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2014高三数学总复习5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示 61张(人教A版) 2


第五章

平面向量

第五章
第二节 平面向量基本定理及向量的坐标表示

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:1.掌握平面向量基本定理,会进行向量的正交分 解. 2. 理解平面向量坐标的概念, 掌握平面向量的坐标运算. 难点:向量的正交分解与平面向量基本定理.

夯实基础 稳固根基 1.平面向量基本定理 (1)如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 a1、a2,使得 a= a1e1+a2e2 .我们把不共线的向量 e1、 2 叫做表示这个平面 e 内所有向量的一组基底.

(2)直线的向量参数方程式:A、B 是直线 l 上两点,O 为 → → → l 外一点,点 P 在直线 l 上的充要条件是OP=(1-t)OA+tOB (t 为参数). → 1 → → (3)OM= (OA+OB)?M 是线段 AB 的中点. 2

→ → 2.已知两个非零向量 a 与 b,作OA=a,OB=b,则∠ AOB=θ 叫做 a 与 b 的夹角.(0° ≤θ≤180° ) 当 θ=0° 时,a 与 b 方向 相同 ;当 θ=180° 时,a 与 b 方 向 相反 ;当 θ=90° 时,称 a 与 b 垂直. 3. 如果基底的两个基向量互相垂直, 则称其为正交基底, 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分 解.

4.平面向量的直角坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的 两个单位向量 i、j 作为基底,对平面内任一向量 a,有且只有 一对实数 x,y,使得 a=xi+yj,则实数对(x,y)叫做向量 a 的直角坐标,记作 a=(x,y),其中 x,y 分别叫做 a 在 x 轴、 y 轴上的坐标,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相 等向量.

5.平面向量的直角坐标运算 → (1)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1 +y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0. a (3)非零向量 a 的单位向量为± . |a|

疑难误区 点拨警示 1.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时,一定要 搞清方向,用对应的终点坐标减去始点坐标. 2.要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标. 3.只要两个向量不共线,这两个向量就可以作为平面的 一组基底,同一向量在不同基底下的坐标不同,在同一基底 .. 下的坐标是唯一的.

4.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若 a= (x1,x2),b=(y1,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,当 a,b 都是 x1 非零向量时, a⊥b?x1x2+y1y2=0, 同时还要注意 a∥b 与 = x2 y1 y2不等价.

思想方法技巧

解题技巧 证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量 a,b,若存在实数 λ,使得 b=λa,则向量 a 与 b 共线(平行). (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 x1y2-x2y1=0,则向量 a

∥b.
(3)对于向量 a,b,若|a· b|=|a|· |b|,则 a 与 b 共线.

考点典例讲练

向量的坐标运算

[例 1]

1 已知 A(7,1),B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交 2 ) 5 D. 3

→ → 于 C,且AC=2CB,则实数 a 等于( A.2 B.1 4 C. 5

1 解析:设 C(x0,y0),则 y0= ax0, 2 1 1 → → ∴AC=(x0-7,2ax0-1),CB=(1-x0,4-2ax0), ?x0-7=2?1-x0?, ? → → ? ∵AC=2CB,∴?1 1 ? ?2ax0-1=2?4-2ax0?, ? ? ?
?x =3, ? 0 ∴? ?a=2. ?

答案:A

1 点评: 如果注意到点 C 在直线 y= ax 上, 可直接设 C(2x0, 2 → → → → ax0),求出AC,CB代入AC=2CB解方程即可.

(文)(2011· 山东烟台一模)在平行四边形 ABCD 中,AC 为 → → → 一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) C.(3,5) B.(-3,-5) D.(2,4) )

→ → → → → → → → 解析: 由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB → → =AC-2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5),选 B.

答案:B

(理)(2012· 安徽文)设向量 a=(1,2m), b=(m+1,1), c=(2, m),若(a+c)⊥b,则|a|=________.

解析:a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=0,即(3,3m)· (m+1,1)=0, 1 ∴3(m+1)+3m=0,6m+3=0,∴m=- , 2 ∴a=(1,-1),∴|a|= 2.

答案: 2

向量共线的应用

[例 2]

→ 1→ 如图所示,在?ABCD 中,已知AE= BC,AC 与 3

→ → BE 相交于点 F,AF=λAC,则 λ=________.

→ → 分析:∵BE 与 AC 相交于点 F,∴BE与BF共线,故可利 用此共线条件求 λ.

