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广东省中山一中-届高三暑假数学模拟训练八

广东省中山一中 2009-2010 届高三暑假数学模拟训练八
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A B) ? P( A) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01 , , 2, …,n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

第一部分 选择题(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1、如果 log7 ? ?log3 ? log2 x ?? ? ? 0 ,那么 x
? 1 2

等于(


2 4

? A? 1
2 已知 E ? ( )

3

?B?

3 6
2

?C ?

3 9
2

? D?
2

?? x, y ? y ? x ? , F ? ?? x, y ? x
5 4

? ? y ? a ? ? 1 ,那么使 E

?

F ? F 成立的充要条件是

? A? a ?

? B? a ?

5 4

?C ? a ? 1

? D? a ? 0

3、设 f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于 ( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 4、若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lgb ,Q= (A)RPQ (C)Q PR 5、函数 y=sin(

a?b? 1 ?lg a ? lg b? ,R= lg? ? ? ,则( 2 ? 2 ?
(B)PQ R (D)P RQ



? -2x)+sin2x 的最小正周期是( 3
(B)



(A)

? 2

?

(C) 2 ?

(D) 4 ?

6、在圆 x +y =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是(

2

2



(A) ( ,

8 5

6 ) 5 6 ) 5

(B)( ,-

8 5

6 ) 5 6 ) 5

(C)(- ,

8 5

(D)(- ,-

8 5

?x ? 0 ? 7、不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
(A) (0,2) ( B) (0,2.5)



(C) (0, 6 )

(D) (0,3) )

8、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( (A) (

n?2 π ,π ) n

(C) (0,

? ) 2

n ?1 π ,π ) n n?2 n ?1 (D) ( π, π) n n
(B) (

9、 定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图象与 f(x) 的图象重合,设 a>b>0 ,给出下列不等式:

① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
其中成立的是 ( (A)①与④ ) (B)②与③

② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
(D)②与④

(C)①与③

10、若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分 有交点,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ? 5 ) C. 0 ? k ? 13 D. 0 ? k ? 5

B. ? 5 ? k ? 0

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的, 只计算前一题得分.每小题 5 分,满分 20 分. 11、如果不等式 4 x ? x 2 ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实数 a 的取 值范围是 。

12、设复数 z1 ? 2 sin ? ? cos? ? 针方向旋转

?? ?? ? ? ? ? 在复平面上对应向量 OZ1 ,将 OZ1 按顺时 2? ?4

3? 后 得 到 向 量 OZ 2 , OZ 2 对 应 的 复 数 为 z 2 ? r ?cos? ? i sin ? ? , 则 4 tan ? ? ____ .

13、某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字 是不同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百

分比)为

.

14、(坐标系与参数方程选做题 ) 极坐标方程 ? ? 2 2 sin(? ? 示的曲线的直角坐标方程是 。

?
4

) 所表
C _ B _ O _ A _ D _

15.(几何证明选讲选做题) 已知圆 O 的半径为 3 ,从圆 O 外一点 A 引切

AB ? 3 , 线 AD 和割线 ABC , 圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 , 则切线 AD
的长为 _____。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知: tan(? ?

?

1 ? ) ? ? ,( ?? ?? ) 。 4 2 2
的值。

(1)求 tan ? 的值; (2)求

sin 2? ? 2 cos 2 ? sin(? ?

?
4

)

17. (本小题满分 12 分) 一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次 变 化只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为 p,出现“×”的概率为 q,若第 k次 出现“○” ,则记 ak ? 1 ;出现“×” ,则记 ak ? ?1 ,令 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an .

1 时,记 ? ?| S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望; 2 1 2 (II)当 p ? , q ? 时,求 S8 ? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率. 3 3
(I)当 p ? q ?

18. (本小题满分 14 分) 已知:函数 f ( x ) ? ax ?

b 5 17 ? c ( a、b、c 是常数)是奇函数,且满足 f (1) ? , f (2) ? , x 2 4

(Ⅰ)求 a、b、c 的值; (Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上的单调性并说明理由; (Ⅲ)试求函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的最小值.

1 2

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的底面边长是 2 , D 是侧棱 CC1 的中点,直线 AD 与 侧面 BB1C1C 所成的角为 45 . (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ) 求二面角 A ? BD ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 ABD 的距离.

A

A1

B
C

B1
D

C1

20. (本小题满分 14 分) 设 f ( k ) 是 满 足 不 等 式 x 2 ? 3 ? g (k ) ? x ? 2 g 2 (k ) ? 0 的 自 然 数

x 的个数,其中

g (k ) ? 2k ?1 (k ? N * ) .
(Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ) 求 f ( k ) 的解析式; (Ⅲ)记 S n ?

