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黑龙江牡丹江一中2011届高三上学期期中考试(数学理)


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2010— 学年度( 牡一中 2010—2011 学年度(上)学期期中考试

高三学年数学学科理科试题
参考公式: 参考公式:

$ = a + bx , a = y ? b x , y
其中 x , y 为样本平均数

b=

( x1 ? x )( y1 ? y ) + ( x2 ? x )( y2 ? y ) + ... + ( xn ? x )( yn ? y ) ( x1 ? x )2 + ( x2 ? x )2 + ... + ( xn ? x )2

个小题, 一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有 选择题( 一项是符合题目要求的。 ) 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A、B ,定义 A ? B = { x | x ∈ A且x ? B} ,如果 A = { x ∈ R | x 2 ≤ 9} ,
B = { x ∈ R | 2 x > 4} ,则 A ? B = ( )

A.

{ x | ?3 ≤ x < 2}

B.

{ x | ?3 ≤ x ≤ 2}

C.

{ x | 2 ≤ x < 3}

D.

{ x | 2 ≤ x ≤ 3}

上的函数, 为奇函数的一个充要条件为( 2、若 y = f ( x ) 是定义在 R 上的函数,则 y = f ( x ) 为奇函数的一个充要条件为( ) A. 存在某个 x0 ∈ R ,使得 f ( x0 ) + f ( ? x0 ) = 0 C. 对任意的 x ∈ R ,都有 f ( x ) + f ( ? x ) = 0 成立 B. 对任意 x ∈ R, f ( x ) = 0 都成立 D. f ( x ) = 0

3、在一次实验中,测得 ( x , y ) 的四组值分别为 (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (4, 5) ,则 y 与 x 在一次实验中, 的线性回归方程可能是( 的线性回归方程可能是( )

y A. $ = x + 1

y B. $ = x + 2

y C. $ = 2 x + 1

y D. $ = x ? 1

?a, a ≥ b 4、对 a , b ∈ R ,记 max {a , b} = ? ,函数 f ( x ) = max { x + 1 , x ? 2 } ( x ∈ R ) 的最小 ? b, a<b

值是( 值是( ) A. 0 B.
1 2

C. 1

D.

3 2

的命题( 5、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则关于 {an } 的命题(其中 m , n, p, q ∈ N * )。 的二次函数, 是等差数列; ①若 Sn 是关于 n 的二次函数,则 {an } 是等差数列; ② an = S n ? S n ? 1 ( n ∈ N * ) ;

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是等比数列, ③若 {an } 是等比数列,且 an > 0 ,则 lg S n+1 > lg S n ? Sn + 2 ; 是等差数列, ④若 {an } 是等差数列,且 m + n = p + q ,则 am ? an = a p ? aq ; 是等差数列, ⑤若 {an } 是等差数列,则 an = A. 2 B. 3

S2 n?1 其中正确的有( 。其中正确的有( )个。 2n ? 1
C. 4 D. 5

6、圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax + by = 0 的距离为 2 2 ,则 的倾斜角的取值范围是( 直线 l 的倾斜角的取值范围是( )

?π π? A. ? , ? ? 12 4 ?

? π 5π ? B. ? , ? ? 12 12 ?

?π π ? C. ? , ? ?6 3?

? π? D. ? 0, ? 2? ?
0 1 2 3 4 5 6 7 0 3 5 0 2 4 1 3 5 7 0 3 4 8 1 2 4 6 7 9 2 4 5 6 1 5 0 1 2 6

7、某校数学组为了选修课的设置,在设置的所有科目中随机抽取 某校数学组为了选修课的设置, 用问卷调查的方式对两个班的学生进行了普查。经统计, 了 30 门,用问卷调查的方式对两个班的学生进行了普查。经统计, 每一门选修课受学生喜欢的人次数如茎叶图所示。 每一门选修课受学生喜欢的人次数如茎叶图所示。如果要在这 30 门 门确立为选修课, 选出 4 门确立为选修课,并使得其中恰好有 3 门选修课受学生的喜欢 的概率是( 人次数在 [ 50, 100] 的概率是( ) A.
2 3

B.

160 1827

C.

1 3

D.

