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2[1].4等比数列的概念和性质


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名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等于同一个常数 公差(d)

a ? a ? (n ? 1)d
a ? a ? (n ? m)d
n m
*

d可正可负,且可以为零
1

n

(n, m ? N )

小实验:
1.看清楚
折1次 厚度 2(21) 折2次

已知白纸的厚度为1,将白纸对折. 纸的厚度是怎样变化的. 折3次 8(23) 折4次 ... 折28次

4(22)

16(24) ... 228

? 2.想一想

你能折到28次吗?

(如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28 次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.

0.04毫米= 0.04

×

10-3




厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824

观察下列数列,看看他们有什么共同的特点
(1)
(2)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

, 2

63

(3) 9,92,93,94,95,96,

9

7

(4)

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数.

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 差 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫做等差数列的公差(d)。

练习
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1,3,9,27,81,…
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2

(2)
(3)

5,5,5,5,5,5,…

是,公比 q=1

(4)
(5) (6) (7)

1,-1,1,-1,1,…
1,0,1,0,1,… 0,0,0,0,0,…

是,公 比q= -1
不是等比数列

不是等比数列

1, x , x , x , x , ?( x ? 0)
2 3 4

是,公比 q= x

公比q是每一项(第2项起)与它的前一项的比;防止把被除数 与除数弄颠倒;公比可以是正数,负数,可以是1,但不可以为0

对定义的理解

对定义的理解
1. 各项不能为零,即
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1,3,9,27,…
2 4 8 16

2. 公比不能为零,即 1 1 1 1 , , , , ? 3. 当q>0,各项与首项同号 4. 数列

an ? 0 q?0

5, 5, 5, 5,… 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,… 0,0,0,0,…

当q<0,各项符号正负相间

a?0

a, a , a , …

时,既是等差数列 又是等比数列;

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

等差数列通项公式的推导: an ? an ?1 ? d
方法一:(叠加法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a 2 ? d a 4 ? a3 ? d … … an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d

?

方法二:(归纳法)

a 2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

(n-1)个 式子

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a4 ? a3 ? d ? ( a1 ? 2d ) ? d

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

an ? q ?n ? 2? 等比数列通项公式的推导: n ?1 a
方法一:累乘法

a2 ?q a1

a3 ?q a2 a4 ?q a3 an ?q an ?1

?

方法二:归纳法

a2 ? a1q

(n-1)个 式子

a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3 q ? (a1q )q
2

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

an ? q ?n ? 2? 等比数列通项公式的推导: an ?1
通项公式的推导:
2

a ? ?q a
1

a ?q a
3 2 n

a ?q a
4 3

a ? a

n ?1

?q
3 4

n?2

a ? q (以上各式相乘 ) a
n ?1 n ?1 n

a a a a a ? ? ? ?? ? ? a a a a a
2 1 2 3 n?2

n ?1

? q ? q ? q ? ? ? q ( n ? 1个q相乘) 即a ? a ? q
n 1 n ?1

等比数列的通项公式:
等比数列?an ?,首项为 a1 公比为q,则通项公式为 n-1 an=a1q
当q=1时,这是 一个常函数。

,

an ? 0

﹡,q≠0) (n∈N

注:方程中有四个量,知三求一,这是公式最 简单的应用

练习

在等差数列 ?an ? 中

变形结论:
( n, m ? N )
*

an ? am ? ( n ? m)d

试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知 道 am 和公比q,能否求 an ?如果能, 请写出表达式。

an ? am q

n?m

( n, m ? N )
*

观察如下的两个数之间,插入一个什么 数后者三个数就会成为一个等比数列:
(1)1, , 9 ±3 (3)-12, ,-3 ±6
±2 (2)-1, ±1 (4)1,

等比中项

,-4 ,1

如果在a与b中间插入一个数G, 使a,G,b成等比数列,那么G叫 做a与b的等比中项。 G ? ? ab
注意:1.两个数的等比中项有两个,它们互为相反数;

2.这两个数必须满足同号的条件,即ab>0

典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

a,公比是q ,那么
1

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

练习
1 4 ? ,求它的第1项; (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 9 3

解:设它的第一项是 a1,则由题意得

解得, a1 ? 36 答:它的第一项是36 .

1 5?1 4 a1 ? (? ) ? 3 9

(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20

解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q 3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.

例2 已知 ?a n ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列, 求证 ?an ? bn ? 是等比数列.

证明:设数列 ?a n ?首项为a1,公比为 q1? n ?首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 ?an ? bn ?的第n项与第n+1项 分别为:

a1 ? q1
即为

n ?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2
n

n ?1

n

a1b1 (q1q2 ) 与a1b1 (q1q2 )

n ?1

n

a n ?1 ? bn ?1 a1b1 (q1 q 2 ) n ? ? ? q1 q 2 . n ?1 a n ? bn a1b1 (q1 q 2 )
所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q 2 为公比的等比数列

练习
1、一个等比数列的第4项与第7项分别是 -
2

9

,

2

243

,求这个等比数列的通项公式

以及第5项

例2,已知数列{an }为等比数列 (1)若an ? 0, 且a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5 ; (2) a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8, 求an
3.等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2, 求n.

练习
等比数列 { a n } 中, a 4 · 7 = -512,a 3 + a 8 = 124, a 公比 q 为整数,求 a 10.

法一:直接列方程组求 a 1、q。
法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5 法三:由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = -512 a a
2 ? a3 ? 124a 3 ? 512 ? 0

? a3 ? 128或a3 ? ?4

?a 3 ? 128 ? a 3 ? ?4 ?? 或? ? a8 ? ?4 ?a8 ? 128

∵ 公比 q 为整数

? a 3 ? ?4 128 5 ?? ?q ? ? ?32 ? q ? ?2 ?4 ?a8 ? 128

归纳:
数 列 等 差 数 列
an+1-an=d

等 比 数 列

定义式
公差(比) 定义变形 通项公式 一般形式

a ?q a
n ?1 n

d 叫公差
an+1=an+d an= a1+(n-1)d

q叫公比
an+1=an q an=a1qn-1

an=am+(n-m)d
an ? am d? n?m

an=amqn-m
q
n? m

an ? am

等比数列的性质

等比数列的性质

等比数列的性质

典例剖析

典例剖析

练习

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

(1)数列:1,2,4,8,16,…
(2)数列:
● ●

a ?2
n

n ?1

(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…


1 1 1 8,4,2,1, , , ,? 2 4 8 1 n ?1 4? n an ? 8 ? ( ) ? 2 2
n

a ?4

● ●



● ●













● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6




7

8


9

10

n n?1

1 ? ? 1) ( (4)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,… a ? 2

小结
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项公式及推导 3.等比中项的定义

4.等比数列的图像

作业
1.阅读教材第页至第页
2.教材第页第题

3.红对勾第课时


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