? f (i) ,令 P
i ?1

n

n

? n 2 ? n ? 1 n ? N ? ,试比较 S n 与 Pn 的大小.

?

?

21. (本小题满分 14 分) 直线 AB 过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F,并与其相交于 A、B 两点,Q 是线段 AB 的中点,

M 是抛物线的准线与 y 轴的交点,O 是坐标原点. (Ⅰ)求 MA· MB 的取值范围; (Ⅱ)过 A、B 两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于 N 点. 求证: MN· OF ? 0, NQ ∥OF ; (Ⅲ)若 p 是不为 1 的正整数,当 MA· MB ? 4P ,△ABN 的面积的取值范围为[5 5 ,
2

20 5 ]时,求该抛物线的方程.

参考答案及评分说明
一.选择题:DABBB ACACA
3 解析:1:由题干可得: log3 ? log 2 x ? ? 1 ? log 2 x ? 3 ? x ? 2 . ? x

?

1 2

?2

?

3 2

?

2 . 4

故选 ( D ) . 2: E 为抛物线 y ? x 2 的内部 (包括周界) ,F 为动圆 x2 ? ? y ? a ? ? 1 的内部 (包括周界) .
2

该题的几何意义是为何值时,动圆进入区域 E ,并被 E 所覆盖. 显然结论应是 a ? c c ? R? , 故可排除 ? B ? , ? D? , 而当 a ? 1 时, a 是动圆圆心的纵坐标,
E F ? F . (可验证点 ? 0,1? 到抛物线上点的最小距离为

?

?

3 ).故选 ? A ? . 2

3:由 f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由 f(x)是奇函数,得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B. 4:取 a=100,b=10,此时 P= 2 ,Q= 知选 PQR,所以选 B 5: f(x+

3 =lg 1000 ,R=lg55=lg 3025 ,比较可 2

? ? ? ? ? )=sin[ -2(x+ )]+sin[2(x+ )]=-f(x), 而 f(x+π )=sin[ -2(x+π )] 2 3 2 2 3

+sin[2(x+π )]=f(x).所以应选 B;
2 2

6:在同一直角坐标系中作出圆 x +y =4 和直线 4x+3y-12=0 后,由图可知距离最小 的点在第一象限内,所以选 A. 7: 不等式的 “极限” 即方程, 则只需验证x=2, 2.5, 6 和3哪个为方程

3? x 2? x ? 3? x 2? x

的根,逐一代入,选C. 8:当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正多边形便为极限状 态,此时棱锥相邻两侧面所成二面角α →π ,且小于π ;当棱锥高无限大时,正n棱柱便 又是另一极限状态,此时α →

n?2 n?2 π ,且大于 π ,故选(A). n n 9 :取满足题设的特殊函数 .......... f(x)=x , g(x)=|x|, 则


f(b)-f(-a)=a+b , g(a)-g(-b)=a-b , f(a)-f(-b)=a+b,g(b)-g(-a)=b-a;∴选(C).
10:作直线和圆的图象,从图中可以看出: k 的取值范围应选(A).

二.填空题:11、 a ? ?2,??? ; 13、 0.75 %. ; 解析:

12、

2 tan ? ? 1 .; 2 tan ? ? 1

14、(x-1)2+(y-1)2=2;15、 15 ;

11:根据不等式解集的几何意义,作函数 y ?

4x ? x 2 和

函数 y ? (a ? 1) x 的图象(如图) ,从图上容易得出实数 a 的取 值范围是 a ? ?2,??? 。 12: 应用复数乘法的几何意义,得

3? 3? ? ? z 2 ? z1 ? cos ? i sin ? 4 4 ? ? ??
于是

2 ??2 sin ? ? cos? ? ? ?2 sin ? ? cos? ?i?, 2
故应填

tan ? ?

2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? , 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1

2 tan ? ? 1 . 2 tan ? ? 1

13:中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有 P53 种方法,偶位数字上排偶数 的方法有 53 ,从而中奖号码共有 P53 ? 53 种,于是中奖面为

P53 ? 5 3 ? 100% ? 0.75%, 1000000
14:解:由 ? ? 2 2 sin(? ?

故应填 0.75 %.

?
4

)得? ?2 2

2 (sin ? ? cos ? ) = 2(sin ? ? cos ? ) , 2

? ? 2 ? 2? (sin ? ? cos? ) ? 2 y ? 2x ,化简得(x-1)2+(y-1)2=2
15.解:依题意, BC ? 2 3 ? 2 2
2

?

?

2

2 =2,? AC ? 5, AD ? AB. AC =15,? AD = 15

三.解答题: 16.解: (1)由 tan(? ? 分

?