320 1827

8 9

8、已知函数 f ( x ) = ? x 2 + 8 x , g ( x ) = 6 ln x + m ,要使得 y = f ( x ) 的图象与 y = g ( x ) 的图象有 的取值范围是( 且只有三个不同的公共点, 且只有三个不同的公共点,则实数 m 的取值范围是( ) A. [ 7, 15 ? 6 ln 3] B. (7, 15 ? 6 ln 3) C. (6 ln 3 ? 15, ? 7) D. [ 6 ln 3 ? 15, ? 7]

9、将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b,c ,则方程 x 2 + bx + c = 0 有实根的概 将一枚骰子抛掷两次, 率为( 率为( ) A.
19 36

B.

1 2

C.

5 9

D.

17 36

? x 2 + bx + c , x ≤ 0 10、 10、设函数 f ( x ) = ? ,若 f ( ?4) = f (0), f ( ?2) = ?2 ,则函数 x>0 ? 2,

F ( x ) = f ( x ) ? x 的零点的个数为( 的零点的个数为(

) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11、 11、已知函数 f ( x ) = a ln x ? ax ? 3( a ∈ R ) 。若函数 y = f ( x ) 的图象在点 (2, f (2)) 处切线的倾

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m? ? 斜角为 45o , 对于任意 t ∈ [1, 2] 函数 g ( x ) = x 3 + x 2 ? ? f ′( x ) + ? 在区间 ( t , 3) 上总不是单调 2? ?

函数, 的取值范围是( 函数,则实数 m 的取值范围是( ) A.

( ?∞,

? 5)

? 37 ? B. ? ? , ? 5 ? ? ? 3

? 37 ? C. ? ? , + ∞ ? ? 3 ?

D. 不存在

12、 的图像 12、函数 y = log a ( x + 3 ) ? 1(a > 0, a ≠ 1) 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上,且满足 mn > 0 ,则 且满足 A. 8
1 2 的最小值为( + 的最小值为( ) m n

B. 9

C. 2 2

D. 3

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题( 个小题, 13、 是某区参加 年高考的学生身高条形统计图, 参加今 13、图 1 是某区参加今年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形图表示学生人数依 表示身高(单位: 内的人数。 次记为 A1 , A2 , ..., A10 (如 A2 表示身高(单位: cm )在 [150, 155 ) 内的人数。图 2 是统计 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图 现统计身高在 内学生人数的一个算法流程图。 现统计身高在160 180cm(含 160cm , 图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。 不含180cm )的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 的学生人数, 不含
开始
人数/人 人数 人



L 输入 A1,A2, ,A10
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
x

s=0 i=4
i = i +1
是 否

s = s + Ai

输出s

? 1 ? 175 180 190 195 145 f x ) = 170 身高/cm 依次成公差为正数的等差数列, 身高 14、 x 14、已知函数150(155 160?165? ? log 2 185,正实数 a 、 b 、 c 依次成公差为正数的等差数列,且满足 结束 ? 3? f (a ) ? f (b ) ? f (c ) < 0 ,若实数 d 是方程 f ( x ) = 0 的一个解,那么下列四个判断:① d < a ;② 的一个解,那么下列四个判断: d > b ;③ d < c ;④ d > c 中有可能成立的个数为
图1 图2



15、 15、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x + 1) = ? f ( x ) ,且在 [ ?1, 0] 上是增函数, 上是增函数,给出下列关于 f ( x )

统计量

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的判断: 是周期函数; 对称; 上是增函数; 的判断:① f ( x ) 是周期函数;② f ( x ) 关于直线 x = 1 对称;③ f ( x ) 在 [ 0, 1] 上是增函数;④ f ( x ) 在 上是减函数; [1, 2] 上是减函数;⑤ f (2) = 其中正确判断的序号为

f (0) 。


16、 一次考试成绩情况如表: 16、某校一班和二班各有 40 人,一次考试成绩情况如表: 则两班的平均成绩和标准差分别是 则两班的平均成绩和标准差分别是 和 。

