驶 里 程 R (单 次 充 电 后 能 行 驶 的 最 大 里 程 )作 出 了 频 率 与 频 数 的 统 计 表 :

分组

频数

频率

80 ≤ R ? 150 150 ≤ R ? 250
R ≥ 250
合计 (Ⅰ)求 x , y , z , M 的 值 ;

2

0.2
x

5
y

z
1

M

(Ⅱ)若从这 M 辆纯电动乘用车中任选 2 辆,求选到的 2 辆车续驶里程都 不低于 150 公里的概率; ( Ⅲ ) 若以频率作为概率,设 X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴, 求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) . 19. (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? AB ,AB ? 2 AA1 ,M 是 AB 的中点,△ A1MC1 是等腰三角形, D 为 CC1 的中点, E 为 BC 上一点. (Ⅰ)若 DE ∥平面 A1MC1 ,求
第 19 题图

CE ; EB

(Ⅱ)求直线 BC 和平面 A1MC1 所成角的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 2 a b 2

1 M (? 3, ) ,圆 C2 的直径为 C1 的长轴.如图,C 是椭圆短轴端点,动直 2
线 AB 过点 C 且与圆 C2 交于 A, B 两点, CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D . (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求 ?ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程. 21. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图像上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为

y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2.
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在区间 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围; (Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx(k ? R), 如果 g ( x) 的图像与 x 轴交于

1 e

A( x1 ,0), B( x2 ,0)(x1 ? x2 ) 两点, AB 的中点为 C ( xo ,0) ,求证: g ?( x0 ) ? 0.

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,并用 2B 铅笔在 答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂黑题号进行评分;不凃、多凃均按所答 第一题评分;多答按所答第一题评分。

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , ?ABC 内 接 于 ⊙ O , AB ? AC , 直 线 MN 切 ⊙ O 于 点 C , 弦 BD / / MN , AC与BD 相交于点 E . (Ⅰ)求证:△ ABE ≌△ ACD ; (Ⅱ)若 AB ? 6, BC ? 4 ,求 AE 长. 23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 直线 l 与曲线 C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A, B 两点 (Ⅰ)求 | AB | 的长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数) ,

(2 2 ,

3? ) ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 2a , a ? R 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 1 的解集为 {x | 1 ? x ? 3} ,求 a 的值; (2)若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ? 3 ,求实数 a 的取值范围。

理科数学答案
一、选择题
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 A 6 B 7 D 8 B 9 B 10 A 11 C 12 D

二、填空题:

13. 3

14. 30

15.

13 15 16.

三、解答题:

17.解: (Ⅰ)由已知可得, an ? a1qn?1 ? 2n ,

……………2 分

bn ? 3log2 2n ? 2

……………3 分 ……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ① ……………7 分 …………8 分

?bn ? 3n ? 2 ? bn?1 ? bn ? 3,

?{bn } 为等差数列,其中 b1 ? 1, d ? 3 .
(Ⅱ) cn ? anbn ? (3n ? 2) ? 2n

Sn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ? ...... ? (3n ? 2) ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 4 ? 23 ? 7 ? 24 ? ...... ? (3n ? 5) ? 2n ? (3n ? 2) ? 2n?1 ②
①-② 得

?Sn ? 2 ? 3[22 ? 23 ? 24 ? ...... ? 2n ] ? (3n ? 2) ? 2n?1
4(1 ? 2n?1 ) ? 2 ? 3? ? (3n ? 2) ? 2n?1 1? 2
……………10 分

…………9 分

? ?10 ? (5 ? 3n) ? 2n?1
∴ Sn ? 10 ? (5 ? 3n) ? 2n?1 18.解: (Ⅰ) 由表格可知

……………11 分 ……………12 分

2 5 ? 0.2 ,所以 M ? 10 , x ? ? 0.5 , y ? 10 ? 2 ? 5 ? 3 , M 10

3 ? 0.3 . ------------------4 分 10 (Ⅱ)设“从这 10 辆纯电动车中任选 2 辆,选到的 2 辆车的续驶里程都不低于 150 公里” C82 28 为事件 A ,则 P ? A? ? 2 ? . ------------------4 分 C10 45 (Ⅲ) X 的可能取值为 3.5 , 5 , 6 ------------------5 分 z?