1 1 ? tan ? 1 ) ? ? ,得 ? ? ,解之得 tan ? ? ?3 4 2 1 ? tan ? 2

……………………5

sin 2? ? 2 cos 2 ? 2 sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 2 cos ? (2) ? 2 sin(? ? ) (sin ? ? cos ? ) 4 2


…………………………9

?
2

? ? ? ? 且tan? ? ?3
2 5 5

cos ? ? ?

10 10

…………………………11 分

? 原式 ? ?

…………………………12 分

17.解: (I)?? ?| S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ?

1 , 2 1 3 1 1 1 1 1 ? P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( ) 2 ? 2 ? , P(? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? . ………………4 分 2 2 4 2 3 4
ξ ∴ξ 的分布列为 P 1 3

3 4

1 4

…………………………5 分

∴Eξ =1×

3 1 3 +3× = . 4 4 2

………………………………6 分

(II)当 S8=2 时,即前八秒出现“○”5 次和“×”3 次,又已知 Si ? 0(i ? 1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○” ,则其余六秒可任意出现“○”3 次; 若第一、二秒出现“○” ,第三秒出现“×” ,则后五秒可任出现“○”3 次.
3 3 5 3 故此时的概率为 P ? (C 6 ? C 5 ) ? ( ) ? ( ) ?

1 3

2 3

30 ? 8 80 80 ? 7 (或 ). …………12 分 8 2187 3 3

18.解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) ? f ( x) ? 0

b b ? c ? ax ? ? c ? 0 ∴ c ? 0 …………………………2 分 x x 5 17 5 b 17 1 由 f (1) ? , f (2) ? 得 a ? b ? , 2a ? ? 解得 a ? 2, b ? 2 4 2 2 4 2 1 ∴ a ? 2, b ? , c ? 0 . …………………………5 分 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 x ? , ∴ f '( x ) ? 2 ? 2 , ………………6 分 2x 2x 1 1 1 2 当 x ? (0, ) 时 0 ? 2 x ? , 2 ? 2 …………………………8 分 2 2 2x 1 ∴ f '( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上为减函数. …………………………9 分 2 1 1 (Ⅲ)由 f '( x ) ? 2 ? 2 =0, x ? 0 得 x ? …………………………11 分 2x 2 1 1 ∵当 x ? , 2 ? 2 ,∴ f '( x) ? 0 , 2 2x 1 即函数 f ( x ) 在区间 ( , ??) 上为增函数 …………………………13 分 2 1 1 ∴ x ? 是函数的最小值点, 即函数 f ( x ) 在 (0, ??) 取得最小值 f ( ) ? 2 . ………14 2 2
即 ?ax ? 分 19.解: (Ⅰ)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .

? ?ABC 是正三角形,? AE ? BC . …………………………2 分
又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC . ? AE ? 侧面 BB1C1C . 连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ?ADE ? 45 . 4分 在 Rt ?AED 中, tan 45 ? ……………………

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 .

? 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 . …………………………5 分
(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系 o ? xyz .

z A1 A 则 A(0,0, 3), B(0, ?1,0), C(0,1,0), D(? 2,1,0) . …………………………7 分


n1 ? ( x, y, z) 为平面 ABD 的法向量.
B

B1

? ? ? y ? ? 3z ?n1 ? AB ? 0, ? 由 ?? 得 ? .x 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? ? ? ?n2 ? AD ? 0
取 n1 ? (? 6, ? 3,1). 又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0,0,1).

o
C

D y

C1

…………………………9 分

? ? n1 ? n2 ? ? (? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 10 ? . ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? n1 n2 1 ? (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12 10 10 结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos …………………………11 分 10
(Ⅲ) :由(Ⅱ)得 n1 ? (? 6, ? 3,1), CA ? (0, ?1, 3). …………………………12 分

? CA ? n1 ? ? 点 C 到平面 ABD 的距离 d ? ? n1

(0,?1, 3 ) ? (? 6 ,? 3 ,1) (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12



30 5

…………………………14 分
2 20.解: (Ⅰ)当 k ? 1 时,原不等式即 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,

x ? N?

∴ x ? 1, 2 即 f (1) ? 2 ------------------------------2 分

(Ⅱ)原不等式等价于

( x ? 2k )( x ? 2k ?1 ) ? 0 ? 2k ?1 ? x ? 2k ……………………………………………..4 分 f ?k ? ? 2 k ? 2 k ?1 ? 1 ? 2 k ?1 ? 1 ………………………………………………………..6 分

∴ Sn ?

? f (i) ? f (1) ? f (2) ?
i ?1

n

? f (n) ? 20 ? 21 ?