个小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共有 5 个小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 17、 ( 为了预防流感,某学校对教室用药物消毒法进行消毒。 17、 本题满分 12 分)为了预防流感,某学校对教室用药物消毒法进行消毒。 已知: 药物喷洒过程中, 成正比; 已知:⑴药物喷洒过程中,室内每立方米空气中含药量 y( mg ) 与时间 t ( h) 成正比;⑵药物喷
? 1 ? 洒完毕后, 的函数关系式为 为常数) 如图所示,根据图中提供的信息, 洒完毕后, y 与 t 的函数关系式为 y = ? ? ( a 为常数) 如图所示,根据图中提供的信息, , ? 16 ?
t ?a

回答下列问题: 回答下列问题: (Ⅰ)求从药物喷洒开始,每立方米空气中的含药 求从药物喷洒开始, 之间的函数关系式; 量 y( mg ) 与时间 t ( h) 之间的函数关系式; (Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低 据测定, 以下时,学生方可进入教室, 到 0.25mg 以下时,学生方可进入教室,那么从 1

y/mg

O
0.1

t/h

药物喷洒开始,至少需要经过几小时后学生才能回到教室? 药物喷洒开始,至少需要经过几小时后学生才能回到教室? 学生才能回到教室

18、 ( 18、 本小题满分 12 分) 如图在三棱锥 P ? ABC 中,PA = 3 ,AC = AB = 4 ,PB = PC = BC = 5 ,
D、E 分别是 BC、AC 的中点, F 为 PC 上的一点,且 PF : FC = 3 : 1 。 的中点, 上的一点,

(Ⅰ)求证: PA ⊥ BC ; 求证: (Ⅱ)试在 PC 上确定一点 G ,使平面 ABG // 平面 DEF ; 所成角的正弦值。 (Ⅲ)在满足(Ⅱ)的情况下,求直线 GB 与平面 ABC 所成角的正弦值。 在满足( 的情况下,
P

A E 18 题图

F D C

B

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19、 ( 假设某奶粉是经过 三道工序加工而成的, 19、 本小题满分 12 分)假设某奶粉是经过 A、B、C 三道工序加工而成的, A、B、C 工序
3 2 4 已知每道工序的加工都相互独立, 的产品合格率分别为 、 、 。已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品 4 3 5

都为合格时产品为一等品; 两道合格为二等品;其它的为废品,不进入市场。 都为合格时产品为一等品;有两道合格为二等品;其它的为废品,不进入市场。 袋奶粉, 袋奶粉都为废品的概率; (Ⅰ)正式生产前先试生产 2 袋奶粉,求这 2 袋奶粉都为废品的概率; 为加工工序中产品合格的次数, 的分布列和数学期望。 (Ⅱ)设 ξ 为加工工序中产品合格的次数,求 ξ 的分布列和数学期望。

20、 本题满分 12 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ( 1, 2 ) ,它们在 x 轴上有共同 ( 已知抛物线、 焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。 焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。 (Ⅰ)求这三条曲线的方程; 求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ( 3, 0 ) ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ′ 被以 两点,
AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ′ 的方程;若不存在,说明理由。 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在, 的方程;若不存在,说明理由。

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21、 ( 21、 本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) =

1 ( x ∈ R) 。 4 +2
x

?1 (Ⅰ)试证函数 f ( x ) 的图象关于点 ? , ?2

1? 对称; ? 对称; 4?

?n? 若数列 {an } 的通项公式为 an = f ? ? ( m ∈ N + , n = 1, 2, L , m ) , 求数列 {an } 的前 (Ⅱ) ?m?

m 项和 S m ;
设数列 {bn } 满足:b1 = 满足: (Ⅲ)

1 1 1 1 2 ,bn+1 = bn + bn 。 Tn = 设 + +L+ 。 ( Ⅱ) 若 3 b1 + 1 b2 + 1 bn + 1

恒成立, 的最大值。 中的 S m 满足对任意不小于 2 的正整数 n , Sm < Tn 恒成立,试求 m 的最大值。

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做, 、 23 、 24 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 22. 本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ( 的中点, 两点。 自 O 外一点 P 引切线与 O 切于点 A , M 为 PA 的中点,过 M 引割线交 O 于 B 、C 两点。 求证: (Ⅰ) PM 2 = MB ? MC ; (Ⅱ) ∠MCP = ∠MPB 。

