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第五讲 函数的基本概念与性质

第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线,也是数学中的一个重要概念.它使我 们从研究常量发展到研究变量之间的关系,这是对事物认识的一大飞跃, 而且对于函数及其图像的研究,使我们把数与形结合起来了.学习函数, 不仅要掌握基本的概念,而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来, 在解题中自觉地运用数形结合的思想方法, 从图像和性质对函数进行深入 的研究. 1.求函数值和函数表达式 对于函数 y=f(x),若任取 x=a(a 为一常数),则可求出所对应的 y 值 f(a),此时 y 的值就称为当 x=a 时的函数值.我们经常会遇到求函数值与 确定函数表达式的问题. 例 1 已知 f(x-1)=19x2+55x-44,求 f(x). 解法 1 令 y=x-1,则 x=y+1,代入原式有 f(y)=19(y+1)2+55(y+1)-44 =19y2+93y+30, 所以 f(x)=19x2+93x+30. 解法 2 f(x-1)=19(x-1)2+93(x-1)+30,所以 f(x)=19x2+93x+30.

可.

例 3 已知函数 f(x)=ax5-bx3+x+5,其中 a,b 为常数.若 f(5)=7, 求 f(-5).

解 由题设 f(-x)=-ax5+bx3-x+5 =-(ax5-bx3+x+5)+10 =-f(x)+10, 所以 f(-5)=-f(5)+10=3. 例 4 函数 f(x)的定义域是全体实数,并且对任意实数 x,y,有 f(x+y)=f(xy).若 f(19)=99,求 f(1999). 解 设 f(0)=k,令 y=0 代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k, 即对任意实数 x,恒有 f(x)=k.所以 f(x)=f(19)=99, 所以 f(1999)=99. 2.建立函数关系式 例 5 直线 l1 过点 A(0,2),B(2,0),直线 l2:y=mx+b 过点 C(1, 0),且把△AOB 分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,如图 3-1.设此三角形的面积为 S,求 S 关于 m 的函数解析式,并画出图像.

解 因为 l2 过点 C(1,0),所以 m+b=0,即 b=-m. 设 l2 与 y 轴交于点 D,则点 D 的坐标为(0,-m),且 0<-m≤2(这是因 为点 D 在线段 OA 上,且不能与 O 点重合),即-2≤m<0.

故 S 的函数解析式为

例 6 已知矩形的长大于宽的 2 倍,周长为 12.从它的一个顶点作一 条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边

x, 试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关系式. 解 设矩形 ABCD 的长 BC 大于宽 AB 的 2 倍.由于周长为 12,故长与 宽满足 4<BC<6,0<AB<2. 由题意,有如下两种情形:

CE1=x,BE1=BC-x,AB=CD=2(BC-x),所以

(2AB+x)+AB=6,

所以

3.含绝对值的函数 一次函数的图像是一条直线, 含有绝对值符号的函数所对应的图像是 由若干条线段和射线所组成的折线;二次函数的图像是抛物线,而 y=|ax2 +bx+c|的图像是将 y=ax2+bx+c 在 x 轴下方的图像按 x 轴为对称轴翻到 x 轴的上方.对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像,需要按区 间分段讨论. 例 7 作函数 y=|3-x|+|x-1|的图像. 解 当 x<1 时,y=(3-x)+(1-x)=-2x+4; 当 1≤x<3 时,y=(3-x)+(x-1)=2;当 x≥3 时,y=(x-3)+ (x-1)=2x-4.所以

它的图像如图 3-3 所示.

例 8 作函数 y=|x2-5x+6|的图像. 解 当 x≤2 或 x≥3 时,x2-5x+6≥0,于是 y=x2-5x+6;当 2<x<3 时, x -5x+6<0,于是 y=-(x2-5x+6).所以
2

于是,得图像如图 3-4 所示. 例 9 点(x,y)满足方程 |x-1|+|y+2|=2, 求它的图像所围成区域的面积. 解 当 x≥1,y≥-2 时,x-1+y+2=2,即 y=-x+1. 当 x≥1,x<-2 时,x-1-(y+2)=2,即 y=x-5. 当 x<1,y≥-2 时,-x+1+y+2=2,即

y=x-1. 当 x<1,y<-2 时,-x+1-(y+2)=2,即 y=-x-3. 于是,所得图像如图 3-5 所示.

由此可知,|x-1|+|y+2|=2 的图像是一个对角线长为 4,边长为 2 方程 x2-4|x|+5=m 有四个互不相等的实数根? 例 10 m 是什么实数时, 解法 1 将原方程变形为 x2-4|x|+4=m-1. 令 y=x2-4|x|+4=m-1,则

它的图像如图 3-6, y=m-1 是一条与 x 轴平行的直线. 而 原方程有四个互 不相等的实根,即直线应与曲线有四个不同的交点.由图像可知,当 0< m-1<4,即 1<m<5 时,直线与曲线有四个不同的交点,所以,当 1<m <5 时,方程 x2-4|x|+5=m 有四个互不相等的实数根.

说明 本题是一个方程问题,我们利用图形来研究,这是一种非常重 要的思想方法——数形结合法.当然,本题不用图像也是可以解的,下面 给出解法,请读者比较一下. 解法 2 原方程变形为 (|x|-2)2=m-1,

练习五 1.填空: (1)已知 f(x-1)=19x2+55x-44,则 f(x)=_______. (2)对所有实数 x,f(x2+1)=x4+5x2+3,那么对所有实数 x, f(x -1)=_______.
2

(3)设 x 与 y2 成反比例,y 与 z2 成正比例.当 x=24 时,y=2;当 y=18 时,z=3,则 z=1 时,x=_______. (4)已知 y=2x2+mx+5 的值恒为正,且 m 为实数,则 m 的范围是 _______.

函数,且当 x=2,x=3 时,y 的值都为 19,则 y 的解析式为 y=_______. (6)如果 y+m 与 x+n 成正比例,且当 x=1 时,y=2;当 x=-1 时,y=1, 则 y 与 x 间的函数关系式是 y=_______.

2.在平面直角坐标系里,点 A 的坐标是(4,0),点 P 是第一象限内 一次函数 y=-x+6 的图像上的点,原点是 O,如果△OPA 的面积为 S,P 点 坐标为(x,y),求 S 关于 x 的函数表达式. 3.平面直角坐标上有点 P(-1,-2)和点 Q(4,2),取点 R(1,m),试 问当 m 为何值时,PR+RQ 有最小值.

试 求 k 的取值范围. 5.设 y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|,且 2≤x≤8,试求 y 的最大值与最小值 之和. 6.作 y=2|x-3|,y=x-a 的图像,问 a 取什么值时,它们可以围出一 个平面区域,并求其面积. 7.m 是什么实数时,方程|x2-4x+3|=m 有三个互不相等的实数解.