1 → → → → → → 解析:设BA=a,BC=b.则BE=BA+AE=a+ b.而AC= 3 b-a, → → 所以AF=λAC=λ(b-a). → → → 故BF=BA+AF=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb. → → ∵BE与BF共线,且 a 与 b 不共线, 1-λ λ 1 ∴ 1 =1,∴λ=4. 3 1 答案:4

点评:向量共线的条件是高考考查平面向量的主要命题 方向之一.解答这类题目一般利用共线条件列出方程求解.

(文)(2011· 天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个 向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),使平面内的任意一个向量 c 都 可以唯一的表示成 c=λa+μb,则 m 的取值范围是________.

解析:∵c 可唯一表示成 c=λa+μb, ∴a 与 b 不共线,∴2m-3≠3m,∴m≠-3.
答案:{m|m∈R,m≠-3}

→ → → (理)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1, k-1),若 A、B、C 三点不能构成三角形,则实数 k 应满足的 条件是( ) 1 B.k= 2 D.k=2

A.k=-2 C.k=1

解析:∵A、B、C 三点构不成三角形, ∴A、B、C 三点在同一条直线上, → → → ∴存在实数 λ,使OC=λOA+(1-λ)OB, ∴(k+1,k-1)=(2-λ,-2λ-1),
?k+1=2-λ, ? ∴? ?k-1=-2λ-1, ?

解之得 k=2.

答案:D

点评:由于三点 A、B、C 构不成三角形,∴A、B、C 共 → → → → 线,∴AB与AC共线,∴存在 λ,使AC=λAB,解 λ、k 的方程 可得 k 值.

由向量共线求参数的值或取值范围

[例 3]

(2011· 北京西城模拟)已知向量 a=(3,1),b= ) D.-5

(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=( A.3 B.0 C.5

分析:已知向量的坐标和两向量平行求参数值,可用向 量共线的坐标表示求解,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2 -x2y1=0.

解析:由已知得:a-c=(3-k,-6), 又∵(a-c)∥b, ∴3(3-k)+6=0,∴k=5.

答案:C

(2012· 湖南邵阳第一次联考)已知向量 a=(cosx, 3sinx), b=(cosx,cosx),函数 f(x)=a· b. π (1)求函数 f(x)在(-2,0]上的值域; (2)当 x∈(0,π)时,若 a∥b,求 x 的值.

[解析]

(1)f(x)=a· b=cos2x+ 3sinxcosx

1 =2(1+cos2x+ 3sin2x) π 1 =sin(2x+6)+2. π 5π π π ∵-2<x≤0,∴- 6 <2x+6≤6, π 1 ∴-1≤sin(2x+6)≤2, 1 1 ∴- ≤f(x)≤1,即 f(x)的值域为[- ,1]. 2 2

(2)∵a∥b,∴cos2x= 3sinxcosx, ∴cosx(cosx- 3sinx)=0, 即 cosx=0 或 cosx= 3sinx. π π ∵x∈(0,π),∴x=2或 x=6.

平面向量基本定理

[例 4]

→ 1→ → 1→ 如图所示,在△ABO 中,OC= OA,OD= OB, 4 2

→ → AD 与 BC 相交于点 M.设OA=a,OB=b.

→ (1)试用 a 和 b 表示向量OM; (2)在线段 AC 上取一点 E, 在线段 BD 上取一点 F, EF 使 → → → → 过点 M,设OE=λOA,OF=μOB,当 EF 为 AD 时,λ=1,μ 1 1 3 1 1 3 =2, 此时λ +μ=7; EF 为 CB 时, 4, 当 λ= μ=1, 此时 λ +μ= 7,有人得出如下结论:不论 E、F 在线段 AC、BD 上如何变 1 3 动,λ +μ=7 总成立.试问他的这个结论对吗?请说明理由.

分析:初学者解答这类题目常常找不到解决问题的切入 点,这里如果抓住 B、M、C 共线和 A、M、D 共线,并用已 知向量 a,b 来表示其他向量,利用共线向量定理列方程则不 难获解.

→ 解析:(1)设OM=ma+nb, → → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb, 1 → → → 1→ → AD=OD-OA=2OB-OA=-a+2b. → → ∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → 故存在实数 t,使得AM=tAD, 1 即(m-1)a+nb=t(-a+2b),

?m-1=-t ? ∴? ,消去 t 得 m-1=-2n, t ?n=2 ? 即 m+2n=1① 1 1 → → → ∵CM=OM-OC=ma+nb-4a=(m-4)a+nb, 1 → → → CB=OB-OC=b- a, 4 → → 又 C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线.