? 2n?1 ? n ? 2n ? n ? 1 ……8 分

(Ⅲ)∵ S n ? Pn ? 2 n ? n 2 n=1 时, 21 ? 12 ? 0; ;n=2 时, 2 2 ? 2 2 ? 0; n=3 时, 23 ? 32 ? 0; ;n=4 时, 2 4 ? 4 2 ? 0; n=5 时, 25 ? 52 ? 0; ;n=6 时, 2 6 ? 6 2 ? 0; …………………………………………9 分 猜想: n ? 5 时 S n ? Pn 下面用数学归纳法给出证明 ①当 n=5 时, S5 ? P 5 ,已证…………………………………………………….10 分 ②假设 n ? k ?k ? 5? 时结论成立即 S k ? Pk ,2 k ? k 2 那么 n=k+1 时, 2k ?1 ? (k ?1) 2 ? 2 ? 2 k ? k 2 ? 2 k ?1 ? 2 ? k 2 ? k 2 ? 2 k ?1

? k 2 ? 2k ?1 ? (k ?1)2 ? 2
在 k ? 5 范围内, ?k ? 1? ? 2 ? 0 恒成立,则 2k ?1 ? (k ? 1)2 ,即 S K ?1 ? Pk ?1
2

由①②可得,猜想正确,即 n ? 5 时, S n ? Pn ………………………………….. 13 分 综上所述:当 n=2,4 时, S n ? Pn ;当 n=3 时, S n ? Pn ;当 n=1 或 n ? 5 时 S n ? Pn ;---14 分 21.解: (Ⅰ)由条件得 M(0,- y=kx+

p p ),F(0, ).设直线 AB 的方程为 2 2

p ,A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 2

2 则 x1 ? 2 py1 , 2 2 ? 2 py2 ,Q(

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ). 2 2

…………………………2 分

p ? ? y ? kx ? 由? 2 得 x 2 ? 2 pkx ? p 2 ? 0 . ? x 2 ? 2 py ?
∴由韦达定理得 x1 + x2 =2pk, x1 · x2 =- p 2 从而有 y1 y 2 =
2 x12 x2 p2 ? 4 4 p2

…………………………3 分

y1 + y 2 =k( x1 + x2 )+p=2pk 2 ÷p.
…………………………4 分

? ?? . ∴ MA · MB 的取值范围是 ?0,

(Ⅱ)抛物线方程可化为 y ?

1 2 1 x ,求导得 y ? x . 2p p
x2 . p

∴ k NA ? y

x1 p

k NB =y

x12 x1 x1 x12 ∴切线 NA 的方程为:y- . ? ( x ? x1 ) 即 y ? x ? 2p p p 2p
切线 NB 的方程为: y ?

x2 x2 x? 2 p 2p

…………………………6 分

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x2 x? 1 p 2p

x ? x2 ? x? 1 ? x ? x2 x1 x2 2 ? 解得 ? ∴N( 1 , ) 2 x1 · x2 2 2p x2 x2 ? y? x? ? 2p p 2p ?

从而可知 N 点 Q 点的横坐标相同但纵坐标不同. ∴NQ∥OF.即 NQ ∥ OF …………………………7 分
2

又由(Ⅰ)知 x1 + x2 =2pk, x1 · x2 =-p ∴N(pk,-

p ). …………………………8 分 2 p 而 M(0,- ) ∴ MN ? ( pk, 0) 2 p 又 OF ? (0, ) . ∴ MN · …………………………9 分 OF ? 0 . 2
(Ⅲ)由 MA· MB ? 4 p 2 .又根据(Ⅰ)知 MA· MB ? p 2 k 2 ∴4p =p k ,而 p>0,∴k =4,k=±2. 由 于
2 2 2 2

…………………………10 分 - pk , p) ,

NF

=(

AB ? ( x2 ? x1,y 2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 )(1 ?

x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )(1, k ) 2p

∴ NF · AB ? (? pk,p)· ( x2 ? x1 )(1 ,k ) ? ( x2 ? x1 )(? pk ? pk) ? 0 从而 NF ? AB . 又| NF |= …………………………11 分

p 2 k 2 ? p 2 ? 5 p ,| AB |= y1 ? y2 ? p ? 2 pk 2 ? 2 p ? 10 p.

∴ S △ ABN ?

1 1 | NF |· | AB |? ? 5 p ? 10 p ? 5 5 p 2 . 2 2

而 S△ ABN 的取值范围是[5 5 ,20 5 ]. ∴5 5 ≤5 5 p2≤20 5 ,1≤p2≤4. 而 p>0,∴1≤p≤2. 又 p 是不为 1 的正整数. ∴p=2. 故抛物线的方程:x2=4y. …………………………13 分

…………………………14 分


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