P ? X ? 3.5? ? 0.2 P ? X ? 5? ? 0.5 P ? X ? 6? ? 0.3
所以 X 的分布列为

X
P

3.5 0.2

5 0.5

6
0.3
------------------8 分 ------------------12 分

EX ? 3.5 ? 0.2 ? 5 ? 0.5 ? 6 ? 0.3 ? 5 .

19. 【解析】 『法一』(1)取 BC 中点为 N ,连结 MN , C1 N ,???1 分

∵ M , N 分别为 AB, CB 中点 ∴ MN ∥ AC ∥ A1C1 , ∴ A1 , M , N , C1 四点共面, 且平面 BCC1 B1 平面 A1MNC1 = C1 N 又 DE 平面 BCC1 B1 , 且 DE ∥平面 A1MC1 ∴ DE ∥ C1 N ∵ D 为 CC1 的中点,∴ E 是 CN 的中点, ∴ ???5 分 ???3 分

CE 1 ? . EB 3

???6 分

(2)连结 B1M , 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,∴ ∴ 平面 ABC

???7 分

,即四边形 ABB1 A1 为矩形,且 AB ? 2 AA1 ,

∵ M 是 AB 的中点,∴ 又 ∴ 平面 ABB1 A1 , ,从而

平面 A1MC1

???9 分

∴ MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 内的射影 ∴ B1C1 与平面 A1MC1 所成的角为∠ B1C1M 又 B1C1 ∥ BC , ∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 与平面 A1MC1 所成的角?10 分 设 AB ? 2 AA1 ? 2 ,且三角形 A1MC1 是等腰三角形 ∴ A1M = A1C1 =

2 ,则 MC1 = 2 , B1C1 =

6



∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为 『法二』 (1)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴ AA1 ^ 平面 ABC ,又 AC ? AB ∴以 A 为坐标原点,分别以 AB, AA1 , AC 所在直线为 x, y, z 轴, 建立如图空间直角坐标系. ???1 分 设 AB ? 2 AA1 ? 2 ,又三角形 A1MC1 是 等腰三角形,所以 A1M = A1C1 =

6 . 3

???12 分

2

易得 A1 (0,1, 0) , M (1, 0, 0) , C1 (0,1, 2) , 所以有 ,

设平面 A1MC1 的一个法向量为

,则有

,即

,令 x = 1 ,有 (也可直接证明 为平面 A1MC1 法向量)

???4 分



CE 2? 2 1 ? ? , E( , 0, ) ,又 D(0, , 2) , EB 1? ? 1? ? 2

∴ 若 DE ∥平面 A1MC1 ,则 解得 ? ?

,所以有

2? 1 ? ?0, 1? ? 2
???6 分

CE 1 1 ? ,∴ EB 3 3
r

(2)由(1)可知平面 A1MC1 的一个法向量是 n = (1,1, 0) ,

B(2, 0, 0) , C (0, 0, 2) ,求得

设直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角为 ? , ? ? [0,

?
2

],





???11 分

所以

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为

6 . 3

???12 分

20.解: (1)由已知得到

c 3 a 2 ? b2 3 ? ,所以 ,即 a 2 ? 4b2 .???2 分 ? a 2 a 2
3 1 ? 2 ? 1, 2 4b 4b

又椭圆经过点 M (? 3, ) ,故 解得 b2 ? 1,? a2 ? 4 ,

1 2

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程是 4
(2)因为直线 AB ? CD 且都过点 C (1, 0)

???4 分

① 当 AB 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 直 线 AB : y ? kx ? 1 , 直 线 CD : y ?

?1 x ?1 , 即 k

x ? ky ? k ? 0 ,
所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线 AB 的 距 离 为 d ?

1 k 2 ?1

, 所 以 直 线 AB 被 圆 C2 所 截 弦

AB ? 2 4 ? d 2 ?

2 4k 2 ? 3 k 2 ?1

???5 分

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 得, (4 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4
所以 xC ? xD ?

???6 分

8k , k ?4
2

CD ? 1 ?

1 1 64k 2 8 k 2 ?1 2 , ( x ? x ) ? 4 x x ? (1 ? ) ? C D C D k2 k 2 (k 2 ? 4)2 k2 ? 4

所以 S

ABD

?