同理可得 4m+n=1.② 1 3 → 1 3 由①②解得 m=7,n=7.∴OM=7a+7b. 1 3 (2) + =7 这个结论是对的. λ μ ∵E、F、M 三点共线,由直线的向量参数方程式可知存 → → → 在实数 k,使得OM=kOE+(1-k)OF,

1 3 即7a+7b=λka+μ(1-k)b, → → 又∵OA、OB不共线,即 a、b 不共线, ?1 ?7=λk, ∴? ?3=μ?1-k?, ?7

1 3 消去 k 整理得,λ +μ=7.

→ 1→ 如图所示, 在△ABC 中, M 是 AB 的中点, 点 且AN=2NC, → → BN 与 CM 相交于点 E,设AB=a,AC=b,用基底 a,b 表示 → 向量AE=________.

分析:先利用三点共线进行转化,再通过用基底表示向 量的唯一性进行求解.

→ 1→ 1 → 1→ 1 解析:易得AN= AC= b,AM= AB= a,由 N、E、B 3 3 2 2 → → → 1 三点共线知存在实数 m, 满足AE=mAN+(1-m)AB=3mb+(1 -m)a. → → 由 C、E、M 三点共线知存在实数 n,满足AE=nAM+(1 → 1 -n)AC=2na+(1-n)b.

1 1 所以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b. 3 2 1 ? ?1-m=2n, 由于 a、b 为基底,所以? ?1m=1-n, ?3 1 → 2 所以AE= a+ b. 5 5 3 ? ?m=5, 解得? ?n=4. ? 5

2 1 答案: a+ b 5 5

点评:应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平 行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运 算,基本方法有: (1)运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行化简, 直至用基底表示为止; (2)将向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程组, 利用基底表示向量的唯一性求解.

课堂巩固训练

一、选择题 1.(2011· 日照模拟)已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量 a → =(1,2),若AB∥a,则实数 y 的值为( A.5 B.6 C.7 ) D.8

[答案] C

[解析]

→ → ∵AB=(3,y-1),AB∥a,

∴3×2-1×(y-1)=0,∴y=7.

2.(2012· 天津文,8)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC → → → → → → =2, 设点 P, 满足AP=λAB, =(1-λ)AC, Q AQ λ∈R, 若BQ· CP =-2,则 λ=( 1 A. 3 2 B. 3 ) 4 C. 3 D.2

[答案] B

[解析]

本题考查向量的加法、减法运算.

→ → → → → → → → 由题意, =AQ-AB=(1-λ)AC-AB, =CA+AP= BQ CP → → → → →2 →2 -AC+λAB,BQ· =(λ-1)AC -λAB =3λ-4=-2,∴λ CP 2 = . 3 → → → → 用模与夹角都已知的AC, 来表示BQ, 是解题关键, AB CP → → (AC, 看作一组基底). AB 另外本题可以将向量坐标化去解答.

→ → 3.(文)(2011· 广东湛江模拟)已知向量AB =(2,4),AC = → → (a,3),若AB⊥AC,则 a 的值为( A.6 3 C.2 B.-6 3 D.-2 )

[答案] B

[解析] 故选 B.

→ → 因为AB⊥AC,所以 2a+12=0,解得 a=-6,

(理)(2011· 广东湛江模拟)已知向量 a=(1,1),b=(2,y), 若|a+b|=a· b,则 y 等于( A.-3 C.1 B.-1 D.3 )

[答案] D

[解析]

因为 a+b=(3,y+1),a· b=2+y,依题意知,

9+(y+1)2=(2+y)2,解得 y=3,故选 D.

二、填空题 4.(2011· 江苏南通二调)设 M={a|a=(2,0)+m(0,1),m∈ R}和 N={b|b=(1,1)+n(1,-1),n∈R}都是元素为向量的集 合,则 M∩N=________.
[答案] {(2,0)}

[解析]

M={a|a=(2,m),m∈R},N={b|b=(1+n,1

-n),n∈R},
?2=1+n, ? 由? ?m=1-n, ? ?m=0, ? 得? ?n=1. ?

于是 a=b=(2,0),所以 M∩N={(2,0)}.


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