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初三升高一数学衔接资料10


初三升高一数学衔接资料(10)


1. 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 2. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 (1) 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等。 (2) 半圆(或直径)所对的圆周角为直角; 90 的圆周角对的弦是直径。 3. 圆内接四边形性质定理: (1) 对角互补, (2)外角等于内对角。 判定定理: (1)如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形四个点共圆。 (2) 如果一个四边形的外角等于内对角,那么这个四边形四个点共圆。 4. 圆的切线 (1) 切线判定定理:经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是切线。 (2) 切线性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 推论 2. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 (3) 弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 5. 与圆有关的比例线段 (1) 相交弦定理:圆的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等。 (2) 割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到两条割线与圆的交点的两条 线段的长的积相等。 (3) 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点 的两条线段的长的比例中项。 (4) 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点 连线平分两切线夹角。 例 1. 如图,A、E 是半圆周上的两个三等分点,直线 BC=4, AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长 为________.
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例 2. 如图,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别 是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC=4,BE=10,且 BC =AD,则 DE=________.

例 3.如图,过圆外一点 P 作⊙O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分线分别与 AE、BE 相交于点 C、D, 若∠AEB=30° ,则∠PCE=________.

例 4. 如图, 已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ∠B=60° 在 AC 上,且 AE=AF. ,F (1)求证:B,D,H,E 四点共圆; (2)求证:CE 平分∠DEF.

例 5.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆, 且 AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D, 交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延长线, 连接 CD. (1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证:AB2=AF· AD.

例 6. 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆.

例 7 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的垂线,交直线 AC 于点 E,交 AD 于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H. 求证:(1)C,D,F,E 四点共圆; (2)GH2=GE· GF.

例 8 如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆 的半径.

练习 1. 已知四边形 PQRS 是圆内接四边形,∠PSR=90° , 过点 Q 作 PR、PS 的垂线,垂足分别为点 H、K.

(1)求证:Q、H、K、P 四点共圆; (2)求证:QT=TS.

2. 如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、FC. (1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6 cm,求 AD 的长.


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