22 题图

23. (本小题满分 23. 本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系于参数方程 (

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为极点, 正半轴为极轴建立极坐标系, 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为

π ρ sin(θ + ) = 2 , M , N 分别为 C1 与 x 轴, y 轴的交点。曲线 C 2 的参数方程为 轴的交点。
4

? x = 2 cos θ 为参数) ( θ 为参数) 。 ? ? y = sin θ

的极坐标, 的直角坐标方程; (Ⅰ)求 M , N 的极坐标,并写出 C1 的直角坐标方程; 上的动点距离的最大值。 (Ⅱ)求 N 点与曲线 C 2 上的动点距离的最大值。

24. (本小题满分 24. 本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 ( 恒成立, 已知 a、b、c ∈ R + ,且 a + b + c = 3 , a + b + c ≤ x ? 2 + x ? m 对任意的 x ∈ R 恒成立,求 的取值范围。 实数 m 的取值范围。

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牡一中 2010—2011 学年度(上)学期期中考试

高三学年数学学科理科试题参考答案
个小题, 一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 个小题, 二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题(
选择 答案 填空 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

C 13

A

D

A 14

B

B

B 15

A

C

B 16 85 和 51

A

i < 8? (或填 i ≤ 7? )

2

①②⑤

个小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共有 5 个小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 17、解: (Ⅰ)由已知可设药物喷洒过程中 y = kx

( k ≠ 0) ,

由图像可知它经过点 ( 0.1,1) ,所以 1 = 0.1× k ,即 k = 10 , 所以 y = 10 x ,且满足 0 < x ≤ 0.1 ,
? 1? 而药物喷洒完毕满足 y = ? ? ? 16 ? ? 1? 所以 1 = ? ? ? 16 ?
0.1? a t ?a

(a为常数) ,它也过点 ( 0.1,1) ,
x ? 0.1

? 1? ,故 a = 0.1 ,所以 y = ? ? ? 16 ?

,满足 x > 0.1 。

, 0 < x ≤ 0 .1 ? 10 x 所以: y = ? x ? 0.1 , x > 0 .1 ?(0.0625) ? 1? (Ⅱ)令 y ≤ 0.25 ,则 ? ? ? 16 ?
x x ? 0. 1

≤ 0.25 =

1 , 4

?1? 因为 f ( x ) = ? ? 是 R 上的减函数,所以 2 x ? 0.2 ≥ 1 ,即 x ≥ 0.6 , ? 4?

也就是空气中每立方米的含药量降低到 0.25mg 以下时需要 0.6 小时以上的时间。 答:当空气中每立方米的含药量降低到 0.25mg 以下时,学生方可进入教室,那么从药物喷洒 开始,至少需要经过 0.6 小时后学生才能回到教室。 18、解:

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(Ⅰ) 在 ?PAC 中,∵ PA = 3 , AC = 4 , PC = 5 , ∴ PA2 + AC 2 = PC 2 ,∴ PA ⊥ AC ,同理可得 PA ⊥ AB ∵ AC I AB = A ,∴ PA ⊥ 平面 ABC ∵ BC ? 平面 ABC ,∴ PA ⊥ BC 。 (Ⅱ)如图所示取 PC 的中点 G ,则点 G 可使平面 ABG // 平面 DEF 。 连结 AG、BG ,∵ PF : FC = 3 :1 ,∴ F 为 GC 的中点 又 D、E 分别是 BC、AC 的中点, ∴ AG // EF ,同时易知 BG // FD ,又 AG I GB = G , EF I DF = F ∴平面 ABG // 平面 DEF ,即 PC 的中点 G 可使平面 ABG // 平面 DEF 。 (Ⅲ)由(Ⅱ))知 G 为 PC 的中点,连结 GE ,则有 GE ⊥ 平面 ABC ,连接 EB , 则 EB 是 GB 在平面 ABC 内的射影, 所以 ∠GBE 是 GB 与平面 ABC 所成的角,而 GB =
5 3 3 , GE = , 2 2

所以 sin ∠GBE = 19.解:

GE 3 3 = ,所以直线 GB 与平面 ABC 所成角的正弦值是 。 GB 5 5

(Ⅰ)2袋奶粉都为废品的情况为 ,①2袋奶粉的三道工序都不合格

1 1 1 1 P = ( × × )2 = 1 4 3 5 3600
②有一袋奶粉三道工序都不合格,另一袋有两道工序不合格
1 P2 = C2 ×

1 3 1 1 1 2 1 1 1 4 1 ×( × × + × × + × × ) = 60 4 3 5 4 3 5 4 3 5 200

③两袋都有两道工序不合格 P3 = ( × × +

3 1 1 4 3 5

1 2 1 1 1 4 2 9 × × + × × ) = 4 3 5 4 3 5 400
1 36

所以2袋奶粉都为废品的概率为 P = P + P2 + P3 = 1 (Ⅱ) ξ = 0, 1, 2, 3

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3 2 4 1 P (ξ = 0) = (1 ? ) × (1 ? ) × (1 ? ) = , 4 3 5 60

P(ξ = 1) =
P (ξ = 2) =

3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 × × + × × + × × = 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20
3 2 4 2 1 2 4 3 1 4 3 2 1 13 × × + × × + × × = , P (ξ = 3) = × × = 4 3 5 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 30
ξ
P
0
1 60

1
3 20

2
13 30

3
2 5

∴ Eξ = 1 ×

3 13 2 133 + 2 × + 3× = 20 30 5 60

20、解:
2 (Ⅰ)设抛物线方程为 y = 2 px ( p > 0 ) ,将 M (1, 2 ) 代入方程得 p = 2



抛物线方程为: y 2 = 4 x
∴ c=1
2

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ( ?1, 0 )1 , F2 (1, 0 ) , 对于椭圆, 2a = MF1 + MF2 =
∴ ∴ a = 1 + 2, ∴ 椭圆方程为: a2 = 1 + 2

(1 + 1)
2

2

+ 22 +

(1 ? 1)

+4 =2+2 2

(

)

= 3 + 2 2, ∴

b2 = a2 ? c 2 = 2 + 2 2

x2 y2 + =1 3+ 2 2 2+ 2 2

对于双曲线, 2a′ = MF1 ? MF2 = 2 2 ? 2

∴ ∴

a′ = 2 ? 1, ∴ 双曲线方程为:

a′2 = 3 ? 2 2, ∴ x2 3? 2 2 ? y2 2 2 ?2

b′2 = c ′ 2 ? a ′2 = 2 2 ? 2 =1

(Ⅱ)设 AP 的中点为 C , l ′ 的方程为: x 为 H ,令 A ( x1 , y1 ) ,

= a ,以 AP 为直径的圆交 l ′ 于 D, E 两点, DE 中点

? x + 3 y1 ? ∴ C? 1 , ? 2? ? 2

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DC =

1 1 2 AP = ( x1 ? 3) + y12 2 2 x +3 1 CH = 1 ? a = ( x1 ? 2a ) + 3 2 2
2 2 1? 1 2 ( x1 ? 3) + y12 ? ? ?( x1 ? 2a ) + 3? ? ? 4? 4? = ( a - 2 ) x1 ? a 2 + 3a 2 2 2



DH = DC ? CH =

当a = 2时, DH = ?4 + 6 = 2为定值; ∴ DE = 2 DH = 2 2为定值 此时l ′的方程为: x = 2
21、解:
1 1 (Ⅰ) 设点 P0 ( x 0 , y 0 ) 是函数 f ( x ) 的图象上任意一点, 其关于点 ( , ) 的对称点为 P( x , y) 由 2 4

?x + x0 1 ?x = 1 ? x 0 , ? 2 =2 ? ? 得? ? 1 ? y + y0 = 1 ?y = 2 ? y 0 . ? ? 2 4 ? 所以, 点 P 的坐标为 P (1 ? x 0 ,
1 ? y0 ) 2 1 4 +2
x0

由点 P0 ( x 0 , y 0 ) 在函数 f ( x ) 的图象上, 得 y 0 = ∵ f (1 ? x 0 ) =
1 41? x 0 + 2
=

4 x0 4 x0 , = 4 + 2 ? 4 x 0 2( 4 x 0 + 2)