1 1 2 4k 2 ? 3 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 , AB CD ? ? ? 2 ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 k 2 ?1
t2 ? 3 2 ,t ? 3, 4

???8 分

令t ?

4k 2 ? 3 ,则 k 2 ?

S

ABD

?

8t 32t 32 16 13 ? 2 ? ? , t ?3 t ? 13 t ? 13 13 ?4 t 4
2

当t ?

13 , t ? 13 ,即 t

时,等号成立,

故 ?ABD 面积的最大值为

16 13 10 ? 1 ,???10 分 ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? 13 2 ?2 3? 16 13 , 13
???11 分

②当 AB 斜率为 0 时,即 AB / / x ,此时 S

ABD

当 AB 的斜率不存在时,不合题意; 综上, ?ABD 面积的最大值为 21.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴

16 13 10 ? 1 .???12 分 ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? 13 2

a a ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln2 ? 4b ? ?6 ? 2ln2 ? 2 .解得 a=2,b=1. ……...…………(4 分) 2

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x 2 ,设 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m , 则 h? ? x ? ?

2 2(1 ? x2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去). ? 2x ? x x

1 当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是增函数;当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 , h(x)是减函数. e 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 e

? 1 ? h ( e ) ≤ 0, ? ? 1 ? h (1) ? 0, 解得 1 ? m≤ 2 ? 2 .………………………………………..………(8 分) e ? h (e) ≤ 0. ? ? ?
(Ⅲ) g ? x ? ? 2ln x ? x ? kx , g ? ? x ? ?
2

2 ? 2 x ? k .假设结论 g ? ? x0 ? ? 0 成立, x

2 ? 2 ln x1 ? x1 ? kx1 ? 0, ? 2 ? 2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0, ? 则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ? ? x0

① ② ③ ,①-②,得 2 ln ④
x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

x1 x x ln 1 ln 1 x2 x2 2 x2 1 2 ? 2 x0 .由④得 k ? ? 2 x0 ,于是有 ? ∴k ? , ? ,∴ x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 x0 2ln

x 2 1 ?2 x (t ? 1) 2 x1 x2 2t ? 2 即 ln ? .⑤ 令 t ? 1 , u(t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x1 x2 t ?1 t (t ? 1) 2 x2 ?1 x2
∴ u(t ) 在 0<t<1 上是增函数,有 u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 .……………………………………………………………..………(12 分)

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分)
22 . 解 (1) 在 △ ABE 和 △ A C D 中 ?BAE ? ?EDC

A B? A C

?ABE ? ?ACD

BD ∥ MN
??DCN ? ?CAD ??BAE ? ?CAD

??EDC ? ?DCN

直 线 是 圆 的 切 线 ?????5 分

?△ ABE ≌△ ACD

?BCM ? ?BDC (2) ?EBC ? ?BCM BC ? CD ? 4 ? ?EBC ? ?BDC ? ?BAC ?BEC ? ?BAC ? ?ABE ? ?EBC ? ?ABE ? ?ABC ? ?ACB 又 ? BC ? BE ? 4

设 AE ? x,易证 △ ABE ∽△ DEC 又 AE ? EC ? BE ? ED
EC ? 6 ? x

?

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x x AB 6 3 2 10 ?4 ? x ? x ? 6 ? x ? x? 3 3

???10 分

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 23. 解(1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) …… 2 分 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0
2

设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 ,

所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 (2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) , 所以点 P 在直线 l , 中点 M 对应参数为

…… 5 分 …… 6 分 …… 7 分

t1 ? t 2 ? ?2 , 2
……1 0 分

由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2

?2 a ? 1 ? 1 ? x ? 2a ? 1 2a ? 1 ? 3 , 24.解: (Ⅰ)由题意可得 可化为 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 ,即 ? 解得 a ? 1 。 · · · · · · · · · · 5分
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 2a ? x ? ?

?2 x ? 2a, x ? 2a , ?2a, x ? 2a
3 。 2

所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的最小值为 2 a ,根据题意可得, 2a ? 3 ,即 a ?

3 (?? , ) 2 。 所以 a 的取值范围为 · · · · · · · · · · 10 分


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