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山东省泰安市2015届高三上学期1月期末考试数学(文) Word版含答案


高三年级考试

数 学 试 题(文科)
2015.1 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若 U ? ?1,2,3,4,5,6? , M ? ?1,2,4?, N ? ?2,3,6? ,则 Cu ? M ? N ? 等于 A. ?1, 2,3? C. ?1,3, 4?
2

B. D.

?5? ?2?

2.已知 a ? R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.正项等比数列 ?an ? 的公比为 2,若 a2 a10 ? 16 ,则 a9 的值是 A.8 C.32 4.已知命题 p : ?x ? 0, x ? A.p 是假命题 C. p ? ? ?q ? 是真命题 B.16 D.64

4 1 ? 4 :命题 q : ?x0 ? R ? , 2 x0 ? .则下列判断正确的是 x 2
B.q 是真命题 D. ? ?p ? ? q 是真命题

5.已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是 A. m ? ? , n / / m ? n / /? C. m ? ? , n ? ? n / / m ? ? / / ? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? D. n ? ? , n ? ? ? ? ? ?

? y ? 2x ? 6.若变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为 ? y ? ?1 ?
A. ?

5 2

B.0

C.

5 3

D.

5 2

?e x , x ? 0, ? 7.下列函数中,与函数 y ? ?? 1 ? x 的奇偶性相同,且在 ? ??,0? 上单调性也相同的是 , x ? 0 ?? ? ?? e ?
A. y ? ?

1 x

B. y ? x ? 2
2

-1-

C. y ? x3 ? 3

D. y ? log 1 x
e

8.设函数 f ? x ? ? sin ?x ? cos ?x ?? ? 0? 的最小正周期为 ? , 将 y ?f x ? 个单位得函数 y ? g ? x ? 的图象,则 A. g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减 C. g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增
x

? 的图象向左平移 8

?

? ?? ? 2?

B. g ? x ? 在 ?

?? 3 ? , ? ? 上单调递减 ?4 4 ? ?? 3 ? , ? ? 上单调递增 ?4 4 ?

? ?? ? 2?

D. g ? x ? 在 ?

9.设函数 f ? x ? 的零点为 x1 , g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点为 x2 , 若 x1 ? x2 ? 0.25,则f ? x ? 可以 是 A. f ? x ? ? x ?1
2

B. f ? x ? ? 2 ? 4
x

C. f ? x ? ? ln ? x ?1? 10.设函数 f ? x ? ? ?

D. f ? x ? ? 8x ? 2

? x 2 ? x,x ? 0, ? 若 f ? f ? t ? ? ? 2 ,则实数 t 的取值范围是 2 ? ?? x , x ? 0,
B. ? 2. ? ?

A.

? ??.

2? ?

?

? ?

C.

? ??. ? 2?

D.

??2. ? ??
▲ .

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知向量 m ?

?

3,1 , n ? ? 0, ?1? , k ? t , 3 .若m ? 2n与k 共线,则 t=

?

?

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

??

4 ? ? ? ? ? ,则sin ? ? ? ? ? 6? 5 12 ? ?
1 ? 1g 25 ? 4
▲ .

▲ .

13.计算: 3 ? 3 1.5 ? 6 12 ? 1g

14.若椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上, 过点 ? 2,1? 作圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线, 切点分别为 A, B, 2 a b

直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为 ▲ . 15.棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该 几何体的体积是 ▲ .

-2-

三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.) 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 2c cos A ? 2b ? 3a. (I)求角 C 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 2 3, b ? 2 ,求 sin A 的值.

17.(本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, AC=BC,D 为 AB 的中点,且 AB1 ? AC 1 (I) AB1 ? A 1D ; (II)证明: BC1 / / 平面 ACD . 1 18.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足:

S3 ? 15, a5 ? a9 ? 30.
(I)求 an 及Sn ; (II)数列 ?bn ? 满足 bn ? Sn ? n ? ? 2 ? n ? N? ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证 : Tn ? 2 . 19.(本小题满分 12 分) 某公司生产的商品 A 每件售价为 5 元时,年销售 10 万件, (I)据市场调查,若价格每提高一元,销量相应减少 1 万件,要使销售收入不低于原销售收 入,该商品的销售价格最多提高多少元? (II)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产 的商品售价提高到每件 x 元,公司拟投入

1 2 x x ? x ? 万元作为技改费用,投入 万元作为宣传 ? 2 4

费用。试问:技术革新后生产的该商品销售量 m 至少应达到多少万件时,才可能使技术革新 后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和? 20.(本小题满分 13 分)

-3-

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点为 F1、F2 ,离心率为 ,直线 l 与椭圆相交于 a b 2
A、B 两点,且满足 AF1 ? AF2 ? 4 2, K OA ? K OB ? ? , O 为坐标原点. (I)求椭圆的方程; (II)证明: ?OAB 的面积为定值. 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? m ln x ? (I)当 m ?

1 2

1 1 x ? .? m ? R ? . 2 2x

5 时,求 f ? x ? 的极值; 4

(II)设 A、B 是曲线 y ? f ? x ? 上的两个不同点,且曲线在 A、B 两点处的切线均与 x 轴平行, 直线 AB 的斜率为 k ,是否存在 m ,使得 m ? k ? 1? 若存在,请求出 m 的值,若不存在,请 说明理由.

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