4 x0 1 1 1 1 ? y0 = ? x = , ∴点 P (1 ? x 0 , ? y 0 ) 在函数 f ( x ) 的图象上 x0 0 2 2 4 + 2 2( 4 + 2) 2 1 1 ∴函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , ) 对称 2 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) + f (1 ? x ) =

k m?k 1 1 即f( ) + f( ) = , ∴ a k + a m?k = , m m 2 2

1 k k 1 , 所以 f ( ) + f (1 ? ) = (1 ≤ k ≤ m ? 1) , 2 m m 2

由 S m = a 1 + a 2 + a 3 + L + a m ?1 + a m ,

……………… ①

得 S m = a m ?1 + a m ? 2 + a m ?3 + L + a 1 + a m , ………………② 由①+②, 得 2S m = (m ? 1) ×
1 m ?1 1 m 1 + 2a m = + 2× = ? , 2 2 6 2 6

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∴ Sm =

1 (3m ? 1). 12 1 (Ⅲ) ∵ b1 = , b n +1 = b 2 + b n = b n (b n + 1) , ………………③ n 3

∴对任意的 n ∈ N + , b n > 0 . ………………④ 由③、④, 得
1 b n +1 = 1 1 1 1 1 1 = ? ,即 = ? b n + 1 b n b n +1 b n (b n + 1) b n b n + 1

∴ Tn = (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )= ? ) + ( ? ) +L+ ( ? ? = 3? b1 b 2 b2 b3 b n b n +1 b1 b n +1 b n +1

∵ b n +1 ? b n = b 2 > 0, ∴ b n +1 > b n , ∴数列 {b n } 是单调递增数列 n ∴ Tn 关于 n 递增. 当 n ≥ 2 , 且 n ∈ N + 时, Tn ≥ T2 ∵ b1 =
1 1 1 4 4 4 52 , b2 = ( + 1) = , b3 = ( + 1) = , 3 3 3 9 9 9 81

∴ Tn ≥ T2 = 3 ? ∴ Sm <

1 75 = b3 52

75 1 75 238 4 = 6 , ∴m 的最大值为 6。 , 即 (3m ? 1) < , ∴ m < 52 12 52 39 39

三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 、 、 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、解: (Ⅰ)Q PA 与圆相切于点 A ,∴ MA2 = MB ? MC

Q M 为 PA 的中点,∴ PM
∴ PM 2 = MB ? MC

= MA

(Ⅱ)Q PM 2 = MB ? MC ,∴

PM MB = ,又Q ∠BMP = ∠PMC ,∴ ?BMP ∽ ?PMC MC PM

∴ ∠MCP = ∠MPB 。
23、解: (Ⅰ)当 θ = 0 时, ρ = 2 ,所以 M 点的极坐标为 (2, 0) , 当θ =

π

π? ? 时, ρ = 2 ,所以 N 点的极坐标为 ? 2, ? 。 2 2? ?

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π 2 2 由 ρ sin(θ + ) = 2 ,可得 ρ ( sin θ + cos θ ) = 2 , 4 2 2
因为 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,所以有
2 2 x+ y= 2 2 2

所以 C1 的直角坐标方程为 x + y ? 2 = 0 。 (Ⅱ)设曲线 C2 上的动点为 P ,则 P(2 cos θ , sin θ ) ,

2 28 NP = 4 cos 2 θ + (sin θ ? 2)2 = ?3sin 2 θ ? 4sin θ + 8 = ?3(sin θ + ) 2 + 3 3
2 2 21 2 21 当 sin θ = ? 时 NP 的最大值为 ,故 N 点与曲线 C2 上的动点距离的最大值为 。 3 3 3

24、解:

Q a、b、c ∈ R + ,且 a + b + c = 3 ,

∴由柯西不等式可知,
a + b + c ≤ 12 + 12 + 12 ?

( a) +( b) +( c)
2 2

2

=3

∴ x ? 2 + x ? m ≥ 3 对任意的 x ∈ R 恒成立,

Q x?2 +

x ? m ≥ ( x ? 2) ? ( x ? m ) = m ? 2

∴ m ? 2 ≥ 3 ,解得 m ≤ ?1 或 m ≥ 5 ∴ m 的取值范围是 ( ?∞, ? 1] U [5, + ∞ ) 。


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